Enunciado

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As latitudes e longitudes de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte, respectivamente, são as seguintes: São Paulo: 23°33' S, 46°39' O; Rio de Janeiro: 22°53' S, 43°17' O; Belo Horizonte: 19°55' S, 43°56' O. A partir destes dados, (a) Calcule a distância entre as três cidades; (b) Em relação a um sistema de coordenadas com origem em São Paulo – Rio de Janeiro, obtenha o vetor de posição de Belo Horizonte.

Passo 1

Eaee gente, animo pra fazer umas questõezinhas? Bora lá!

Primeiro vamos entender essas coordenadas que o enunciado deu.

Vamos olhar para o pontinho C, ele está a 40 ° Oeste e 20 ° Sul. Ou seja, é como se isso fosse um plano cartesiano e as coordenadas em graus são nossa distância em relação à origem! Agora ficou molezinha né? Haha, responde aí e confere depois!

Vamos escrever as coordenadas de cada cidade, lembrando que 60 ' = 1 ° , então convertendo as unidades temos

São Paulo : ( - 46,65   ;   - 23 ,   55   )

Rio de Janeiro :   ( - 43 ,   28   ;   - 22,88   )  

Belo Horizonte : ( - 43,92   ; - 19,92   )

Agora é só calcular as distâncias entre esses pontos, vem comigo!

Passo 2

  1. D     s p ,   r i o   =   - 46,65 +   43,28   ;   - 23 ,   55 + 22,88 = ‖ (   -   3,37   ;   - 0 ,   67   ) ‖
  2. Bom, temos as coordenadas do nosso vetor distância, vamos calcular seu módulo usando Pitágoras

    D = ( -   3,37 ) 2 + ( - 0,67 ) 2 = 3,43    

    Agora basta converter as unidades do nosso sistema de graus para uma unidade de comprimento, tipo km. Sabendo que 1 ° ∼ 111   k m  

    D s p , r i o = 3,43 .   111 = 381   k m

    Já para SP E BH

    D     s p ,   b h   =   - 46,65 +   43,92   ;   - 23 ,   55 + 19,92 = ‖ (   -   2,73   ;   - 3,63   ) ‖

    D = ( -   2,73 ) 2 + ( - 3,63 ) 2 = 4,54

    D s p , b h = 4,54   .   111 = 504   k m

    Por fim, a distância entre RJ e BH fica

    D     r i o , b h   =   - 43,92 +   43,28   ;   - 19,92 + 22,88 = ‖ (   -   0,64   ;   2,96   ) ‖

    D = ( -   0,64 ) 2 + 2,96 2 = 3,02

    D r i o , b h = 3,02   .   111 = 336   k m

    Passo 3

  3. Para obter o vetor posição nesse novo eixo e coordenadas nós só precisamos achar o ângulo que se forma entre os vetores sp – bh e sp – rio, ou seja entre o vetor distância que procuramos e o eixo das abscissas! Tranquilinho.

Como achar esse ângulo?

Já sabemos todas as distâncias do triângulo que se forma ligando as 3 cidades, então podemos aplicar a lei dos cosenos, vou lembrar ela pra vocês aqui

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b . c o s θ

Aqui θ está oposto ao lado c . Para encaixar no nosso problema vamos considerar θ ângulo que queremos achar e por isso c vai ser a distância rio – bh !!

336 2 = 504 2 + 381 2 - 2.504.381 . c o s θ

c o s θ = 504 2 + 381 2 - 336 2 2.504.381 = 0,74

a r c o s   0,74 = 42 °  

Pronto, nosso vetor é dado pelo módulo 504 km e ângulo 42 °

Resposta

a )   r i o - b h = 336   k m   ; r i o - s p = 381   k m   ; s p - b h = 504   k m

b )   504   k m .   θ = 42 °  

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