Força Magnética sobre um Fio Condutor

Teoria Completa

Força em Corpos Carregados

Já sabemos como a força magnética age sobre cargas pontuais. Mas e quando estivermos falando de distribuições contínuas de carga?

Primeiramente vamos enxergar o que está acontecendo: temos uma distribuição contínua de cargas, todas elas com uma certa velocidade. Isto implica em estarmos falando de uma corrente I , certo?

Nesse caso, a força resultante do campo externo nessa distribuição de cargas será dada por:

F B → = ∫ corpo   I   d l → × B →

A sua dúvida agora é, naturalmente, o que significa esse vetor d l → na equação. Esse vetor é tangente à trajetória das cargas puntiformes, ou seja, ele sempre aponta no sentido da corrente em determinado ponto.

Se tivermos um circuito, por exemplo:

A trajetória você sabe: é só seguir o circuito no sentido da corrente, que é o anti-horário. Como ficaria o d l → nesse caso?

Beleza, tudo certinho até aqui? A única coisa chata é que esse novo vetor d l → × B → é (geralmente) uma variável. Mesmo drama daquele r ^ nas integrais de campo elétrico. Temos que tentar definir o sentido do produto vetorial, substituir, e tentar tratar na integral. Vamos rodar dois exemplos que resumem tudo o que você precisa saber sobre a orientação desse vetor doido.

Exemplo 1: Fio retilíneo

Começando com um caso simples, vamos imaginar só um pedaço do circuito de comprimento L = 2 m passando uma corrente I = 3 A . O campo magnético naquela região é uniforme e de módulo B = 4 T . Temos então:

A questão é: qual a força que o campo faz nesse pedaço do circuito de comprimento L ? Bom, vamos aplicar a fórmula já adaptada:

F B → = ∫ fio   I   d l → × B →

Podemos usar a regra da mão direita para determinar o sentido desse produto vetorial. No caso, vai ser para cima:

Como temos o eixo y positivo para cima podemos dizer que o vetor d F B → está na direção + j ^ . Agora que sabemos o sentido da força podemos ir integrando em todo o segmento do fio. Como o campo é uniforme e a corrente é constante ambos podem sair da integral:

F B → = I B j ^ ∫ 0 L d l

A integral de pedaços infinitesimais do fio em um segmento de comprimento L nada mais é o que L :

F B → = I B L j ^

Substituindo os valores temos:

F B → = 3 × 4 × 2 = 24   T A m j ^

E como T = N A m   :

F B → = 24 N j ^

No final das contas, sempre que estivermos trabalhando com um fio retilíneo, a força magnética sobre esse fio será dada por:

F B → = I L → × B →

Onde L → é o vetor que tem o módulo igual ao tamanho do fio e a direção e sentido da corrente que passa por ele.

Exemplo 2: Fio semicircular

Agora vamos ver um caso com um d l → variável. Se tivermos um fio em formato de semicírculo de raio R = 1 m com corrente constante I = 2 A e imerso numa região de campo magnético uniforme com módulo B = 5 T .

Qual a força magnética que o campo faz no segmento semicircular do fio? Bom, aplicamos a fórmula:

F B → = ∫ fio   I   d l → × B →

O que temos agora é um problema com o d l → , mas isso não é muito estressante. Vamos desenhar vários deles e ver o que acontece:

Note como a direção do produto vetorial é sempre a mesma:

O que muda é o módulo. Se conseguirmos nos livrar desse vetor de dentro da integral o resto nós conseguimos tratar. Como foram mostrados os eixos, pela regra da mão direita vemos que o produto vai se dar na direção z ^ , para dentro da tela.

d l → × B → = B d l sen ⁡ θ   z ^

Agora precisamos tratar a integral:

F B → = I B z ^ ∫ fio   sen ⁡ θ d l

Conforme dito no enunciado, o raio da semicircunferência é R . Trocando para coordenadas polares:

d l = R d θ

F B → = I B R z ^ ∫ fio   sen ⁡ θ d θ

Vemos também que o ângulo vai de 0 ° até 180 ° .

