Força Magnética sobre um Fio Condutor
Teoria
Força em Corpos Carregados
Já sabemos como a força magnética age sobre cargas pontuais. Mas e quando estivermos falando de distribuições contínuas de carga?
Primeiramente vamos enxergar o que está acontecendo: temos uma distribuição contínua de cargas, todas elas com uma certa velocidade. Isto implica em estarmos falando de uma corrente , certo?
Nesse caso, a força resultante do campo externo nessa distribuição de cargas será dada por:
A sua dúvida agora é, naturalmente, o que significa esse vetor na equação. Esse vetor é tangente à trajetória das cargas puntiformes, ou seja, ele sempre aponta no sentido da corrente em determinado ponto.
Se tivermos um circuito, por exemplo:
A trajetória você sabe: é só seguir o circuito no sentido da corrente, que é o anti-horário. Como ficaria o nesse caso?
Beleza, tudo certinho até aqui? A única coisa chata é que esse novo vetor é (geralmente) uma variável. Mesmo drama daquele nas integrais de campo elétrico. Temos que tentar definir o sentido do produto vetorial, substituir, e tentar tratar na integral. Vamos rodar dois exemplos que resumem tudo o que você precisa saber sobre a orientação desse vetor doido.
Exemplo 1: Fio retilíneo
Começando com um caso simples, vamos imaginar só um pedaço do circuito de comprimento passando uma corrente . O campo magnético naquela região é uniforme e de módulo . Temos então:
A questão é: qual a força que o campo faz nesse pedaço do circuito de comprimento ? Bom, vamos aplicar a fórmula já adaptada:
Podemos usar a regra da mão direita para determinar o sentido desse produto vetorial. No caso, vai ser para cima:
Como temos o eixo positivo para cima podemos dizer que o vetor está na direção . Agora que sabemos o sentido da força podemos ir integrando em todo o segmento do fio. Como o campo é uniforme e a corrente é constante ambos podem sair da integral:
A integral de pedaços infinitesimais do fio em um segmento de comprimento nada mais é o que :
Substituindo os valores temos:
E como :
No final das contas, sempre que estivermos trabalhando com um fio retilíneo, a força magnética sobre esse fio será dada por:
Onde é o vetor que tem o módulo igual ao tamanho do fio e a direção e sentido da corrente que passa por ele.
Exemplo 2: Fio semicircular
Agora vamos ver um caso com um variável. Se tivermos um fio em formato de semicírculo de raio com corrente constante e imerso numa região de campo magnético uniforme com módulo
Qual a força magnética que o campo faz no segmento semicircular do fio? Bom, aplicamos a fórmula:
O que temos agora é um problema com o , mas isso não é muito estressante. Vamos desenhar vários deles e ver o que acontece:
Note como a direção do produto vetorial é sempre a mesma:
O que muda é o módulo. Se conseguirmos nos livrar desse vetor de dentro da integral o resto nós conseguimos tratar. Como foram mostrados os eixos, pela regra da mão direita vemos que o produto vai se dar para dentro do plano da página, na direção contrária ao eixo .
Agora precisamos tratar a integral:
Conforme dito no enunciado, o raio da semicircunferência é . Trocando para coordenadas polares:
Vemos também que o ângulo vai de até .
Ufa chegamos na equação da força magnética nesse caso:
Agora é só substituir os parâmetros e correr pro abraço:
Pronto.
Barras Deslizantes
Muitas vezes, nós iremos encontrar questões em que o fio não está fixo no espaço, e sim se movendo conforme uma força magnética atua sobre ele. Nosso trabalho, nesse tipo de problema, é determinar em que direção é o movimento do fio.
Chamaremos esse tipo de situação de barras deslizantes, mas na verdade não são as barras que se movem, é o fio. Se liga no exemplo!
Vamos analisar a seguinte situação:
Nela, temos duas barras fixas horizontais, uma fonte de força eletromotriz e um fio retilíneo que une as duas barras e que pode se deslocar sem atrito sobre elas.
Todo o sistema está sobre a ação de um campo magnético que aponta para cima (direção perpendicular ao plano do circuito).
