Enunciado

Um fio de metal dúctil possui resistência R . Qual será a resistência desse fio em função de R quando ele é estendido até três vezes seu comprimento original, supondo que a densidade e a resistividade do material não se alteram quando o fio é esticado?

(Dica: a quantidade de metal não se altera, portanto, quando o fio é esticado, sua área transversal será afetada.)

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você aqui!

Primeiro vou olhar como que fica a área transversal desse fio, levando em consideração que a densidade do material e a massa não são alteradas.

A massa desse fio é o produto da densidade d e do volume V = A . L = π r 2 L d um cilindro. Como o comprimento final é três vezes o comprimento inicial L ' = 3 L , o raio da área transversal vai ser alterado. Dizendo que as massas são iguais temos:

m = m '

d V = d V '

d . π r 2 . L = d . π r ' 2 . L '

d . π r 2 . L = d . π r ' 2 . 3 L

r ' 2 = r 2 3

E assim a área quando o fio é esticado é:

A ' = π r ' 2 = 1 3 π r 2 = A 3  

Tranquilo até aqui? Beleza!

Passo 2

Agora que temos as componentes de antes e depois do fio ser esticado, a gente pode fazer a comparação entre eles, saca só.

Antes, a resistência era:

R = ρ L A

Agora temos:

R ' = ρ L ' A '

Lembrando que a resistividade ρ fica a mesma (já que o material não mudou!). Agora sabemos que L ' = 3 L e que A ' = A 3 , podemos substituir na resistência R ' :

R ' = ρ 3 L A / 3 = 9 ρ L A = 9 R

Sendo assim temos que a nova resistência é nove vezes a resistência antes de o fio ser esticado!

Belezinha?

Espero ter ajudado!

Resposta

R ' = 9 R

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