Força Magnética

Resumo Completo

Introdução

Vamos começar a falar da força magnética. Ela tem as suas semelhanças com a força elétrica, que nós já estudamos.

Mas a grande diferença é que os seus efeitos só afetam cargas que se movem.

Nós vamos ver que:

  • Cargas em movimento produzem campo magnético. Cargas em repouso não;
  • Cargas em movimento podem sofrer ação de forças magnéticas. Cargas em repouso não.

Força Magnética

Temos uma força magnética quando um corpo carregado em movimento entra em contato com um campo magnético.

A fórmula da força magnética sobre uma carga puntiforme é a seguinte:

F B = q v × B

q : Carga elétrica C ;

v : Vetor velocidade da carga m / s ;

B : Vetor campo magnético. A unidade do campo magnético é o Tesla T ;

Como estamos trabalhando com esse produto vetorial, também podemos calcular o módulo da força magnética F B da seguinte forma:

F B = q . v . B . sen θ

Onde θ é o ângulo formado entre v e B .

Outro ponto importante de estarmos trabalhando com esse produto vetorial é que a direção e sentido de F B podem ser determinados através da regra da mão direita.

Como deu pra perceber, o produto vetorial e a regra da mão direita vão fazer parte da nossa vida a partir desse momento...

Então pra ficarmos afiados, vamos dar uma revisada neles, beleza?

Produto Vetorial

O produto vetorial é uma operação que pega dois vetores do R 3 e transforma num terceiro também do R 3 .

Representamos o produto vetorial por esse sinal: × .

Dado o seguinte produto vetorial:

v = a × b

O módulo do produto vetorial é dado por:

a × b = a b sen θ

Onde θ é o ângulo entre eles. Por conta dessa fórmula, sabemos que o produto vetorial entre dois vetores paralelos ( θ = 0 ° ou θ = 180 ° ) é o vetor nulo. Jamais esqueça!

Dados dois vetores no R 3 , por exemplo, o vetor velocidade v de uma partícula carregada com carga q e o vetor campo magnético B :

v = v x , v y , v z

B = B x , B y , B z

Nós calculamos a força magnética através do determinante abaixo:

F B = q . v × B = q . i ^ j ^ k ^ v x v y v z B x B y B z

Onde i ^ , j ^ e k ^ são os três vetores unitários 1 , 0,0 , 0,1 , 0 e 0,0 , 1 . O meu jeito favorito de calcular determinantes é pela regra do cofator. Neste caso, ficaria:

F B = q . v y v z B y B z i ^ + v x v z B x B z - j ^ + v x v y B x B y k ^

Ou seja, ao invés de calcular um determinante 3 × 3 , o problema se resume a calcular esses determinantes menores 2 × 2 . Cada um desses determinantes menores é obtido deletando a linha e a coluna do vetor correspondente. Só não esquece de que o j ^ tem o sinal trocado!

Além disso tudo, repare que se você trocar a ordem do vetor a com o vetor b o sinal vai trocar, portanto:

a × b = - b × a

É basicamente isso. Porém não saia ainda! Tenho um macete aqui pra você... Essa tralha toda aí em cima serve se você quiser calcular o valor do produto vetorial. Mas pode ser que uma certa questão não exija tudo isso e sim a sua direção ou sentido...

A seguir, vamos ver a Regra da Mão direita, que nos permite saber isso!

Regra da Mão Direita

A regra é a seguinte:

Uma coisa interessante para notar a partir da regra da mão direita é que o vetor força magnética é sempre perpendicular ao vetor velocidade. Dessa forma, a força magnética não realiza trabalho sobre o corpo e sua velocidade permanece constante em módulo!

