Enunciado

Um indutor e um capacitor estão conectados como mostra a figura 29-30. Inicialmente a chave está aberta e a placa esquerda do capacitor tem uma carga Q 0 . A chave é, então, fechada. (a) Faça um gráfico de Q   v e r s u s   t e I   v e r s u s   t no mesmo gráfico e explique como pode ser visto nestas duas curvas que a corrente está adiantada em relação à carga por 90 ° . (b) As expressões para a carga e para a corrente são dadas pelas Equações 29-38 e 29-39, respectivamente. Use trigonometria e álgebra para mostrar que a corrente está adiantada em relação à carga por 90 ° .

Passo 1

Faaaaaaaaala meu dignissimo, tudo certinho?

Vamos começar a entender esse problema, que rapadura é doce mas não é mole não!

O problema fala de um Q que aqui representa a carga instantânea no capacitor, e aqui podemos usar aquela regrinha do Loop de Kirchhoff para obtermos a equação diferencial para o circuito (lembra que EDO é uma equação onde a incógnita é uma função).

Depois de encontrada, poderemos EDO para obter uma expressão para a carga no capacitor em função do tempo e, derivando em relação ao tempo, chegaremos a uma expressão para o corrente em função do tempo. Usaremos um programa para traçar os gráficos.

Aplique a regra de loop de Kirchhoff a um loop no sentido horário logo após a chave ser fechada:

Q C + L d I d t = 0

Porque I = d Q / d t :

L d 2 Q d t 2 + Q C = 0

Ou até mesmo:

d 2 Q d t 2 + 1 L C Q = 0

A solução para esta equação é:

Q t = Q 0 cos ⁡ ω t - δ

Onde:

ω = 1 L C

Porque Q ( 0 ) = Q 0 ,   δ = 0 e:

Q t = Q 0 cos ⁡ ω t

A corrente no circuito é a derivada de Q em relação a t :

I = d Q d t = d d t Q 0 cos ⁡ ω t = - ω Q 0 s en ⁡ ω t

Passo 2

No passo anterior, consideramos que a equação para a corrente é:

I = - ω Q 0 sen ⁡ ω t     ( 1 )

Podemos relacionar as funções seno e cosseno estão relacionadas por meio da identidade:

- sen ⁡ θ = cos ⁡ θ + π 2

Usando esta identidade podemos reescrever a equação (1):

I = - ω Q 0 sen ⁡ ω t = ω Q 0 cos ⁡ ω t + π 2

Assim, a corrente lidera a carga em 90 ° .

Resposta

A corrente lidera a carga em 90 ° .

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