Enunciado

Na Fig. 6-24, uma força P → atua sobre um bloco com 45   N de peso. O bloco está inicialmente em repouso sobre um plano inclinado de ângulo θ = 15 ° com a horizontal. O sentido positivo do eixo x é para cima ao longo do plano. Os coeficientes de atrito entre o bloco e o plano são μ s = 0,50 e μ k = 0,34 . Em termos dos vetores unitários, qual é a força de atrito exercida pelo plano sobre o bloco quando P → é igual a (a) - 5,0   N i ^ , (b) - 8,0   N i ^ e (c) - 15,0   N i ^ ?

Passo 1

Inicialmente vamos fazer o DCL para facilitar a visualização do problema:

Vamos escrever a segunda lei de Newton para cada eixo:

e i x o   x :       f - P - W sin ⁡ θ = m a x       e q . 1

e i x o   y :         N - W cos ⁡ θ = m a y       e q . 2

Passo 2

Vamos calcular o módulo da normal usando a e q . 2 , lembrando que não há movimento no eixo y e, portanto, a y = 0 . Assim:

N - W cos ⁡ θ = 0

Substituindo os valores e isolando N :

N = 45 cos ⁡ 15 ° = 43,5   N

Passo 3

Vamos determinar o módulo da força de atrito cinético usando a seguinte relação:

f k = μ k N       e q . 3

Substituindo os valores conhecidos:

f k = 0,34 × 43,5 = 14,8   N

Agora, faremos de maneira análoga para determinar a força de atrito estático máximo, somente trocando da e q . 3 o μ k por μ s :

f s m á x = μ s N

Substituindo os valores conhecidos:

f s m á x = 0,5 × 43,5 = 21,8   N

Passo 4

Nesta etapa, precisaremos ficar bastante atentos, vamos começar a dar valor para a força P → na e q . 1 e, a partir delas, iremos definir a força de atrito f . Para tanto, podemos nos deparar com três casos:

  1. f s m á x > P + W sin ⁡ θ , então a x = 0 e f = P + W sin ⁡ θ ;
  2. f s m á x = P + W sin ⁡ θ , então a x = 0 e f = f s m á x calculado nos passos anteriores;
  3. f s m á x < P + W sin ⁡ θ , então a x ≠ 0 e f = f k também calculado nos passos anteriores.

Sem mais delongas, vamos começar a substituir os valores de P !

Passo 5

P + W sin ⁡ θ = 5 + 45 sin ⁡ 15 ° = 16,65   N

Como 16,65 < f s m á x ( 21,8 ) , então, caímos no primeiro caso citado e f = 16,65   N .

Passo 6

P + W sin ⁡ θ = 8 + 45 sin ⁡ 15 ° = 19,65   N

Como 19,65 < f s m á x ( 21,8 ) , então, caímos novamente no prmeiro caso citado e f = 19,65   N .

Passo 7

P + W sin ⁡ θ = 15 + 45 sin ⁡ 15 ° = 26,7   N

Como 26,7 > f s m á x ( 21,8 ) , então, caímos no terceiro caso citado e f = f k = 14,8   N .

Passo 8

Como osvalores da força de atrito já foram calculados para cada valor da força P dado, precisamos agora escrevê-los em termos dos vetores unitários. Para tanto, precisamos percer que a tendência de movimento ou o movimento sempre é para baixo do plano inclinado e a força de atrito sempre é contrária a isso. Portanto, em todos os casos aqui, a força de atrito tem sentido positivo do eixo x , assim:

f a = + 16,65 i ^   N

f b = + 19,65 i ^   N

f c = + 14,80 i ^   N

Resposta

  1. f a = + 16,65 i ^   N ;
  2. f b = + 19,65 i ^   N ;
  3. f c = + 14,80 i ^   N .
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