A partir do momento em que a corrente passa a circular no sistema, teremos uma força magnética atuando sobre o fio retilíneo. Essa força magnética fará o fio se mover.
Como faremos pra determinar a direção do movimento do fio?
Sabendo que a força resultante sobre a barra deslizante é a força magnética, podemos dizer, a partir da segunda lei de Newton, que:
Logo, a aceleração da barra será dada por:
Se quisermos calcular a velocidade, também não vamos ter que quebrar muito a cabeça. É só lembrar da fórmula da aceleração instantânea lá da cinemática:
Pra resolver essa integral, basta ficar de olho em quais termos são constantes pra tentar simplificar a sua vida.
Assim, se pararmos pra pensar, não foi tão difícil chegar nessas expressões, então talvez a boa seja entender o raciocínio que usamos aqui para que você possa fazer o mesmo. Pode ser melhor do que gravar mais fórmulas. Bora lá exercitar?
Exemplo 1: Fio retilíneo
Exemplo 2: Fio semicircular
Barras Deslizantes
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-40.
O fio dobrado da figura abaixo está submetido a um campo magnético uniforme. Cada trecho retilíneo tem de comprimento e faz um ângulo de com o eixo .
O fio é percorrido por uma corrente de . Qual é a força que o campo magnético exerce sobre o fio em termos de vetores unitários, se o campo magnético é:
;
;
Passo 1
;
Como os trechos retilíneos tem o mesmo comprimento, é uma boa tentarmos explorar a simetria do problema.
A força magnética sobre um fio retilíneo é dada por:
Aplicando a regra da mão direita, teremos o seguinte:
Analisando as forças, podemos perceber que as suas componentes na direção se anulam e as componentes na direção se somam.
A componente em sobre o primeiro fio será:
Logo:
Assim, a força resultante será:
Além disso, podemos ver que a força resultante estará apontando no sentido .
Passo 2
;
Novamente, partindo da regra da mão direita, podemos ver que, em ambos os fios, a força magnética estará apontando na direção , como mostra a figura abaixo.
Como os dois fios são tem o mesmo tamanho, não é difícil concluir que .
Logo, as duas forças irão se anular e a força resultante total será nula:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ – Física III – Prova 2 – 2014.1 – Múltipla Escolha nº3.
Calcule a força magnética resultante sobre o pedaço de fio, através do qual passa uma corrente elétrica estacionária de intensidade , composto por dois segmentos retilíneos, de comprimento , muito grande, e uma semicircunferência de círculo, de raio , na presença de um campo magnético constante (estacionário e uniforme) , .
Passo 1
A força magnética é dada por:
No caso de uma distribuição contínua de cargas em movimento (corrente), utilizamos a expressão equivalente:
E integramos no circuito todo:
Basta determinarmos o sentido do produto vetorial para cada segmento. Podemos mostrar que para os retilíneos não há força por conta do produto nulo:
O que é conveniente, senão teríamos que fazer uma integral com limites de integração infinitos.
Passo 2
Fazendo agora o produto para o segmento semicircular:
Podemos ver que sempre aponta para o centro, o que é uma pena. Nosso produto vetorial admite variabilidade, então não podemos tirar ele fora da integral... Por simetria sabemos que não vai haver componente no sentido de , como as respostas das múltiplas escolhas já sugerem.
Passo 3
Vamos decompor o vetor e achar a componente dela em :
Calculando o módulo dele:
Trocamos para coordenadas polares:
Passo 4
Que resulta em:
Ajustamos o vetor para apontar pra baixo (pois já sabemos a orientação):
Resposta
Letra b
Exercício Resolvido #3
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-44.
Na figura abaixo, um fio metálico de massa pode deslizar com atrito insignificante sobre dois trilhos paralelos horizontais separados por uma distância .
O conjunto está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo .
No instante um gerador é ligado aos trilhos e produz uma corrente constante no fio e nos trilhos (mesmo quando o fio está se movendo). No instante , determine:
a velocidade escalar do fio;
o sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).