F B → = I B R z ^ ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ

F B → = I B R z ^ - cos ⁡ θ 0 π

F B → = I B R z ^ - cos ⁡ π + cos ⁡ 0

Ufa chegamos na equação da força magnética nesse caso:

F B → = 2 I B R z ^

Agora é só substituir os parâmetros e correr pro abraço:

F B → = 2 × 2 × 5 × 1 = 20 N z ^

Pronto.

Barras Deslizantes

Muitas vezes, nós iremos encontrar questões em que o fio não está fixo no espaço, e sim se movendo conforme uma força magnética atua sobre ele. Nosso trabalho, nesse tipo de problema, é determinar em que direção é o movimento do fio.

Chamaremos esse tipo de situação de barras deslizantes, mas na verdade não são as barras que se movem, é o fio. Se liga no exemplo!

Vamos analisar a seguinte situação:

Nela, temos duas barras fixas horizontais, uma fonte de força eletromotriz e um fio retilíneo que une as duas barras e que pode se deslocar sem atrito sobre elas.

Todo o sistema está sobre a ação de um campo magnético B → que aponta para cima (direção perpendicular ao plano do circuito).

A partir do momento em que a corrente passa a circular no sistema, teremos uma força magnética F B → atuando sobre o fio retilíneo. Essa força magnética fará o fio se mover.

Como faremos pra determinar a direção do movimento do fio?

Sabendo que a força resultante sobre a barra deslizante é a força magnética, podemos dizer, a partir da segunda lei de Newton, que:

F R → = F B →

m a → = I L → × B →

Logo, a aceleração da barra será dada por:

a → = I m L → × B →

Se quisermos calcular a velocidade, também não vamos ter que quebrar muito a cabeça. É só lembrar da fórmula da aceleração instantânea lá da cinemática:

a → = d v → d t = I m L → × B →

v → = ∫ I m L → × B →   d t

Pra resolver essa integral, basta ficar de olho em quais termos são constantes pra tentar simplificar a sua vida.

Assim, se pararmos pra pensar, não foi tão difícil chegar nessas expressões, então talvez a boa seja entender o raciocínio que usamos aqui para que você possa fazer o mesmo. Pode ser melhor do que gravar mais fórmulas. Bora lá exercitar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-40.

O fio dobrado da figura abaixo está submetido a um campo magnético uniforme. Cada trecho retilíneo tem 2,0   m de comprimento e faz um ângulo de θ = 60 ° com o eixo x .

O fio é percorrido por uma corrente de 2,0   A . Qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio em termos de vetores unitários, se o campo magnético é:

a   4,0 k ^   T ;

b   4,0 i ^   T ;

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Passo 1

a   4,0 k ^   T ;

Como os trechos retilíneos tem o mesmo comprimento, é uma boa tentarmos explorar a simetria do problema.

A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:

F B → = I L → × B →

Aplicando a regra da mão direita, teremos o seguinte:

Analisando as forças, podemos perceber que as suas componentes na direção x se anulam e as componentes na direção y se somam.

A componente em y sobre o primeiro fio será:

F 1 y = i L B cos ⁡ 60 °

Logo:

F 1 y = 2 × 2 × 4 × 1 2

F 1 y = 8   N

Assim, a força resultante será:

F R = 2 F 1 y

F R = 16   N

Além disso, podemos ver que a força resultante estará apontando no sentido - j ^ .

F R → = - 16 j ^   N

Passo 2

b   4,0 i ^   T ;

Novamente, partindo da regra da mão direita, podemos ver que, em ambos os fios, a força magnética estará apontando na direção z , como mostra a figura abaixo.

Como os dois fios são tem o mesmo tamanho, não é difícil concluir que F 1 → = F 2 → .

