Enunciado

Um interferômetro Fabry-Perot (Figura 33-47) consiste em dois espelhos paralelos, semitransparentes que estão de frente um para o outro, separados por uma pequena distância a. Um espelho semitransparente é tal que transmite 50 por centro e reflete 50 por cento da intensidade incidente. Mostre que, quando luz incide no interferômetro em um ângulo de incidência θ , a luz transmitida terá um máximo de intensidade quando 2 a = m λ / c o s ⁡ ( θ ) .

Passo 1

Meus lindos e minhas lindas!

O interferômetro de Fabry-Perot está representado na figura abaixo. Para uma interferência construtiva na transmissão de luz, a diferença de trajetória deve ser dada por um múltiplo inteiro do comprimento de onda da luz.

Após análise do diagrama e do enunciado, sabemos que:

∆ r = m ∙ λ ; m = 0 ,   1 ,   2 …

E, também, que:

∆ r = A B + B C

Pela geometria do diagrama, por trigonometria, podemos garantir que:

A B = a cos ⁡ θ

B C = A B ∙ s e n ( ∅ )

Seguindo:

∆ r = a cos ⁡ θ + A B ∙ s e n ( ∅ )

Passo 2

Pelas equações encontradas acima, vamos desenvolver a última encontrada:

∆ r = a cos ⁡ θ + A B ∙ s e n ( ∅ )

Pelo diagrama, podemos observar que:

2 θ + ∅ = 90 °

∅ = 90 ° - 2 θ

Aplicando:

∆ r = a cos ⁡ θ + A B ∙ s e n ( 90 ° - 2 θ )

Amigos e amigas, por trigonometria, quem é s e n 90 ° - 2 θ ? Isso mesmo que vocês pensaram!

s e n 90 ° - 2 θ = c o s ⁡ ( 2 θ )

Substituindo:

∆ r = a cos ⁡ θ + A B ∙ c o s ⁡ ( 2 θ )

Sabemos que A B = a cos ⁡ θ :

∆ r = a cos ⁡ θ + a cos ⁡ θ ∙ c o s ⁡ ( 2 θ )

∆ r = a cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ 2 θ

Por trigonometria, há uma identidade que nos garante que:

cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Vamos aplicar:

∆ r = a cos ⁡ θ 1 + 2 cos 2 ⁡ θ - 1

∆ r = 2 a ∙ c o s ⁡ ( θ )

Passo 3

Após termos desenvolvido a segunda equação, só nos resta igualar as equações:

∆ r = m ∙ λ

∆ r = 2 a ∙ c o s ⁡ ( θ )

Seguindo:

2 a ∙ cos ⁡ θ = m ∙ λ

2 a = m ∙ λ cos ⁡ θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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