Enunciado

Você está instalando uma bomba térmica, cujo CD é metade da CD de uma bomba térmica reversível. Você planeja usar a bomba nas noites geladas de inverno, para aumentar a temperatura do ar no seu quarto. As dimensões do seu quarto são 5,00 m × 3,50 m × 2,50 m. A temperatura do ar deve aumentar de 63°F para 68°F. A temperatura externa é de 35°F e a temperatura do ar do quarto é de 112°F. Se o consumo elétrico da bomba é de 750 W, por quanto tempo você terá que esperar para que o ar do seu quarto aqueça, se o calor específico do ar vale 1,005 kJ/(kg · ° C)? Suponha que você tenha boas cortinas de janelas e bom isolamento de paredes, de maneira a poder negligenciar a liberação de calor através de janelas, paredes, tetos e chão. Suponha, também, que a capacidade térmica do chão, teto, paredes e móveis seja desprezível.

Passo 1

Legal galera, exercício interessante. Nós queremos achar o tempo certo? E temos algumas informações quanto à potência e ao CD. Então, o mais importante aqui é conseguir relacioná-los.

Vamos começar pela definição de CD para bombas térmicas:

C D B T = Q Q W

Sabemos que uma máquina funcionando a uma determinada potência vai realizar trabalho ao longo de determinado tempo:

P = W ∆ t → W = P ∆ t

Substituindo:

C D B T = Q Q P ∆ t

Agora sim! Achamos a relação que precisávamos. Isolando ∆ t : ∆ t = Q Q P . C D B T

O problema aqui é que ainda não temos Q Q e C D B T . Vamos começar por C D B T .

Já sabemos que:

C D B T = 1 2 C D m á x

E qual é o C D m a x ? Fácil ! Quando o coeficiente for máximo, podemos assumir que:

Q Q = T Q

Q f = T f

Sendo assim:

C D m á x = T Q W

Sabendo que:

W = T Q - T f

Substituindo:

C D m á x = T Q T Q - T f

Então:

C D B T = 1 2 T Q T Q - T f

Só precisamos do calor utilizado para aquecer o quarto. Quando o calor é cedido ou absorvido, podemos calculá-lo como:

Q Q = m c ∆ T

Lembrando que:

ρ = m V → m = ρ V

Ou seja,

Q Q = ρ V c ∆ T

Colocando tudo isso no tempo:

∆ t = ρ V c ∆ T 1 2 P . T Q T Q - T f = 2 . ρ V c ∆ T P . T Q T Q - T f

Falta pouco! Agora nós só precisamos colocar valores em tudo isso

Passo 2

Vamos analisar as variáveis:

P = 750   W

T Q = 112 ° F →   T Q = 317   K

T f = 35 ° F →   T f = 275   K

Lembram como fazer esta transformação?

K - 273 5 = F - 32 9

Vamos seguir para as próximas. A densidade do ar é tabelada:

ρ = 1 , 293 k g m 3

V = 5   m   x   3,5   m   x   2,5   m = 43,75   m ³

c = 1005 J k g   . °   C

∆ T = 98 ° F - 93 ° F = 5 ° F

Vamos transformar esta variação em °C para se tornar compatível com c:

∆ T = 5 ° F   x   5 ° C 9 °   F = 2,78 ° C

Jogamos tudo isso na fórmula do passo 1:

∆ t = 2 . 1 , 293 k g m 3 43,75   m 3 1005 J k g   . °   C ( 2,78 ° C ) ( 750   W ) . 317   K 317   K - 275   K = 56   s

Resposta

∆ t = 56   s

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