Enunciado

É possível gerar um campo elétrico estático descrito por

a) E → = E 0   x   i ^ + y   j ^ .

b) E → = E 0 x   i ^ - y   j ^ .

c) E → = E 0 x   j ^ - y   i ^ .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse exercício temos que discutir se os campos dados nos itens (a), (b) e (c) podem representar campos elétricos estáticos.

Para isso, vou fazer uma pequena digressão. Sabemos que os campos elétricos na eletrostática são conservativos, de modo que sua integral de linha deve ser nula sobre um circuito fechado:

∮ E → ⋅ d l → = 0

Usando o teorema de Stokes do cálculo vetorial, encontramos

∮ E → ⋅ d l → = ∬ ∇ × E → ⋅ d A → = 0

Como o caminho é arbitrário, devemos ter

∇ × E → = 0 →

Essa é a forma local da conservação do campo elétrico na eletrostática: o rotacional do campo elétrico é nulo. Essa é condição para que um campo vetorial possa representar um campo elétrico estático.

O rotacional de um campo em coordenadas cartesianas é dado pelo determinante:

∇ × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y ∂ z E x E y E z

Todos os campos desse problema não dependem de z e são tais que E z = 0 , de modo que

∇ × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ x ∂ y 0 E x E y 0 = ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k ^

Passo 2

No item (a) temos E x = x e E y = y , de modo que

∇ × E → = 0 - 0   k ^ = 0 →

Portanto, ele pode representar um campo elétrico estático!

Já no item (b), temos E x = x e E y = - y , de modo que

∇ × E → = 0 - 0   k ^ = 0 →

Com isso, o campo do item (b) pode representar um campo elétrico na eletrostática.

Por fim, no item (c) temos E x = - y e E y = x , de modo que

∇ × E → = 1 - - 1 k ^ = 2 k ^

Desta forma, vemos que os campos dos itens (a) e (b) podem representar campos elétricos estáticos!

Resposta

(a) e (b).

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