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Densidade de corrente de deslocamento uniforme. A Fig. 32-29 mostra uma região circular de raio R = 3,00   c m na qual existe uma corrente de deslocamento dirigida para fora do papel. A corrente de deslocamento possui densidade corrente uniforme, cujo valor absoluto é J d = 6,00   A / m 2 . Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente de deslocamento (a) a 2,00   c m do centro da região; (b) a 5,00   c m do centro da região.

Passo 1

A questão forneceu uma densidade de corrente de deslocamento uniforme J d que atravessa uma região circular de raio R = 3,00   c m . Assim, pela lei de Ampere com correção de Maxwell:

∮ B → ⋅ d s → = μ 0 i + μ 0 ε 0 d Φ E d t = μ 0   ( i + i d )

Note que no fundo a corrente de deslocamento está associada a uma variação do campo elétrico:

i d = ε 0 d Φ E d t

Usando essa interpretação, podemos usar a corrente de deslocamento como se ela fosse uma corrente real na lei de Ampere. Neste caso, a corrente real é nula, de modo que

∮ B → ⋅ d s → = μ 0 i d

Para achar B vamos considerar uma curva amperiana de raio r . Assim,

∮ B → ⋅ d s → = B ⋅ 2 π r

Passo 2

No item (a), temos que r < R . Como a densidade de corrente de deslocamento é uniforme, basta multiplicá-la pela área limitada pela amperiana para obter a corrente:

i d = J d ⋅ π r 2

Assim,

B ⋅ 2 π r = μ 0 J d π r 2 ⇒ B = μ 0 J d r 2

Usando r = 2,00 ⋅ 10 - 2   m e J d = 6,00   A / m 2 :

B = 75,4 ⋅ 10 - 9   T

Passo 3

No item (b), r > R , então, para achar i d , devemos multiplicar a densidade pela área da região em que passa corrente (não a da amperiana):

i d = J d π R 2

Assim,

B ⋅ 2 π r = μ 0 J d π R 2 ⇒ B = μ 0 J d R 2 2 r

Substituindo r = 5,00 ⋅ 10 - 2   m , temos

B = 67,9 ⋅ 10 - 9   T

Resposta

B = 75,4 ⋅ 10 - 9   T

B = 67,9 ⋅ 10 - 9   T

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