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Na Fig. 6-37, uma prancha de massa m 1 = 40   k g repousa em um piso sem atrito e um bloco de massa m 2 = 10   k g repousa sobre a prancha. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40 . O bloco é puxado por uma força horizontal F → de módulo 100   N . Em termos dos vetores unitários, qual é a aceleração (a) do bloco e (b) da prancha?

Passo 1

Vamos iniciar essa questão fazendo o DCL para cada um dos blocos:

A partir dessa ilustração fica mais fácil aplicar a segunda lei de Newton nos blocos. Para tanto, vamos iniciar aplicando a segunda lei de Newton aos eixos x e y do bloco 2 :

e i x o   x :       - F + f = - m 2 a 2       e q . 1

e i x o   y :         F 12 - P 1 = 0       e q . 2

Consideramos o eixo y em equilíbrio, pois o movimento ocorre exclusivamente no eixo x .

De maneira análoga, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco 1 :

e i x o   x :   - f = - m 1 a 1       e q . 3

e i x o   y :       N - F 21 - P 2 = 0       e q . 4

Obs: os sinais negativos expostos do lado direito das igualdades é representando que estamos supondo que o movimento ocorre para a esquerda nos dois casos, no sentido negativo do eixo x . Caso essa suposição não seja verdadeira, encontraremos a aceleração com valor negativo.

Lembrando que podemos determinar a força de atrito estático máximo e a força de atrito cinético a partir da seguinte relação:

f = μ N

Para determinar a força de atrito estático máximo, devemos usar o coeficiente de atrito estático, μ s , e para determinar a força de atrito cinético, usamos o coeficiente de atrito cinético, μ k .

Passo 2

Vamos começar determinando o valor da força de atrito estático máximo:

f s m á x = μ s N

Neste caso, devemos perceber que N = F 12 . Para tanto, vamos determinar o F 12 usando a e q . 2 :

N = F 12 = P 2 = m 2 g

Assim, substituindo essa expressão na equação de f s m á x :

f s m á x = μ s m 2 g = 0,6 × 10 × 9,8 = 58,8   N

Passo 3

No caso do bloco 2 não deslizar sobre a prancha, a 1 = a 2 , assim, podemos resolver o sistema envolvendo a e q . 1 e a e q . 3 para analisar se f ≤ f s m á x , caso isso seja falso, então o bloco 2 desliza sobre a prancha. Iniciando, isolando o a na e q . 3 :

a = f m 1

Substituindo essa expressão na e q . 1 :

- F + f = - m 2 f m 1

f 1 + m 2 m 1 = F

Isolando f :

f = F 1 + m 2 m 1 = 100 1 + 10 40 = 80   N

Como f > f s m á x , então o bloco 2 desliza sobre a prancha. Por isso, devemos usar a força de atrito cinético e as acelerações do bloco 2 e da prancha não serão iguais.

Passo 4

Isolando a 2 na e q . 1 :

a 2 = F - f k m 2

Lembrando que f k = μ k P 2 :

a 2 = F - μ k m 2 g m 2 = 100 - 0,4 × 10 × 9,8 10 = 6,08   m / s 2

Portanto, a aceleração do bloco 2 em termos dos vetores unitários será:

a 2 → = - 6,08 i ^   m / s 2

Passo 5

Para determinar a aceleração a 1 , faremos de maneira análoga ao passo anterior, porém usaremos a e q . 3 :

a 1 = f k m 1 = 0,4 × 10 × 9,8 40 = 0,98   m / s 2

A aceleração da prancha, portanto, será:

a 1 → = - 0,98 i ^   m / s 2

Resposta

  1. a 2 → = - 6,08 i ^   m / s 2 ;
  2. a 1 → = - 0,98 i ^   m / s 2 .

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