Da regra da mão direita, podemos chegar a três resultados interessantes com os nossos vetores unitários do sistema cartesiano ( i ^ , j ^ e k ^ ).

i ^ = j ^ × k ^

j ^ = k ^ × i ^

k ^ = i ^ × j ^

É interessante gravar essas três equações aí porque volta e meia o enunciado pode não dar um dos eixos coordenados, mas se ele deu os outros dois você descobre pra onde que está apontando o terceiro. Eu gosto de gravar de uma maneira... digamos... geométrica. Eu gravo a primeira equação (porque ela é só o i, j, k na ordem) e as outras eu tiro “girando” ela como se as letras estivessem numa espécie de prisma triangular:

Se você achou viagem, tente bolar o seu jeito de gravar essas três bandidas, porque é papo de perder uma múltipla escolha se você não lembrar...

Trajetória Circular

Como podemos ver com a regra da mão direita que acabamos de aprender, a força magnética é perpendicular à velocidade e ao campo.

Sendo a força perpendicular à velocidade, ela pode atuar como uma centrípeta, apenas mudando a direção do vetor velocidade. Indo mais além, se a velocidade for perpendicular ao campo, vamos ter um movimento circular, como no caso abaixo:

Onde Q > 0 .

Dito isso, podemos fazer umas contas e chegar a alguns resultados interessantes... Se eu te perguntasse o raio da trajetória, como faria? Se sabemos que força magnética neste caso é a centrípeta, podemos usar a fórmula da Física I:

F c = m v 2 R

E também sabemos que o módulo da força magnética é:

F B = q v B   sen 90 °

F B = q v B

Igualando as duas forças:

q v B = m v 2 R

Ou seja, isolando o raio:

R = m v q B

Um conhecido meu gravou essa fórmula como: “Rabib, me vê um quibe”.

Se porventura a carga fosse negativa só que com mesmo módulo, o raio seria o mesmo, só que a trajetória iria ser no sentido anti-horário. A partícula ia desviar o seu caminho para cima ao invés de para baixo.

Mas e se a velocidade não for perpendicular ao campo magnético?

Se a velocidade puder ser decomposta em um componente paralelo e outro perpendicular ao campo magnético, somente a componente perpendicular vai sofrer deflexão. A componente paralela vai seguir como se nada tivesse acontecido.

Na real, nesses casos, a partícula passa a descrever uma trajetória helicoidal, mais ou menos com essa cara:

Se olharmos de cima, a partícula vai continuar percorrendo uma trajetória circular, mas se ela possui uma componente paralela ao campo magnético, é isso o que vai acontecer.

É isso, galera!! Nos vemos nos exercícios de fixação! \o/

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 225-1.

Um elétron com uma velocidade

v = 2,0   × 10 6 m / s i ^ + ( 3,0 × 10 6 m / s ) j ^

está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme B = 0,030 T i ^ - ( 0,15 T ) j ^ .

  1. Determine a força que age sobre o elétron.
  2. Repita o cálculo para um próton com a mesma velocidade.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Questão bem direta, pessoal! Ele nos dá o v = 2,0   × 10 6 m / s i ^ + ( 3,0 × 10 6 m / s ) j ^ e o B = 0,030 T i ^ - 0,15 T j ^   e nos pede o F .

Ele também fala lá no início que estamos trabalhando com um elétron, ou seja, a carga pode ser dada por q = - 1,6.10 - 19 C .

Passo 2

Assim, como aprendemos, pra achar a força basta aplicar na formulitxa:

F = q . v × B

Aplicando os valores, vamos ter:

F = - 1.6 . 10 - 19 v × B .

Mas esse v × B a gente calcula pelo produto vetorial, lembra?

É assim

v × B = i ^ j ^ k ^ 2.10 6 3.10 6 0 0,03 - 0,15 0 = - 2.10 6 . 0,15 k ^ - 3.10 6 . 0,03 k ^ = - 3,9 . 10 5 k ^

E assim a força F será:

F = - 1,6.10 - 19 . - 3,9 . 10 5 k ^ = + 6,24 . 10 - 14 N k ^

Passo 3

b)

Pra um próton é a mesma conta só que com o sinal trocado, já que a carga do próton é igual ao do elétron só que positiva. Daí, teremos que:

F = - 6,24 . 10 - 14 N k ^

Resposta

  1. F = + 6,24.10 - 14 N k ^
  2. F = - 6,24.10 - 14 N k ^

Exercício Resolvido #2

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 225-2 - Modificado.

