Enunciado

Uma onda transversal senoidal de comprimento de onda 20   c m se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x . O deslocamento y da partícula da corda situada em x = 0 é dado na figura em função do tempo t . A escala do eixo vertical é definida por y s = 4,0   c m . A equação da onda deve ser da forma y x , t = y m s e n k x ± ω t + φ . (a) Em t = 0 o gráfico de y em função de x tem a forma de uma função seno positiva ou de uma função seno negativa? Determine (b) y m , (c) k , (d) ω , (e) φ , (f) o sinal que precede ω e (g) a velocidade da onda. (h) Qual é a velocidade transversal da partícula em x = 0 para t = 5,0   s ?

Passo 1

Essa questão exige uma boa interpretação do gráfico. Ele representa o deslocamento de um ponto x = 0 , ou seja:

y x , t = y m s e n k x ± ω t + φ

y 0 , t = y m s e n ± ω t + φ

Essa última é a função representada no gráfico.

E começamos com a informação de que o comprimento de onda é λ = 20   c m = 0,20   m .

Passo 2

(a) A primeira pergunta não é sobre o gráfico dado na questão. É sobre o gráfico dessa função aqui:

y x , 0 = y m s e n k x + φ

E a pergunta é se esse gráfico é do mesmo tipo de uma função seno negativa ou positiva.

Bom, a amplitude sempre vai ter um valor positivo, já que é uma distância. Então a única coisa que poderia mudar a “cara” dessa função é a fase φ . Vamos calcular ela.

O gráfico do enunciado representa essa função:

y 0 , t = y m s e n ± ω t + φ

Como a onda se propaga no sentido positivo, o sinal do ω é negativo (ver letra (f)).

y 0 , t = y m s e n - ω t + φ

Mas ele tem a “cara” de uma função seno positiva (começa crescente) e cruza o zero, ou seja:

y 0 , t = y m s e n - ω t + φ = + y m . sen ⁡ ω t

A única forma de isso acontecer é se φ = π , porque nesse caso:

y 0 , t = y m s e n - ω t + π

Usando a propriedade de soma na função seno:

y 0 , t = y m ( sen ⁡ - ω t cos ⁡ π + sen ⁡ π cos ⁡ - ω t )

y m s e n - ω t + π = y m ( - sen ⁡ - ω t + 0 )

E como sen ⁡ ( - x ) = - sen ⁡ ( x ) :

y m s e n - ω t + φ = + y m . sen ⁡ ω t

Agora, finalmente, podemos responder a pergunta. Qual é a cara do gráfico da função a seguir?

y x , 0 = y m s e n k x + π

Como acabamos de ver, somando π a gente faz a o seno trocar de sinal. Então essa função tem o gráfico de uma função seno negativa.

Passo 3

(b) Lembrando que o gráfico do enunciado representa essa função aqui:

y 0 , t = y m s e n ± ω t + φ

Pra achar a amplitude é só procurar a altura dos picos da onda. Olhando o gráfico, dá pra ver que:

y m = y s = 4,0   c m

Passo 4

(c) O valor de k segue uma fórmula simples:

k = 2 π λ

Usando o comprimento de onda que o enunciado deu:

k = 2 π 0,20 = 31,4 ≅ 31   r a d / m

Passo 5

(d) A frequência angular segue essa fórmula, entre tantas outras:

ω = 2 π T

Então fica faltando apenas o período, que é o tempo que a função demora pra se repetir. Olhando o gráfico, dá pra ver que T = 10   s

ω = 2 π 10

ω = 0,63   r a d / s

Passo 6

(e) Já calculamos o valor de φ na letra (a), era:

φ = π

Passo 7

(f) Também já analisamos o sinal que acompanha ω , seguindo esse macete:

O n d a   s e   p r o p a g a n d o   n o   s e n t i d o   p o s i t i v ↔ S i n a l   n e g a t i v o   n o   ω

O n d a   s e   p r o p a g a n d o   n o   s e n t i d o   n e g a t i v o ↔ S i n a l   p o s i t i v o   n o   ω

Então no nosso caso, o sinal é negativo.

Passo 8

(g) A velocidade da onda também segue uma fórmula simples. Existem várias, mas vamos escolher uma que inclua só valores que já calculamos:

v = ω k

v = 0,63 31 = 0,02   m / s

Passo 9

(h) Pra saber a velocidade transversal da partícula em x = 0 e t = 5,0   s vamos ter que completar a função do deslocamento transversal:

y x , t = y m s e n k x ± ω t + φ

y x , t = 0,04 . sen ⁡ ( 31 x - 0,63 t + π )

E derivando em relação ao tempo pra achar a velocidade:

v x , t =   - ( 0,63 ) ( 0,04 ) . cos ⁡ ( 31 x - 0,63 t + π )

v 0   ,   5 = - 0,0252 . cos ⁡ - 0,63 5 + π

Como esse cosseno dá praticamente 1 :

v 0   ,   5 = - 0,0252   m / s

v = - 2,5   c m / s

Resposta

(a) Tem o gráfico de uma função seno negativa.

(b) y m = 4,0   c m

(c) k ≅ 31   r a d / m  

(d) ω = 0,63   r a d / s  

(e) φ = π  

(f) Negativo

(g) v = 0,02   m / s

(h) v = - 2,5   c m / s  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5g / m e está sujeita a uma tensão de 80N , afinada para uma frequência ν = 660H z . (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Para tocar a nota lá
(a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda, que a variação percentual de velocidade Δ v / v produzida por uma variação Δ T / T da tensão na corda é dada
Três fios, cada um com comprimento L , são ligados em série por meio de suas extremidades formando um fio de comprimento igual a 3 L . As densidades lineares dos três fios são, respectivamente, μ 1 ,μ
Uma viga irregular de 1 75 0 N está pendurada horizontalmente por suas extremidades em um teto por dois fios verticais (A e B), cada um com 1,25 m de comprimento e pesando 2,5 N . O centro de gravidad
Uma formiga de massa m está tranquilamente em repouso sobre uma corda esticada horizontalmente. A corda possui densidade linear μ e tensão F . Sem avisar, Tobias produz uma onda senoidal transversal c