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Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler - Capítulo 8.1 - Ex. 61

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Um próton, de massa m , se move com rapidez inicial v 0 diretamente contra o centro de uma partícula α de massa 4 m , que está inicialmente em repouso. As duas partículas têm carga positiva, e portanto, se repelem. (As forças repulsivas são suficientes para prevenir um contato direto entre as duas partículas.) Determine a rapidez v α da partícula   α (a) quando a distância entre as duas partículas é mínima e (b) depois, quando as partículas estão bem afastadas.

Passo 1

Olá, querido! Como vai?

Vamos entender o problema: o próton, que tem massa m , está se movendo em direção à partícula α , de massa 4 m , que está inicialmente em repouso. Como as duas são carregadas positivamente, elas vão se repelir.

E aí mesmo que o próton esteja indo em direção a partícula α , eles nunca chegam a se tocar por causa dessa repulsão. O que acontece é que eles ficam próximos a uma distância mínima e depois se afastam indefinidamente.

Aí o que ele quer é a velocidade da partícula α nessa distância mínima e quando eles já estão bem afastados.

Passo 2

a) Bem, vamos refletir sobre essa situação da distância mínima. A energia cinética de um sistema pode ser dividida em duas partes:

K = K c m + K r e l

K c m é a energia cinética do centro de massa. Se não há forças externas, essa energia não varia. K r e l é a energia cinética dos objetos relativa ao centro de massa: essa é calculada em relação a velocidade do centro de massa, e pode variar em qualquer situação.

Como a gente não tem forças externas atuando nesse sistema, K c m não muda. Então o que acontece na distância mínima é que toda energia K r e l vira energia potencial para que a aproximação seja possível (já que há forças de repulsão contra essa aproximação).

Então temos que a única energia cinética no momento de distância mínima é K c m . E por isso, nesse instante, os dois objetos do sistema se movem na mesma velocidade, a velocidade do centro de massa v C M .

Passo 3

Assim, a velocidade da partícula nesse momento vai ser v C M . E a gente precisa achar essa bonita.

Aí vamos usar conservação da quantidade de movimento. No primeiro momento, apenas o próton tem velocidade, então:

p i = m p v p 0

Onde v p 0 é a velocidade inicial dele. Já no segundo momento, as duas partículas têm a mesma velocidade v C M . Aí a quantidade de movimento é a soma da quantidade de cada uma delas:

p f = m p v C M + m α v C M

p f = ( m p + m α ) v C M

Então a conservação fica:

p i = p f

m p v p 0 = ( m p + m α ) v C M

Substituindo os valores das massas e v p o = v 0 :

m v 0 = ( m + 4 m ) v C M

v C M = v 0 5 = 0.2 v 0

Passo 4

b) Agora queremos a velocidade da partícula quando elas já estão bem afastadas. Como não temos forças externas, vamos considerar que a colisão é elástica.

Então vamos começar usando a conservação quantidade de movimento. No primeiro momento só temos o próton se movendo, então

p i = m p v o p

Já quando elas se afastam, ambas se movem, mas agora com velocidades diferentes e desconhecidas. Então temos:

p f = m p v p + m α v α

A conservação fica:

p i = p f

m p v 0 p = m p v p + m α v α

Substituindo os dados

m v 0 = m v p + 4 m v α

Passo 5

Como a gente tem duas incógnitas, precisamos de mais uma equação. A gente pode usar a equação do coeficiente de restituição, que é a razão entre rapidez de separação e a rapidez de aproximação. Para o nosso caso, ela fica assim:

e = v α - v p v p 0 - 0

Temos que e = 1 porque consideramos que a colisão é elástica. E lembrando que v p 0 = v 0 :

1 = v α - v p v 0

Arrumando:

v α - v p = v 0

v p = v α - v 0

Colocando: com isso na equação da quantidade de movimento, vamos ficar com o seguinte:

m v 0 = m v p + 4 m v α

m v 0 = m ( v α - v 0 ) + 4 m v α

v 0 = v α - v 0 + 4 v α

5 v α = 2 v 0

v α = 0.4 v 0

Resposta

v C M = 0.2 v 0

v α = 0.4 v 0

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