Uma partícula alfa se move com uma velocidade v de módulo 550 m / s em uma região onde existe um campo magnético B de módulo 0,045 T .   ( Uma partícula alfa possui uma carga de + 3,2 × 10 - 19 C e uma massa de 6,6 × 10 - 27 k g ) . O ângulo entre v   e   B   é 52 ° .

Dados:

s e n   52 ° =   0,788

Determine:

a O módulo da força F B que o campo magnético exerce sobre a partícula.

( b ) A aceleração da partícula causada por F B .

( c ) A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Vamos entender o enunciado, pessoal! Nessa questão, ele nos dá os valores de   v , B , q , m e o ângulo entre v e B . Primeiramente, ele quer saber a força magnética.

Passo 2

Já sabemos que teremos que usar a fórmula para o módulo da força magnética:

F B = q . v . B . sen θ

Substituindo os valores, temos:

F B = 3,2 × 10 - 19 .   550 .   0,045 .   s e n   52 = 6,24   ×   10 - 18 N  

Passo 3

b)

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. Para isso, temos que usar a Segunda Lei de Newton e o resultado da letra a da questão:

F B = m a = 6,6 × 10 - 27 k g .   a = 6,24   ×   10 - 18 N

Logo,

a = 9,45 × 10 8 m / s 2  

Passo 4

c)

Lembra que a força magnética é perpendicular a direção do movimento? Então, como ela não age na direção da velocidade da partícula, ela não é capaz de alterar o módulo dessa velocidade. Ela pode, no máximo, alterar a direção dessa velocidade, beleza? Portanto, o módulo da velocidade permanece constante.

Resposta

  1. F B = 6,24   ×   10 - 18 N  
  2. a = 9,45 × 10 8 m / s 2  
  3. Módulo da velocidade permanece constante.

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UFRJ- Física III-Prova 2-2014.2-Múltipla Escolha n°5.

Um próton (carga + e , massa m ), um dêuteron (carga + e , massa 2 m ), e uma partícula alfa (carga + 2 e , massa 4 m ) entram numa região com campo magnético uniforme B , todas com a mesma velocidade v .

Sabendo-se que v B e que o próton se move numa circunferência de raio R , podemos dizer que os raios das órbitas circulares do dêuteron R d e da partícula alfa R α são, respectivamente:

a R d = 2 R e R α = 2 R .

b R d = 2 R e R α = 2 R .

c R d = 2 R e R α = R / 2 .

d R d = 2 R / 2 e R α = 2 R / 2 .

e R d = R / 2 e R α = 2 R .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Na região com o campo magnético, a força magnética sobre a carga é igual à força centrípeta que mantém a carga na trajetória circular, logo:

m v 2 R = q v B m v R = q B

R = m v q B

No caso do próton:

R = m v e B

Agora vamos calcular o raio da trajetória circular de cada partícula:

Passo 2

  • Dêuteron:
  • R d = m d v q d B

    Onde q d = e e m d = 2 m .

    R d = 2 m v e B

    R d = 2 R

  • Partícula alfa:

R α = m α v q α B

Onde q α = 2 e e m α = 4 m . Logo:

R α = 4 m v 2 e B

R α = 2 m v e B  

R α = 2 R

A resposta certa é a letra b .

Resposta

b R d = 2 R e R α = 2 R .

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UNICAMP- Física III-Prova 2-2010.2- Noturno-Questão 3.

Na figura abaixo, uma partícula descreve uma trajetória circular em uma região onde existe um campo magnético de módulo B = 4,0   m T , cujo sentido é mostrado na figura. A partícula pode ser um próton ou elétron (a identidade da partícula faz parte do problema) e está sujeita a uma força magnética de módulo igual a 3,2 × 10 - 15   N .

