Enunciado

Num modelo antigo do átomo de hidrogénio, a carga + e do próton está uniformemente distribuída sobre uma esfera de raio a 0 , tendo em seu centro o elétron de carga - e e massa m . (a) Se o elétron fosse deslocado do centro até uma distância r ≤ a , qual seria a força eletrostática sobre ele nessa posição? (b) Qual seria a frequência angular de oscilação do elétron, em tomo do centro do átomo, ao ser liberado naquela posição?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Em primeiro lugar, você pode se lembrar da expressão para força em um elétron em um campo elétrico uniforme. O campo elétrico a ser substituído pode ser derivado usando a lei de Gauss. Considere uma esfera de raio r que terá a mesma densidade de carga volumétrica que a esfera de raio a 0 e assim obterá a carga incluída em termos das quantidades dadas. Usamos a seguinte fórmula:

∮ E   d A = q i n ϵ 0

Sabemos que a força sobre um elétron na vizinhança de um campo elétrico E é dada pelo produto da carga do elétron pelo módulo do campo elétrico. Então,

F = - e E

Como a questão dada trata da distribuição uniforme de carga, poderíamos usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. Consideremos uma esfera de raio r ≤ a 0 dentro ou sobre a esfera de distribuição uniforme de cargas. Seja q i n a carga encerrada nela, então, a densidade volumétrica de carga de ambas as esferas será igual, ou seja,

q i n 4 3 π r 3 = e 4 3 π a 0 3

q i n = e r a 0 3

Sabendo que ∮ E   d A = 4 π r 2 E , iremos substituir.

4 π r 2 E = e r a 0 3 ϵ 0

Isolando E

E = e 4 π ϵ 0 a 0 3 r

Substituindo esse resultado na equação da força, temos

F = - e 2 4 π ϵ 0 a 0 3 r

Passo 2

Seguimos para determinar a frequência angular de oscilação. Da segunda lei do movimento de Newton temos,

F = m a = m d 2 r d t 2

Assim, substituindo na equação da força

m d 2 r d t 2 = - e 2 4 π ϵ 0 a 0 3 r

d 2 r d t 2 + e 2 4 π m ϵ 0 a 0 3 r = 0

Pela equação característica da velocidade, temos

d 2 r d t 2 + w 2 r = 0

Logo, a frequência angular será

w 2 = e 2 4 π m ϵ 0 a 0 3

w = e 2 4 π m ϵ 0 a 0 3

Resposta

A força sobre o elétron quando o elétron é deslocado do centro por uma distância r ≤ a 0 é

F = - e 2 4 π ϵ 0 a 0 3 r

A frequência angular é dada por

w = e 2 4 π m ϵ 0 a 0 3

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