Enunciado

Sismólogos e geólogos constataram que a Terra vibra com um período de ressonância de 54   m i n e um fator Q de cerca de 400 . Após um grande terremoto, a Terra continua vibrando por até 2 meses. (a) Determine a porcentagem de energia de vibração perdida em cada ciclo, devido às forças de amortecimento. (b) Mostre que, após n períodos, a energia de vibração é dad por E n = 0,984 n E 0 , onde E 0 é a energia original. (c) Se a energia de vibração original de um terremeto é E 0 , quandto vale a energia após 2,0 dias?

Passo 1

(a) Então, cara, a Terra está oscilando, mas ele diz que pode durar por até 2 meses, então é uma oscilação que vai parar.

Assim é uma oscilação amortecida mas que podemos considerar que tem um amortecimento fraco, porque 2 meses é bastante tempo comparado ao período de oscilação que é de T = 54   m i n como o enunciado diz.

E para esse caso de amortecimento fraco, vale a seguinte relação:

Q = 2 π Δ E E c i c l o

Percebe que ele deu o fator de qualidade do amortecimento Q = 400 . Temos também que Δ E E c i c l o representa a perda de energia por ciclo, que coincidentemente é o que a gente quer nesse item!

Vamos isolar o termo que representa a perda de energia. Assim, para cada ciclo do oscilador, a perda percentual de energia segue a seguinte relação:

Δ E E c i c l o = 2 π Q

Δ E E c i c l o = 2 π 400

Δ E E c i c l o ≅ 0,0157

Ou seja, a perda de energia por ciclo é 1,57 % . Em cada ciclo, a porcentagem de energia perdida é essa.

Repara também que Δ E E c i c l o ≪ 1 . Isso comprova que temos um amortecimento fraco mesmo. Continuando!

Passo 2

(b) Usando essa informação do item anterior, podemos escrever uma fórmula para a energia perdida após n ciclos.

A energia num ciclo inicial é E 0 . Já a energia num ciclo posterior, ou seja, n = 1 , vai ser a energia de n = 0 menos a perda de energia do ciclo. Para dois ciclos consecutivos, uma perda de 1,57 % (como achamos em (a)) leva à seguinte expressão:

E 1 = E 0 - 0,0157 E 0

Esse termo 0,0157 E 0 representa a perda de energia em relação a energia do ciclo anterior. Continuando:

E 1 = 1 - 0,0157 E 0

Esse termo 1 - 0,0157   representa a porcentagem de energia que fica a cada ciclo.

Se continuássemos por mais um ciclo, em n = 2 , teríamos que a energia do novo ciclo seria a porcentagem que fica, representada por 1 - 0,0157 , em relação ao ciclo anterior E 1 :

E 2 = 1 - 0,0157 E 1

Substitindo nossa expressçao de E 1

E 2 = 1 - 0,0157 1 - 0,0157 E 0

E 2 = 1 - 0,0157 2 E 0

Seguindo o mesmo raciocínio, a energia de um ciclo n = 3 seria

E 3 = 1 - 0,0157 E 2

E 3 = 1 - 0,0157 1 - 0,0157 2 E 0

E 3 = 1 - 0,0157 3 E 0

Podemos generalizar essa fórmula para encontrar a energia de uma oscilação em ciclo n qualquer em comparação com a energia inicial E 0 :

E n = 1 - 0,0157 n E 0

E n = 0,984 n E o

Passo 3

(c) Se o período de oscilação é 54   m i n , então ao longo de dois dias, quantas oscilações a “Terra” terá completado? Primeiro temos que determinar quantos minutos existem em um dia:

1   d i a = 1   d i a   24 h o r a s d i a   60 m i n u t o s h o r a = 1440   m i n

Então em dois dias temos 2880 minutos, e como temos uma oscilação a cada 54 minutos, quantas oscilações teremos em dois dias?

n = 2880 54 = 53,3

E então a energia será:

E n = 0,984 n E o

Vamos substituir os valores numéricos sem os arredondamentos:

E 53,3 = 1 - 0,0157 2880 54 E o

E 53,3 ≅ 0,43   E 0

Resposta

(a) A perda de energia por ciclo é 1,57 % .

(b) Demonstração.

(c) E = 0,43   E 0 .

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