Determine:

a ) A velocidade escalar da partícula;

b ) Explicar qual partícula está girando em B ;

c ) O raio da trajetória;

d ) O período do movimento;

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a ) A velocidade escalar da partícula;

A única força que está atuando sobre a partícula é a força magnética, que é dada por:

F = q v × B

Aqui, como a partícula se movimenta somente no plano da página e o campo magnético é perpendicular ao plano da página, v e B serão sempre perpendiculares, isso significa que podemos reescrever a fórmula acima como:

F = q v B

v = F q B

Onde:

F = 3,2 × 10 - 15   N

B = 4,0   m T = 4 × 10 - 3   T

q 1,6 × 10 - 19   C

Onde q corresponde à carga elementar, que é a carga deum próton ou um elétron. Como ainda não sabemos quem é essa partícula, vamos usar o valor positivo para calcular a velocidade.

v = 3,2 × 10 - 15 4 × 10 - 3 × 1,6 × 10 - 19

v = 5 × 10 6   m / s

Passo 2

b ) Explicar qual partícula está girando em B ;

A força magnética F estará sempre apontando para dentro da trajetória. A velocidade é sempre tangencial e o campo magnético está sempre apontando para fora da página.

Para que F esteja apontando para dentro da trajetória, de acordo com a regra da mão direita, é necessário que a partícula seja um elétron.

Passo 3

c ) O raio da trajetória;

Como a partícula realiza uma trajetória circular, a força magnética (que mantém a partícula nessa trajetória) deverá ser igual à força centrípeta, logo:

F = F c t p

q v B = m v 2 R

Agora é só organizar isso pra chegar a uma expressão para o raio:

R = m v 2 q v B

R = m v q B

Onde a massa do elétron é aproximadamente m 9 × 10 - 31   k g .

R = 9 × 10 - 31 × 5 × 10 6 1,6 × 10 - 19 × 4 × 10 - 3

R = 45 × 10 - 25 6,4 × 10 - 22 = 7,03 × 10 - 3   m

R 7   m m

Passo 4

d ) O período do movimento;

Bom, já temos a velocidade e temos o raio, agora ficou tranquilo.

v = Δ s Δ t = 2 π R T

T = 2 π R v

T = 2 π × 7,03 × 10 - 3 5 × 10 6

T 9 × 10 - 9   s

T 9   n s

Resposta

a )

v = 5 × 10 6   m / s

b )

A partícula é um elétron

c )

R 7   m m

d )

T 9   n s

Exercício Resolvido #5

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 225-4.

Uma partícula com massa de 10 g e carga de 80   μ C se move em uma região onde existe um campo magnético uniforme e a aceleração da gravidade é - 9,8 j ^   m / s 2 . A velocidade da partícula é constante e igual a 20 i ^   k m / s , perpendicular ao campo magnético. Qual é o campo magnético?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, galera, nessa questão nós temos duas forças: a gravitacional e a magnética. O enunciado nos dá a massa, a carga e a velocidade da partícula, além da aceleração gravitacional. Queremos descobrir o campo magnético. Então, vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa que temos que perceber nessa questão é que a velocidade da partícula é constante, logo as duas forças presentes têm que se anular! Então, teremos:

F B = F g  

q . v . B . s e n θ = m . g

Passo 3

Bom, agora temos que determinar θ . Como o enunciado diz que a velocidade da partícula é perpendicular ao campo magnético, sabemos que θ = 90 ° . Logo, s e n θ = 1 .

Assim, substituindo os valores do enunciado na equação acima nas unidades SI:

80 × 10 - 6 C . 20 × 10 3 m s . B . 1 = 10 × 10 - 3 k g . 9,8   m / s 2

B = 0,06125   T

Passo 4

Já temos o módulo de B , agora precisamos saber sua direção e sentido. Vamos pensar!

Sabemos que as forças gravitacional e magnética têm mesma direção e sentido oposto, já que elas se anulam. A direção e o sentido da força gravitacional são os mesmos da aceleração gravitacional, dados por - j ^   . Logo, a direção e o sentido da força magnética são dados por + j ^   .

Sabemos também que a direção e o sentido da velocidade da partícula são dados por + i ^ . Assim, pela regra da mão direita, descobrimos que a direção e o sentido de B são dados por - k ^   , já que i ^ × - k ^ = j ^ .

