Enunciado

Uma esfera condutora isolada de raio R tem carga Q distribuída uniformemente sobre sua superfície. Determine a distância R ' do centro da esfera tal que metade da energia eletrostática total do sistema está associada com o campo elétrico além desta distância.

Passo 1

Cara, para resolver este problema, vamos dar uma breve folosofada na questão antes:

Temos aqui uma esfera de raio R carregada com uma carga Q de modo que ela produz um campo elétrico E em toda a região do espaço...

De acordo com a nossa teoria, o fato de ter campo elétrico E em um ponto d V qualquer do espaço, implica numa existência de energia pontual (onde o campo elétrico se encontra)... Essa energia pontual é dada por...

d U = 1 2 ε 0 E 2 ⋅ d V

Como existe campo elétrico em todo ponto do espaço para r > R , se a gente somar, se a gente somar a energia de todos esses pontos, isto e integrar em todo o espaço o quadrado campo elétrico...

U = 1 2 ε 0 ∫ R ∞ E 2   d V   →

A gente ganha a energia total eletrostática total do sistema está associada com o campo elétrico.

Só que assim, o campo elétrico fora da esfera cai com o quadrado da distância do centro da esfera...

E = Q 4 π ε 0 r 2

Então, é de se esperar que se somarmos (integrarmos) a energia em totós os pontos do espaço (incluindo no infinito) a energia total vai existir e ser um número finito. O que queremos encontrar no problema é justamente encontrar o raio R ' do volume ao redor da esfera que contém justamente a metade da energia total...

U ' = 1 2 U

Sacou? Bora?

Passo 2

Então veja que precisamos primeiro encontrar qual é o valor da energia total armazenada no campo elétrico, e para isso, vamos precisar resolver a integral...

U = 1 2 ε 0 ∫ R ∞ E 2   d V

Repare que o campo elétrico varia com r , então seria interessante a gente associar esse d V com d r , afinal assim a integral ficaria no papo!

Toda vez que estivermos falando de uma geometria esférica, podemos considerar o d V em função de d r como...

d V = 4 π r 2   d r

Então...

U = 1 2 ε 0 ∫ R ∞ E 2   4 π r 2   d r   →

Substituindo a expressão do campo elétrico...

U = 1 2 ε 0 ∫ R ∞ Q 4 π ε 0 r 2 2   4 π r 2   d r   →

U = 1 2 ε 0 ∫ R ∞ Q 2 16 π 2 ε 0 2 r 4   4 π r 2   d r   →

U = 1 2 ε 0 Q 2 4 π ε 0 2 ∫ R ∞ 1 r 4 r 2   d r   →

U = Q 2 8 π ε 0 ∫ R ∞ 1 r 2   d r   →

Integrando...

U = Q 2 8 π ε 0 - 1 r R ∞   →

U = Q 2 8 π ε 0 - 1 ∞ + 1 R →

Atenção! Não existe - 1 / ∞ , portanto não coloque isso na sua prova! Eu só coloquei aqui porque queria deixar explícito para você que esse termo tende a 0 , afinal 1 u m   n ú m e r o   g r a n d e = 0 , saca? Então o resultado ficará...

U = Q 2 8 π ε 0 + 1 R →

Ou ainda...

U = Q 2 8 π ε 0 R

Essa é a energia total armazenada pela esfera!

Passo 3

Beleza! Agora queremos saber qual é a energia U ' que corresponde a metade da energia total...

U ' = 1 2 U   →

De modo análogo ao passo anterior, a energia U ' pode ser dada como o resultado de uma integral no volume que corresponde a metade da energia (com R indo até R ' )...

Q 2 8 π ε 0 ∫ R R ' 1 r 2   d r = 1 2 ⋅ Q 2 8 π ε 0 R   →

∫ R R ' 1 r 2   d r = 1 2 ⋅ 1 R   →

Reolvendo essa integral...

- 1 r R R ' = 1 2 ⋅ 1 R   →

- 1 R ' + 1 R = 1 2 ⋅ 1 R   →

- 1 R ' = 1 2 ⋅ 1 R - 1 R   →

- 1 R ' = - 1 2 R   →

R ' = 2 R

Bem, isso basicamente está nos dizendo que se a gente quer um volume ao redor da esfera que corresponda a metade da energia salva no campo magnético da esfera, basta a gente pegar uma esfera de raio 2 R , saca?

Resposta

R ' = 2 R

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