Enunciado

O tempo médio de vida de múons estacionários é 2,2000   μ s . O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos por um certo raio cósmico é 16,000   μ s no referencial da Terra. Determine, com cinco algarismos significativos, a velocidade em relação à Terra dos múons produzidos pelo raio cósmico.

Passo 1

Como os múons estão se movendo com uma velocidade alta em relação à Terra, vamos observar alguma dilatação temporal:

Δ t = γ Δ t 0

Δ t é o tempo medido no referencial da Terra, e Δ t 0 é o tempo medido no próprio referencial do múon.

Isso quer dizer que o tempo medido no referencial do múon vai “passar um pouco mais devagar”.

Ou seja, se o múon estacionário tem 2,200   μ s de vida, quando nós estivermos olhando para um múon em alta velocidade, vai parecer que ele durando mais do que isso!

Passo 2

Vamos lembrar da expressão para o fator γ , e substituir na equação de cima:

Δ t = 1 1 - v 2 c 2 Δ t 0

O enunciado já deu Δ t e Δ t 0 , e conhecemos c (a velocidade da luz). Vamos então tentar isolar v :

1 - v 2 c 2 = Δ t 0 Δ t

Agora elevamos tudo ao quadrado:

1 - v 2 c 2 = Δ t 0 2 Δ t 2

v 2 = c 2 1 - Δ t 0 2 Δ t 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores que foram dados no enunciado. O tempo de vida do múon medido no seu próprio referencial é Δ t 0 = 2,200   μ s .

Mas o tempo que observamos no referencial da Terra é Δ t = 16,000   μ s . Então:

v 2 = c 2 1 - Δ t 0 2 Δ t 2

v 2 = c 2 1 - 2,200 2 16,000 2

v = 0,99050   c

Onde c é a velocidade da luz no vácuo.

Resposta

A velocidade dos múons em relação à Terra é v = 0,99050 c .

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