Resposta

B =   - 0,06125   k ^   T

Exercício Resolvido #6

Enunciado

UFRJ- Física III-Prova 2-2012.2-Múltipla Escolha n°3.

Uma câmara de bolhas, representada na figura abaixo, possui um campo magnético constante (estacionário e uniforme) B , perpendicular à folha de papel. Uma partícula neutra, em repouso no centro da câmara, transforma-se (decai) em outras partículas, cujas trajetórias são mostradas na figura. Quanto à carga dessas partículas resultantes do decaimento, podemos afirmar que:

  1. Todas as partículas 1 ,   2 ,   3   e 4 tem carga zero.
  2. As partículas 1 e 2 tem cargas positivas, ao passo que as partículas 3 e 4 tem cargas negativas.
  3. As partículas 1 e 2 tem cargas negativas, ao passo que as partículas 3 e 4 tem cargas positivas.
  4. As partículas 1 e 3 tem cargas positivas, ao passo que as partículas 2 e 4 tem cargas negativas.
  5. As partículas 1 e 4 tem cargas positivas, ao passo que as partículas 2 e 3 tem cargas negativas.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A grandeza física que consegue distorcer trajetórias é a força. No caso da magnética, ela tem a seguinte fórmula:

F = q v × B

Como a velocidade é tangente à trajetória, nós temos esboços das velocidades iniciais de cada partícula:

Passo 2

Achando o sentido do produto vetorial v × B para cada partícula pela regra da mão direita:

Cargas positivas vão acelerar no sentido do produto vetorial calculado. Aquelas que seguirem no sentido oposto do produto vetorial têm carga negativa.

As que aceleram no sentido previsto são a 4 e a 1 . Já a 2 e a 3 aceleram no sentido oposto. Portanto temos que 1 e 4 são positivas e 2 e 3 são negativas.

Resposta

Letra e.

Exercício Resolvido #7

Enunciado

UFRJ- Física III-Prova 2-2012.1-Múltipla Escolha n°3.

Um acelerador de partículas é projetado para desviar um próton, de massa M e carga e , que incida horizontalmente, com velocidade inicial v i = v 0 x ^ , para uma velocidade final v f = - v 0 y ^ . Assinale o campo magnético constante que permite que isso aconteça.

  1. - M v 0 e d z ^
  2. M v 0 e d z ^
  3. - M v 0 e L z ^
  4. M v 0 e L z ^
  5. - M v 0 e d + L z ^
  6. M v 0 e d + L z ^
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Tinha necessidade dessa quantidade de alternativas? Haha. Enfim, é uma clássica questão em que o campo magnético gira as coisas que entram nele. O raio da trajetória, como podemos ver, é L + d . Como já vimos, se você quiser resolver rápido esse tipo de questão, a fórmula que tem que saber é:

R = m v q B

Rabibe me vê um quibe. Pra quem gosta, a demonstração está lá na teoria. =)

Passo 2

Aplicando a fórmula podemos descobrir o módulo do campo:

L + d = m v 0 e B

B = m v 0 e L + d

Agora a parada é descobrir o sentido dele. Sabemos que, como a partícula gira, o campo tem que produzir uma força centrípeta. Só, por favor, não esqueça que a carga tem valor positivo neste caso, por se tratar de um próton.

Passo 3

Pra achar o sentido de maneira bastante rápida podemos usar o macete desenvolvido na teoria. Seja S [ p ] o unitário que dá o sentido de um vetor qualquer p . Então temos:

F = q v × B

S F = S q v × B

Como a carga é positiva, o sinal do sentido não troca:

S F = S v × B

Passo 4

Sabemos o sentido da força, pois a centrípeta tem sentido radial. Além disso também sabemos o sentido da velocidade em cada instante, pois ela é tangente à trajetória sempre. O que nós queremos é poder isolar o sentido do campo. Pelo macete do prisma:

Então temos:

S B = S F × v

O sentido de F × v pode ser encontrado se pegarmos qualquer instante da trajetória e calcularmos o produto vetorial, dado que sabemos que a força aponta pro centro:

S F × v = z ^

Passo 5

Substituindo na equação:

S B = z ^

Show, então temos nossa resposta:

B = m v 0 e L + d z ^

Tranquilo? Se você não curtiu esse macete, você poderia alternativamente ficar chutando sentidos de B até dar o sentido certo da força (sem esquecer do sinal da carga!), que é o que normalmente todo mundo faz. Não tem nenhum problema, até porque não são tantos sentidos assim.

