Enunciado

Você constrói uma máquina térmica que requer 1,0   m o l de um gás ideal diatômico em todo o ciclo mostrado na figura 20.25. a) Mostre que o segmento a b é uma compressão isotérmica. b) Durant qual(is) segmento(s) do ciclo o calor é absorvido pelo gás? Durante qual(is) segmento(s) o calor é rejeitado? Como você sabe disso? c) Calcule a temperatura nos pontos a , b e c . d) Calcule o calor total trocado com o meio ambiente e o trabalho realizado pela máquina em um ciclo. Calcule a eficiência térmica da máquina.

Passo 1

a) Para mostrarmos que o processo é isotérmico, a gente supõe que ele é e usa a equação dos gases ideais para confirmar

P V = n R T

E igualamos os estados a e b já que o lado direito é constante:

P a V a = P b V b

Se cada produto der o mesmo resultado, significa que podemos fazer a igualdade, e portanto, a temperatura é constante:

P a V a = 2,0 × 10 5   P a 0,010   m 3 = 2,0 × 10 3   J

P b V b = 4 , 0 × 10 5   P a 0,0 05   m 3 = 2,0 × 10 3   J

Como podemos ver, os valores são iguais, então o processo a → b é isotérmico.

Passo 2

b) O processo a → b é uma compressão, o que significa que o trabalho do gás é negativo, e pela primeira lei da termodinâmica:

∆ U = Q - W

A variação de energia interna será zero porque o processo é isotérmico, então:

Q = W

Como a gente concluiu que o trabalho tem valor negativo por se tratar de uma compressão, o calor é negativo e tem o mesmo valor.

No processo b → c o gás está a pressão constante, a equação de calor para esse caso é:

Q = n C P T c - T b

Substituindo ∆ T usando a equação dos gases ideais:

Q = C P P R ∆ V

Como o volume aumenta nesse processo, o valor da equação acima será positivo e o gás absorve calor.

E no último processo c → a , o processo é dado a volume constante, então a equação de calor é:

Q = n C V ∆ T

Substituindo de novo ∆ T :

Q = C P R V ∆ P

Como a a pressão cai, o ∆ P será negativo e o calor é liberado nesse processo.

Passo 3

c) Como a pressão e o volume de cada ponto é dado e o numero de mol é dado, basta usarmos a equação dos gases ideais para cada caso e isolar a temperatura:

P V = n R T

T = P V n R

Para o ponto a :

T a = P a V a n R = 2,0 × 10 5   P a 0,010   m 3 1,0   m o l 8,314   j / m o l ⋅ K

T a = 241   K

Como o processo a → b é isotérmico, se já temos a temperatura do ponto a sabemos a do ponto b :

T a = T b = 241   K

E para o ponto ( c ) :

T c = P c V c n R = 4 , 0 × 10 5   P a 0,0 05   m 3 1,0   m o l 8,314   j / m o l ⋅ K

T c = 481   K

Passo 4

d) O calor total trocado com o meio pela maquina é a soma do calor absorvido ou liberado por cada processo:

Q t o t a l = Q a b + Q b c + Q c a

Para o processo a → b podemos suar a equação:

Q a b = n R T ln ⁡ V 2 V 1

Q a b = ( 1,00   m o l ) 8,314   j / m o l ⋅ K ( 241   K ) ln ⁡ 0,005   m 3 0,010   m 3

Q a b = - 1,39 × 10 3   J

Para os outros processos, vamos usar C V = 5 2 R e C P = 7 2 R que são os valores para um gás ideal diatômico. Calculando o calor de b → c :

Q b c = n C V ∆ T = 1,00   m o l 5 2 8,314   j / m o l ⋅ K ( 241   K )

Q b c = 7,01 × 10 3   J

E para o calor de c → a :

Q c a = n C P ∆ T = 1,00   m o l 7 2 8,314   j / m o l ⋅ K ( - 241   K )

Q c a = - 5,01 × 10 3   J

E a soma de todos é:

Q t o t a l = - 1,39 × 10 3   J + 7,01 × 10 3   J - 5,01 × 10 3   J

Q t o t a l = 610   J

E o trabalho total terá o mesmo valor, já que no processo a b Q = W como havíamos dito no Passo 1 através da primeira lei da termodinâmica, o que significa que o trabalho será igual.

No processo b c o valor pode ser calculado por:

W = P ∆ V = ( 4,0 × 10 5   P a ) ( 0,01   m 3 - 0,005   m 3 )

W = 2,0 × 10 3   J

E no processo c a , como o volume não varia, W = 0 .

Fazendo a soma:

W t o t a l = W a b + W b c + W c a  

W t o t a l = - 1,39 × 10 3   J + 2,0 × 10 3   J + 0

W t o t a l = 610   J

Passo 5

e) A eficiência térmica é a razão entre o trabalho total e o calor absorvido pela máquina, que será o calor do processo b c , quando o gás expande:

e = W Q H = 610   J 7,01 × 10 3   J = 0,087 = 8,7 %

Resposta

c   T a = T b = 241   K

T c = 481   K

d   Q t o t a l = W t o t a l = 610   J

e   e = 8,7 %

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