Campos Cruzados

Teoria Completa

Tanto um campo elétrico E → quanto um magnético B → podem exercer uma força sobre uma partícula com carga elétrica. Quando os dois campos são perpendiculares entre si, dizemos que se tratam de campos cruzados.

E agora, como é que será o movimento de uma carga na presença de campos cruzados? É isso que nós vamos ver agora!

Força Resultante Nula

Antes de começarmos, vale relembrar uma forma de representar vetores que vamos usar bastante aqui:

  • Quando um vetor está entrando no plano da página, nós o representamos dessa forma (é como se você estivesse vendo as penas de uma flecha que está entrando na página);
  • Quando um vetor está saindo do plano da página, nós o representamos dessa forma (é como se você estivesse vendo a ponta de uma flecha que está saindo da página).

Vamos imaginar que uma partícula de carga q está se movendo em uma região (entre duas placas carregadas) com a presença de um campo elétrico e de um campo magnético, de acordo com a seguinte situação:

Supondo que q > 0 (carga positiva), as forças sobre a carga vão ter essa cara:

Agora, concorda comigo que se houver uma força resultante pra qualquer um dos lados, a trajetória da partícula carregada vai sofrer um desvio?

O único jeito da trajetória da partícula não sofrer nenhuma deflexão será se a força elétrica e a força magnética se cancelarem mutuamente, logo:

F E = F B

q E = q v B . sen ⁡ 90 ° = q v B

Finalmente:

v = E B

Assim, quando temos uma situação de campos cruzados na qual as partículas não sofrem desvio de trajetória, podemos medir a velocidade das partículas.

Efeito Hall

Já sabemos que elétrons no vácuo podem ser desviados se estiverem sob a ação de um campo magnético. Mas será que isso se restringe somente para quando os elétrons estão no vácuo?

Não! Os elétrons que se movem no interior de um fio de cobre, por exemplo, também podem ser desviados por um campo magnético e esse efeito se chama Efeito Hall.

Vamos imaginar uma fita de cobre de largura d , percorrida por uma corrente i , cujo sentido é de cima para baixo (logo o dos elétrons é o contrário).

Quando um campo magnético B, que aponta para dentro da tela, é ligado, uma força magnética age sobre os elétrons, deslocando-os para o lado direito da fita, como na figura abaixo:

O acúmulo de elétrons no lado direito ocasiona uma separação de cargas, que, por sua vez, gera um campo elétrico (perpendicular ao magnético) no interior da fita.

Os elétrons continuam a se mover até que a força elétrica exercida pelo campo se iguale a magnética. Nesse momento:

F E = F B

e E = e v d B

E = v d B

O campo elétrico gerado está associado a uma diferença de potencial, chamada diferença de potencial de Hall, dada por:

V = E d

A velocidade de deriva v d é dada por:

v d = i n e A

Onde n é o número de portadores de carga por unidade de volume. Misturando a coisa toda, podemos chegar a essa equação:

n   = B i V l e

Onde l é a espessura da fita, dada por:

l = A d

É isso, galera. São essas as equações que precisamos saber para resolver qualquer exercício de Efeito Hall.

Agora vamos praticar?

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Exercício Resolvido #1

UFRJ- Física III-Prova 2-2014.1-Múltipla Escolha n°4.

Todas as partículas carregadas que passam através de uma região em que existem campos elétrico e magnético constantes, ortogonais, sem serem defletidas, têm em comum:

  1. A massa;
  2. O momento linear;
  3. A velocidade;
  4. A energia;
  5. A razão entre a carga e a massa;
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Passo 1

Se elas não são defletidas quer dizer que a força resultante por elas é nula:

F → = 0 →

Portanto as duas forças (i.e. elétrica e magnética) em cada uma delas devem se anular:

F → e + F → m = 0 →

Portanto os módulos serão iguais:

F e = F m

Passo 2

Como eles são ortogonais, seja v a componente da velocidade que contribui para força magnética:

q E = q v B

E = v B

Ou seja, a velocidade tem sempre esse mesmo valor:

v = E B

Ao passo que a carga pode ser qualquer coisa e a massa também.

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

UFRJ- Física III-Prova 2-2015.1-Múltipla Escolha n°3.

Uma região possui campo elétrico e magnético uniformes.