Logo, as duas forças irão se anular e a força resultante total será nula:

F R → = 0

Resposta

a

F R → = - 16 j ^   N

b F R → = 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2014.1 – Múltipla Escolha nº3.

Calcule a força magnética resultante sobre o pedaço de fio, através do qual passa uma corrente elétrica estacionária de intensidade I , composto por dois segmentos retilíneos, de comprimento L , muito grande, e uma semicircunferência de círculo, de raio a , na presença de um campo magnético constante (estacionário e uniforme) B → = B y ^ , B = const > 0 .

  1. 2 I a B z ^
  2. - 2 I a B z ^
  3. 2 I L B z ^
  4. - 2 I L B z ^
  5. - 2 I L B z ^
  6. - 2 I ( a + L ) B z ^
  7. 2 I a - L B z ^
  8. - 2 I ( a - L ) B z ^
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Passo 1

A força magnética é dada por:

F → = q v → × B →

No caso de uma distribuição contínua de cargas em movimento (corrente), utilizamos a expressão equivalente:

d F → = I   d l → × B →

E integramos no circuito todo:

F → = I ∫ C   d l → × B →

Basta determinarmos o sentido do produto vetorial para cada segmento. Podemos mostrar que para os retilíneos não há força por conta do produto nulo:

O que é conveniente, senão teríamos que fazer uma integral com limites de integração infinitos.

Passo 2

Fazendo agora o produto para o segmento semicircular:

Podemos ver que sempre aponta para o centro, o que é uma pena. Nosso produto vetorial admite variabilidade, então não podemos tirar ele fora da integral... Por simetria sabemos que não vai haver componente no sentido de O x , como as respostas das múltiplas escolhas já sugerem.

Passo 3

Vamos decompor o vetor e achar a componente dela em O z :

Calculando o módulo dele:

F Z = I B ∫ C   sen ⁡ θ d l

Trocamos para coordenadas polares:

d l = a d θ

F Z = I B a ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ

Passo 4

Que resulta em:

F Z = - I B a   cos ⁡ θ 0 π

F Z = - I B a - 1 - 1

F Z = 2 I B a

Ajustamos o vetor para apontar pra baixo (pois já sabemos a orientação):

F → = - 2 I B a z ^

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-44.

Na figura abaixo, um fio metálico de massa m = 24,1   m g pode deslizar com atrito insignificante sobre dois trilhos paralelos horizontais separados por uma distância d = 2,56   c m .

O conjunto está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo 56,3   m T .

No instante t = 0 um gerador G é ligado aos trilhos e produz uma corrente constante i = 9,13   m A no fio e nos trilhos (mesmo quando o fio está se movendo). No instante t = 61,1   m s , determine:

a a velocidade escalar do fio;

b o sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).

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Passo 1

a Determine a velocidade escalar do fio;

Sabendo que a força resultante sobre o fio deslizante é a força magnética, podemos dizer, a partir da segunda lei de Newton, que:

F R = F B

m a = i d B

Logo, a aceleração da barra será dada por:

a = i d B m

Como a corrente é constante, a aceleração também será constante. Portanto:

Δ v Δ t = i d B m

Como a velocidade inicial do fio é nula, teremos:

v = i d B Δ t m

Onde:

i = 9,13   m A = 9,13 × 10 - 3 A

d = 2,56   c m = 2,56 × 10 - 2 m

B = 56,3   m T = 5,63 × 10 - 2 T

Δ t = 61,1   m s = 6,11 × 10 - 2 T

m = 24,1   m g = 2,41 × 10 - 5 k g

Jogando isso tudo na expressão da velocidade, teremos:

v = 9,13 × 10 - 3 × 2,56 × 10 - 2 × 5,63 × 10 - 2 × 6,11 × 10 - 2 2,41 × 10 - 5

v = 3,34 × 10 - 2 m / s

Passo 2

b Determine o sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).

