Enunciado

Uma onda sonora da formas s   =   s m c o s ( k x   - ω t   + ϕ ) se propaga a 343   m / s no ar em um tubo horizontal longo. Em um certo instante, a molécula A do ar, situada no ponto x   =   2,000   m está com o deslocamento máximo positivo de 6,00   n m e a molécula B , situada em   x   =   2,070   m , está com um deslocamento positivo de 2,00   n m . Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários. Qual é a frequência da onda?

Passo 1

Fala galerinha do RespondeAí, tudo belezinha?

O enunciado nos diz que uma onda sonora da forma:

s = s m cos ⁡ k x - ω t + ϕ

Se propaga no ar a uma velocidade de 343   m/s no interior de uma tubo horizontal longo. Em um certo instante, a molécula A do ar, situada no ponto x = 2,000   m está com o deslocamento máximo positivo de 6,00   nm e molécula B , situada em x = 2,070   m , está com um deslocamento positivo de 2,00   nm .

E sabendo que todas as moléculas A e B estão com deslocamentos intermediários, o enunciado pede pra gente encontrar qual é a frequência f da onda!

Como vimos que a frequência f , a velocidade v da onda e o comprimento de onda λ se relacionam através da equação:

f = v λ

Já que o enunciado nos deu a velocidade v = 343   m/s da onda, se a gente conseguir encontrar o valor do comprimento de onda λ , então vamos conseguir determinar o valor da frequência f .

Belezoca, podemos usar a nossa liberdade para escolhermos o instante inicial. Vamos, então, considerar que o “certo instante” em que a molécula A situada em x = 2,00   m está com deslocamento máximo positivo de 6,00   nm é aquele em que t = 0 . Podemos notar que esse deslocamento é igual a s m , que é a amplitude da onda. Daí, nesse instante, temos:

s A =   s m cos ⁡ k 2,00   m – ω 0   s + ϕ

s A = s m

Logo:

cos ⁡ k 2,00   m + ϕ = 1

Para que o valor do cosseno seja igual a 1 , devemos ter que:

k 2,00   m + ϕ = 0

Belezoca, vamos guardar essa relação com muito carinho.

Passo 2

Agora, vamos fazer o mesmo procedimento acima para a molécula B . O enunciado nos diz que :

s B = 6,00 cos ⁡ k 2,07   m – ω 0   s + ϕ = 2,00

Então, isolando o cosseno, temos:

c o s k 2,07   m + ϕ = 1 3

Sendo assim:

k 2,07   m + ϕ = arccos ⁡ 1 3

k 2,07   m + ϕ = 1,231   ra d

Show de bolinhas, isso quer dizer que agora temos duas equações:

k 2,00   m + ϕ = 0

( k 2,07   m + ϕ ) = 1,231   rad

Subtraindo a segunda equação da primeira,obtemos o seguinte:

0,07 k = 1,231   rad

Logo, isolando k descobrimos que:

k = 17,6   rad/m

Belejóia, agora podemos encontrar o valor de λ .

Passo 3

Como já temos o valor de k , para obtermos o valor do comprimento de onda λ , podemos utilizar a equação dada como:

λ = 2 π k

Então como k = 17,6   rad /m obtemos que:

λ = 2 π 17,6

λ ≅ 0,3569   m

Show de bola, como vimos que:

f = v λ

Vamos obter que:

f = 343   m/s 0,3569   m

f ≅ 96 0   Hz

Resposta

f = 96 0   Hz

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