O campo elétrico aponta na direção e sentido de x ^ e o campo magnético aponta na direção e sentido de y ^ . Uma partícula de carga positiva atravessa a região em movimento retilíneo e uniforme. Em qual direção e sentido aponta a velocidade da partícula?

a z ^

b - z ^

c x ^

d y ^

e - y ^

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Passo 1

Para que a carga tenha movimento retilíneo uniforme é necessário que a força resultante sobre ela seja nula, sendo assim:

F → B + F → E = 0

F → B = - F → E

A força magnética é dada por F → B = q v → × B → e a força elétrica é dada por F → E = q E → . Logo:

q v → × B → =   - q E →

v → × B → =   - E →

Passo 2

Sabemos que B → = B y ^ e E → = E x ^ . Assim:

v → × B y ^ =   - E x ^

B v → × y ^ =   E - x ^

Dessa forma, para que o produto vetorial v → × y ^ aponte na direção e sentido de - x ^ , usando a regra da mão direita, é necessário que o vetor velocidade v → tenha a direção e sentido de z ^ .

A resposta certa é a letra a .

Resposta

a z ^

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 226-13.

Uma fita de cobre com 150   μ m de espessura e 4,5   m m de largura é submetida a um campo magnético uniforme B → de módulo 0,65   T , com B → perpendicular à fita.

Quando uma corrente i = 23   A atravessa a fita, uma diferença de potencial V aparece entre suas bordas. Calcule V . (A concentração de portadores de carga no cobre é 8,47 × 10 28   e l é t r o n s / m 3 .)

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Passo 1

Sabemos que o número de portadores de carga por unidade de volume é:

n   = B i V l e

Logo:

V = B i n l e

Onde:

B = 0,65   T

i = 23   A

n = 8,47 × 10 28   e l é t r o n s / m 3

l = 150   μ m = 150 × 10 - 6 m

e = 1,6 × 10 - 19 C

Jogando esses caras na expressão de V , teremos:

V = 0,65 × 23 8,47 × 10 28 × 150 × 10 - 6 × 1,6 × 10 - 19

V = 7,4 × 10 - 6 V

Resposta

V = 7,4 × 10 - 6 V

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 226-14

Uma fita metálica com 6,50   c m de comprimento, 0,85   c m de largura e 0,76   m m de espessura está se movendo com velocidade constante v → em uma região onde existe um campo magnético uniforme B = 1,20   m T perpendicular à fita, como na figura abaixo:

A diferença de potencial entre os pontos x e y na fita é 3,90   μ V . Determine a velocidade escalar v .

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Passo 1

A velocidade está associada ao campo magnético B e o campo elétrico pela relação:

E = v B → v = E B

Onde o campo elétrico é dado por:

Δ V = E d

E = Δ V d

Assim, a velocidade será dada por:

v = Δ V / d B

v = Δ V B d

Onde:

Δ V = 3,90   μ V = 3,9 × 10 - 6   V

B = 1,20   m T = 1,2 × 10 - 3   T

d = 0,85   c m = 0,85 × 10 - 2   m

Finalmente:

v = 3,9 × 10 - 6 1,2 × 10 - 3 × 0,85 × 10 - 2

v = 0,382   m / s

Resposta

v = 0,382   m / s

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 225-7.

Na figura abaixo, um elétron acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial V 1 = 1,0   k V entra no espaço entre duas placas paralelas, separadas por uma distância d = 20,0   m m , entre as quais existe uma diferença de potencial V 2 = 100   V .

A placa inferior está a um potencial menor. Despreza o efeito de borda e suponha que o vetor velocidade do elétron é perpendicular ao vetor campo elétrico na região entre as placas.

Em termos dos vetores unitários, qual é o campo magnético uniforme para o qual a trajetória do elétron na região entre as placas é retilínea?

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Passo 1

Então, primeiro vamos resumir esse enunciado: temos um elétron que é acelerado até entrar numa região que apresenta campos cruzados. Ele quer que a gente calcule o campo magnético para o qual o elétron não sofrerá desvio.

São dados: V 1 = 1,0   k V , V 2 = 100   V , d = 20,0   m m e a informação de que o vetor velocidade do elétron é perpendicular ao vetor campo elétrico na região entre as placas.

Passo 2

Beleza, vamos começar calculando o módulo do campo magnético. Para que a trajetória do elétron não sofra nenhum desvio, vimos que é necessário que:

B = E v

O campo elétrico entre as placas é dado por:

E = V 2 d