Enunciado

Verifique a validade de 1 = r 2 + v 1 v 2 τ 2 por substituição das expressões para r e τ .

Passo 1

Vamos lembrar das fórmulas para os coeficientes de reflexão r e transmissão τ :

r = v 2 - v 1 v 2 + v 1

τ = 2 v 2 v 2 + v 1

E seguindo a orientação do enunciado, vamos simplesmente substituir essas expressões na expressão que foi dada para verificá-la:

r 2 + v 1 v 2 τ 2

v 2 - v 1 v 2 + v 1 2 + v 1 v 2 2 v 2 v 2 + v 1 2

Passo 2

Vamos começar a simplificar. Primeiro vamos “abrir” as potências do primeiro termo:

v 2 2 - 2 v 2 v 1 + v 1 2 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1 2 + v 1 v 2 2 v 2 v 2 + v 1 2

E agora fazemos o mesmo com o segundo:

v 2 2 - 2 v 2 v 1 + v 1 2 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1 2 + v 1 v 2 4 v 2 2 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1

No termo da direta, podemos dividir por v 2 no denominador e no numerador:

v 2 2 - 2 v 2 v 1 + v 1 2 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1 2 + 4 v 2 v 1 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1

E agora, como os denominadores são iguais, podemos somar as expressões nos numeradores:

v 2 2 - 2 v 2 v 1 + v 1 2 + 4 v 2 v 1 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1 2 = v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1 2 v 2 2 + 2 v 2 v 1 + v 1 2 = 1

Que é exatamente o valor que foi dado no enunciado, portanto a igualdade é verdadeira.

Resposta

Demonstração.

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