O sentido do movimento será dado pelo sentido da força magnética. Aplicando a regra da mão direita, teremos:

Logo, o fio se movimentará para a esquerda.

Resposta

a

v = 3,34 × 10 - 2 m / s

b

O fio se movimentará para a esquerda.

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-45.

Uma barra de cobre de 1,0   k g repousa em dois trilhos horizontais situados a 1,0 m de distância um do outro e é percorrida por uma corrente de 50   A . O coeficiente de atrito estático entre os trilhos é 0,60 . Determine a o módulo e b o ângulo (em relação à vertical) do menor campo magnético que faz a barra se mover.

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Passo 1

Beleza, esse não é dos mais fáceis, mas podemos dar conta numa boa...

Acontece que, como agora o campo magnético tem uma inclinação em relação à vertical, a força magnética sob a barra terá uma componente vertical e uma componente horizontal.

Antes de continuar, vamos definir B x como a componente horizontal do campo magnético e B y como a componente vertical do campo magnético, beleza? F B x , por sua vez, é a força magnética gerada pelo campo magnético B x e F B y , a força magnética gerada por B y .

Definindo o sentido da corrente indicado na figura, teremos a seguinte situação:

A menor força magnética na horizontal capaz de fazer o fio se mover deve ser igual à força de atrito estático. Logo:

F B y = μ N

Onde μ é o coeficiente de atrito estático e N é a força normal.

Passo 2

A força normal é a reação entre a barra e os trilhos, logo:

∑ F y = 0

N - m g + F B x = 0

N = m g - F B x

Onde F B x = i L B x , portanto:

N = m g - i L B x

Passo 3

Fazendo o somatório de forças na horizontal, teremos:

F B y = μ N

Onde F B y = i L B y .

i L B y = μ m g - i L B x

Como queremos descobrir o ângulo θ que o campo magnético faz com a vertical:

B y = B cos ⁡ θ

B x = B sen ⁡ θ

Jogando isso na equação de cima, teremos:

i L B cos ⁡ θ = μ m g - i L B sen ⁡ θ

Reorganizando os termos, teremos o seguinte:

B = μ m g i L cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ

Beleza, mas o que faremos a partir daqui?

Passo 4

Para descobrir o ângulo em relação à vertical, vamos derivar a expressão de B em relação θ e igualar o resultado a zero, beleza?

d B d θ = 0

μ m g i L sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Dessa equação, μ , m , g , i e L são constantes, logo:

sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0

Para que essa razão seja nula, é necessário que o numerador seja nulo, portanto:

sen ⁡ θ - μ cos ⁡ θ = 0

tan ⁡ θ = μ

Onde μ = 0,60 :

θ = arctan ⁡ μ

θ = arctan ⁡ 0,60

θ = 31 °

Passo 5

Pra determinar o campo magnético, agora basta utilizar a relação de B que encontramos no Passo 3.

B = μ m g i L cos ⁡ θ + μ sen ⁡ θ

Onde:

μ = 0,60

m = 1,0   k g

g = 9,8   m / s 2

i = 50 A

L = 1,0   m

θ = 31 °

Jogando tudo em B , teremos:

B = 0,60 × 1 × 9,8 50 × 1 cos ⁡ 31 ° + μ sen ⁡ 31 °

B = 0,10   T

Resposta

a

B = 0,10   T

b

θ = 31 °

Exercício Resolvido #5

UNICAMP – Física III – Prova 2 – 2012.2 – Diurno – Questão 4.

A figura abaixo mostra um fio que conduz uma corrente i . Ele é formado por dois trechos retilíneos de comprimento L , ambos tangentes à mesma circunferência de raio R , e por um arco desta circunferência que subentende um ângulo central de 90 ° , conforme a figura abaixo.

O fio está numa região onde existe um campo magnético B → uniforme, perpendicular ao plano da página e orientado para fora dela.

a ) Calcule o vetor força magnética que age sobre cada segmento de fio retilíneo;

b ) Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;

c )