Resposta

Letra f

Exercício Resolvido #8

Enunciado

USP-Física III-Prova 2-2011-Questão 2

Uma partícula carregada com carga Q > 0 e massa M é acelerada paralelamente ao eixo x , no sentido de x crescente, a partir do repouso, por uma diferença de potencial V 0 .

a ) Determine o vetor velocidade final v da partícula após a aceleração do potencial V 0 .

b ) A partícula carregada adentra a seguir numa região de campo magnético uniforme B = B 0 j . Determine o vetor força magnética que atua sobre a partícula em função de V 0 , M , Q e B 0 .

c ) Faça um esquema do movimento dessa partícula na região de campo B . Calcule o raio da trajetória na região com campo magnético e o tempo gasto nesta região.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a ) Determine o vetor velocidade final v da partícula após a aceleração do potencial V 0 .

Lembra lá da fórmula de Eletricidade que relacionava a energia com o potencial? Essa aqui: V = E Q

Então, no instante antes de entrar em movimento, a energia da partícula é E = Q V 0 . Quando ela começa a ser acelerada, essa energia vai se transformando em energia cinética.

No final das contas, toda a energia da partícula é convertida em energia cinética, logo:

E = Q V 0 = M v 2 2

v = 2 Q V 0 M

Como a partícula está se movendo no sentido + i , o vetor velocidade final será:

v = 2 Q V 0 M i

Passo 2

b ) A partícula carregada adentra a seguir numa região de campo magnético uniforme B = B 0 j . Determine o vetor força magnética que atua sobre a partícula em função de V 0 , M , Q e B 0 .

Por definição, a força magnética sobre uma partícula é dada por:

F m = Q v × B

Substituindo v pela expressão que encontramos na letra a , teremos:

F m = Q 2 Q V 0 M i × B 0 j

F m = Q B 0 2 Q V 0 M i × j

Só pra dar uma organizada nesse cara, podemos pegar esse Q e jogar para dentro da raiz.

F m = B 0 2 Q 3 V 0 M i × j

Finalmente:

F m = B 0 2 Q 3 V 0 M k

Passo 3

c ) Faça um esquema do movimento dessa partícula na região de campo B . Calcule o raio da trajetória na região com campo magnético e o tempo gasto nesta região.

Como a força magnética estará sempre perpendicular à velocidade v e ao campo magnético B , a partícula vai percorrer uma trajetória circular.

Essa trajetória vai ter essa cara:

Passo 4

Para calcular o raio da trajetória circular, basta ver que a força magnética será, também a força centrípeta que manterá a partícula na trajetória circular. Logo:

F m = M v 2 R Q v B 0 = M v 2 R R = M v Q B 0

Pra finalizar, basta substituir a expressão de v que já tínhamos calculado no item a .

R = M Q B 0   2 Q V 0 M

Organizando esse cara:

R = 1 B 0 2 M V 0 Q

Passo 5

Como a partícula permanece com velocidade constante nessa região, pra calcularmos o tempo gasto na região com o campo elétrico, basta fazer:

v = Δ s Δ t Δ t = Δ s v

Δ t = π R v

Pra finalizar, temos apenas que substituir as expressões de v e R que encontramos anteriormente:

Δ t = π B 0 2 M V 0 Q 2 Q V 0 M = π B 0 2 M V 0 Q M 2 Q V 0

Finalmente:

Δ t = π B 0 M Q

Resposta

a )

v = 2 Q V 0 M i

b )

F m = B 0 2 Q 3 V 0 M k

c )

R = 1 B 0 2 M V 0 Q

Δ t = π B 0 M Q

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