Passo 1
Determine a velocidade escalar do fio;
Sabendo que a força resultante sobre o fio deslizante é a força magnética, podemos dizer, a partir da segunda lei de Newton, que:
Logo, a aceleração da barra será dada por:
Como a corrente é constante, a aceleração também será constante. Portanto:
Como a velocidade inicial do fio é nula, teremos:
Onde:
Jogando isso tudo na expressão da velocidade, teremos:
Passo 2
Determine o sentido do movimento do fio (para a esquerda ou para a direita).
O sentido do movimento será dado pelo sentido da força magnética. Aplicando a regra da mão direita, teremos:
Logo, o fio se movimentará para a esquerda.
Resposta
O fio se movimentará para a esquerda.
Exercício Resolvido #4
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-45.
Uma barra de cobre de repousa em dois trilhos horizontais situados a de distância um do outro e é percorrida por uma corrente de . O coeficiente de atrito estático entre os trilhos é . Determine o módulo e o ângulo (em relação à vertical) do menor campo magnético que faz a barra se mover.
Passo 1
Beleza, esse não é dos mais fáceis, mas podemos dar conta numa boa...
Acontece que, como agora o campo magnético tem uma inclinação em relação à vertical, a força magnética sob a barra terá uma componente vertical e uma componente horizontal.
Antes de continuar, vamos definir como a componente horizontal do campo magnético e como a componente vertical do campo magnético, beleza? , por sua vez, é a força magnética gerada pelo campo magnético e , a força magnética gerada por .
Definindo o sentido da corrente indicado na figura, teremos a seguinte situação:
A menor força magnética na horizontal capaz de fazer o fio se mover deve ser igual à força de atrito estático. Logo:
Onde é o coeficiente de atrito estático e é a força normal.
Passo 2
A força normal é a reação entre a barra e os trilhos, logo:
Onde , portanto:
Passo 3
Fazendo o somatório de forças na horizontal, teremos:
Onde .
Como queremos descobrir o ângulo que o campo magnético faz com a vertical:
Jogando isso na equação de cima, teremos:
Reorganizando os termos, teremos o seguinte:
Beleza, mas o que faremos a partir daqui?
Passo 4
Para descobrir o ângulo em relação à vertical, vamos derivar a expressão de em relação e igualar o resultado a zero, beleza?
Dessa equação, , , , e são constantes, logo:
Para que essa razão seja nula, é necessário que o numerador seja nulo, portanto:
Onde :
Passo 5
Pra determinar o campo magnético, agora basta utilizar a relação de que encontramos no Passo 3.
Onde:
Jogando tudo em , teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #5
UNICAMP – Física III – Prova 2 – 2012.2 – Diurno – Questão 4.
A figura abaixo mostra um fio que conduz uma corrente . Ele é formado por dois trechos retilíneos de comprimento , ambos tangentes à mesma circunferência de raio , e por um arco desta circunferência que subentende um ângulo central de , conforme a figura abaixo.
O fio está numa região onde existe um campo magnético uniforme, perpendicular ao plano da página e orientado para fora dela.
Calcule o vetor força magnética que age sobre cada segmento de fio retilíneo;
Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;
Calcule a força resultante que age sobre o fio;
Passo 1
Calcule o vetor força magnética que age sobre cada segmento de fio retilíneo;
A força magnética sobre uma espira é dada por:
No caso de um fio retilíneo e campo magnético uniforme, podemos dar uma simplificada na fórmula:
Lembrando que é o vetor que aponta sempre na direção e sentido da corrente.
Aqui, vamos dividir o problema em duas partes... vamos resolver para o fio 1 e para o fio 3, como mostra a figura.
Passo 2
- Fio 1:
- Fio 3:
De acordo com o sentido que a corrente flui no fio 1, podemos escrever como:
Como o campo magnético é dado por , teremos:
De acordo com o sentido que a corrente flui no fio 3, podemos escrever como:
Assim, a força magnética sobre o fio 3 será:
Passo 3
Calcule o vetor força magnética que age sobre a parte circular;
A ideia aqui é começar calculando a força sobre um elemento infinitesimal do fio circular, como mostra a figura:
Logo:
Onde, de acordo com a figura acima:
Substituindo esses caras na expressão de , teremos:
Pra finalizar, temos apenas que integrar esse cara de até , seguindo o caminho da corrente, que vai de cima para baixo: