Enunciado

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Na Fig. 30-64, depois que a chave S é fechada no instante t = 0 , a força eletromotriz da fonte é ajustada automaticamente para manter uma corrente constante i passando pela chave. (a) Determine a corrente no indutor em função do tempo. (b) Em que instante a corrente no resistor é igual à corrente no indutor.

Passo 1

O exercício apresentou um circuito R L em paralelo de modo que a corrente na chave S permaneça constante e igual a i . Vamos adotar a seguinte convenção de sentidos:

(Imagem adaptada do livro)

Assim, pela lei dos nós, temos que

i = i 1 + i 2

Além disso, considerando a malha fechada composta pelo resistor e pelo indutor:

R i 2 = L d i 1 d t

Temos que encontrar as correntes i 1 e i 2 como função do tempo. Para isso, isolamos i 1 na primeira equação:

i 1 = i - i 2

Agora derivamos essa relação para obter

d i 1 d t = - d i 2 d t

Usei que i é constante, de modo que

d i d t = 0

Passo 2

Substituindo a derivada de i 1 na segunda equação:

R i 2 = - L d i 2 d t ⇒ d i 2 d t = - R L   i 2

Resolvendo essa equação diferencial, obtemos a corrente no resistor como função do tempo:

i 2 = i 0   e - R L t

Note que i 0 representa a corrente no resistor para t = 0 . Assim, a corrente no indutor será

i 1 = i - i 2 = i - i 0   e - R L t

Agora, note uma coisa curiosa: em t = 0 , toda a corrente deve estar no resistor, de modo que i 1 = 0 , assim

0 = i - i 0 ⇒ i 0 = i

Vemos então que a corrente i 0 no fundo é a corrente i constante que passa pela chave, de modo que

i 1 = i   1 - e - R L t           e           i 2 = i   e - R L t

Passo 3

A corrente no indutor será igual a corrente no resistor quando

i 1 = i 2 ⇒ e - R L t = 1 - e - R L t

Assim,

2 e - R L t = 1 ⇒ e - R L t = 1 2

Tomando o log:

- R L t = ln ⁡ 1 2 ⇒ R L t = ln ⁡ 2 ⇒ t = L R ln ⁡ 2

Resposta

i 1 = i   1 - e - R L t

t = L R ln ⁡ 2

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