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A esfera A , com uma massa de 80   k g , está situada na origem de um sistema de coordenadas x y ; a esfera B , com uma massa de 60   k g , está situada nas coordenadas ( 0,25   m ,   0 ) ; a esfera C , com uma massa de 0 , 20   k g , está situada no primeiro quadrante, a 0,20   m de A e 0,15   m de B . Em termos dos vetores unitários, qual é a força gravitacional total que A e B exercem sobre C .

Passo 1

Vamos começar desenhando as esferas A e B , mas deixando a C de lado já que sua posição ainda não foi definida:

A questão pede para calcularmos a força (em termos de vetores unitários) que as esferas A e B exercem sobre C .

Pela fórmula da força gravitacional, podemos achar facilmente os módulos dessas forças:

F A C = G m A m C r A C 2

F B C = G m B m C r B C 2

Passo 2

Substituindo os valores, temos:

F A C = 6,67.10 - 11 80 0,20 0,20 2 =   2,7.10 - 8   N

F B C = 6,67.10 - 11 60 0,20 0,15 2 = 3,6.10 - 8   N

Passo 3

Para acharmos as respostas em termos de vetores unitários, precisamos descobrir os ângulos que os vetores das forças formam com o eixo x .

Quando acharmos, podemos substituir na fórmula (desde que ajustemos os sinais):

F → = F A C cos ⁡ θ i ^ + s e n θ j ^ + F A C cos ⁡ α i ^ + s e n α j ^

Vamos usar a lei dos cossenos para descobrir isso. Não dá pra desenhar exatamente, porque não sabemos a posição da esfera C , mas imagine algo parecido com isso:

Pela lei dos cossenos temos:

r B C 2 = r A C 2 + r A B 2 - 2 r A C r A B cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = r A C 2 + r A B 2 - r B C 2 2 r A C r A B = 0,8

Usando uma calculadora:

θ = 36 ° ⇒ sin ⁡ θ = 0,6

Além disso:

r A C 2 = r B C 2 + r A B 2 - 2 r B C r A B cos ⁡ α

cos ⁡ α = r B C 2 + r A B 2 - r A C 2 2 r B C r A C = 0,6

α = 53 ° ⇒ sin ⁡ θ = 0,8

Passo 4

Agora vamos substituir esses resultados na fórmula mencionada antes:

F → = F A C cos ⁡ θ i ^ + s e n θ j ^ + F A C cos ⁡ α i ^ + s e n α j ^

Ajustando os sinais de acordo com o sentido dos vetores (lembrando que a gravidade é uma força atrativa):

F → = 2,7.10 - 8 - 0,8 i ^ - 0,6 j ^ + ( 3,6.10 - 8 ) 0,6 i ^ - 0,8 j ^

F → = - 4,4.10 - 8   N j ^

Pronto!

Resposta

A força é F → = - 4,4.10 - 8   N j ^  

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