Enunciado

Em uma série de experimentos, um bloco B é colocado em um recipiente termicamente isolado em contato com um bloco A , que tem a mesma massa que o bloco B . Em cada experimento, o bloco B está inicialmente à temperatura T B , mas a temperatura do bloco A varia de experimento para experimento. Suponha que T f representa a temperatura final dos dois blocos ao atingirem o equilíbrio térmico. A figura mostra a temperatura T f em função da temperatura inicial T A para um intervalo de valores de T A , de T A 1 = 0   K até T A 2 = 500   K . Qual é (a) a temperatura T B e (b) a razão c B / c A entre os calores específicos dos blocos?

Passo 1

O que vai acontecer quando o bloco B entrar em contato com o bloco A ? Eles vão trocar calor, certo? E só entre eles, já que estão em um recipiente isolado.

Então tá, a gente sabe que nesses casos a gente sempre pode dizer o seguinte:

Q A + Q B = 0

Ou seja, a soma das quantidades de calor trocadas é sempre zero! E a fórmula de cada um desses calores é:

Q = m c Δ T

Ok, vamos substituir isso ali em cima:

m A c A Δ T A + m B c B Δ T B = 0

Como as massas são iguais (e do outro lado só tem um zero), vamos cortar as duas:

c A Δ T A + c B Δ T B = 0

Ok, guarde isso aí, é nossa equação mais importante.

Passo 2

Agora vamos tentar fazer o seguinte: achar aquela função que está representada no gráfico! Como ela mostra a temperatura final T f dos corpos em função da temperatura inicial T A , vamos tentar isolar a T f .

c A Δ T A + c B Δ T B = 0

c A T f - T A + c B T f - T B = 0

Tá, vamos “abrir" esses parênteses:

c A T f - c A T A + c B T f - c B T B = 0

T f ( c A + c B ) = c A T A + c B T B

T f = c A T A + c B T B ( c A + c B )

Beleza, achamos uma boa expressão. Lembra que o gráfico é T f em função de T A ? Como ele é uma reta, isso quer dizer o seguinte:

Y = A x + B

Y = T f

E quem vai ser o coeficiente angular da reta?

A = c A ( c A + c B )

E o coeficiente linear é:

B = c B T B ( c A + c B )

Passo 3

Nessa edição do livro, o enunciado não diz qual é a escala do eixo y , mas não dá pra resolver sem saber ela. Em outras edições, a gente encontra T f s = 400   K , então vamos usar isso.

O coeficiente angular A é a inclinação da reta, certo?

A = Δ y Δ x

Se a escala do eixo y é 400   K , então cada um dos oito “traços” ali vale 400 8 = 50   K , e então:

A = Δ y Δ x = 350 - 150 500 = 200 500 = 0,4

Beleza, e o coeficiente linear B vai ser simplemente o ponto onde a reta cruza o eixo y :

B = 3 50 = 150

Passo 4

(a) Ok, agora sim, vamos resolver aquele sistema ali de cima:

0,4 = c A ( c A + c B )

150 = c B T B ( c A + c B )

Primeiro vamos usar o sistema pra achar T B . Isolando ele na segunda equação:

T B = 150 c A + c B c B

E como a gente faz pra misturar a primeira equação nessa aí? Bom, primeiro é interessante perceber que a fração nessa última equação parece um pouco com o inverso da primeira lá de cima, né? A única diferença é o c B ao invés do c A , mas isso a gente corrige:

c A + c B c B = 1 1 - c A ( c A + c B ) = 1 1 - 0,4 = 1 0,6

Beleza? Pode ser meio estranho, mas essa é uma substituição muito usada na física quando você quer trocar o numerador em uma fração desse tipo:

1 - c A c A + c B = c B c A + c B

Enfim, voltando lá na equação que a gente estava fazendo:

T B = 150 c A + c B c B

T B = 150 . 1 0,6 = 250   K

Pronto! Foi difícil, mas foi.

Passo 5

(b) Agora a questão é encontrar a razão entre os dois calores específicos. Sem problemas, vamos voltar no nosso sistema, agora com o valor de T B :

0,4 = c A ( c A + c B )

150 = c B ( 250 ) ( c A + c B )

Vamos ajeitar um pouco essa segunda equação:

c B c A + c B = 150 250 = 0,6

Então o sistema fica assim:

0,4 = c A ( c A + c B )

0,6 = c B ( c A + c B )

Ótimo, agora é só dividir a segunda equação pela primeira:

c B c A + c B c A ( c A + c B ) = 0,6 0,4

Cortando os denominadores (já que são iguais):

c B c A = 0,6 0,4 = 3 2 = 1,5

Resolvido!

Resposta

(a) T B = 250   K .

(b) c B / c A   = 1,5 .

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