Enunciado

Todos os exemplos da lei de Gauss usaram superfícies altamente simétricas através das quais a integral de fluxo é nula ou igual a E A . Nós também alegamos que o fluxo resultante Φ e = Q i n t ε 0 é independente da superfície gaussiana usada. Vale a pena verificar se isso, de fato, é verdadeiro. A FIGURA PD28.55 apresenta um cubo com aresta de comprimento L, centrado em um fio fino dotado de uma densidade linear de carga λ . O fluxo através de uma face do cubo não é, simplesmente, igual a E A porque, neste caso, o campo elétrico varia em intensidade e orientação. Mas você pode calcular o fluxo efetuando a integral de fluxo.

a. Considere, por exemplo, a face direita do cubo, paralela ao plano y z . Defina o vetor área com módulo igual à área de uma faixa de largura d y e comprimento L e com a mesma orientação do eixo x. Uma dessas faixas é mostrada na figura, correspondente a uma posição y. Use o campo elétrico de um fio, já conhecido, para calcular o fluxo elétrico d Φ através dessa pequena área. Sua expressão deve ser uma função de y, que é uma variável, e de várias constantes, e não deverá depender explicitamente de quaisquer ângulos.

b. Agora integre d Φ para determinar o fluxo total através da face ilustrada.

c. Finalmente, mostre que o fluxo resultante através do cubo é Φ = Q i n t ε 0 .

Passo 1

Pronto para os problemas desafiadores?

Queremos o fluxo do campo elétrico, vamos começar definindo o campo elétrico

Φ e = E ⋅ A

E ⋅ A = Q i n t ε 0

A área pela qual o campo elétrico vai sair é pela lateral do cilindro.

E ⋅ 2 π r L = Q i n t ε 0

E = Q i n t ε 0 2 π r L

Vamos substituir a carga

E = λ L ε 0 2 π r L

E = λ ε 0 2 π r

Perfeito. Agora vamos deixar o r em termos de largura e comprimento.

E = λ ε 0 2 π 1 y 2 + L / 2 2 r ^

Bom, este é o campo elétrico. Porém, queremos o fluxo elétrico. Vamos definir a área com mais uma informação.

Φ e = E ⋅ A

Φ e = E ⋅ L d y

Substituindo o campo elétrico

Φ e = λ ε 0 2 π 1 y 2 + L / 2 2 ⋅ L d y r ^ ⋅ i ^

Sendo c o s θ = a d j a s c e n t e h i p o t e n u s a podemos fazer algumas simplificações

Φ e = λ ε 0 2 π 1 y 2 + L / 2 2 ⋅ L d y r ^ ⋅ i ^

Φ e = λ ε 0 2 π 1 y 2 + L / 2 2 ⋅ L d y c o s θ

Φ e = λ L d y ε 0 2 π y 2 + L / 2 2 ⋅ L / 2 y 2 + L / 2 2

Pronto :) só fazer o produto.

Φ e = λ L 2 d y ε 0 4 π y 2 + L / 2 2

Passo 2

Para o item b, apenas precisamos integrar a nossa resposta anterior.

∫ - L / 2 L / 2   λ L 2 d y ε 0 4 π y 2 + L / 2 2

λ L 2 ε 0 4 π 2 L t a n - 1 2 y L - L / 2 L / 2

Aqui podemos simplificar bastante, como t a n - 1 1 = 45 ° = π 4 temos:

λ L ε 0 2 π π 4 - - π 4

Φ = λ L 4 ε 0

Passo 3

Pessoal, gora chegamos a parte mais tranquila, partindo desta equação.

Φ = λ L 4 ε 0

Sabemos que precisamos do fluxo das 4 faces (laterais.)

Φ t o t a l = λ L ε 0

Como

λ = Q L

Podemos substituir

Φ e = Q i n t ε 0

Resposta

a.

Φ e = λ L 2 d y ε 0 4 π y 2 + L / 2 2

b.

Φ = λ L 4 ε 0

c. Demonstração no Passo 3

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