Força Magnética

Teoria Completa

Introdução

Vamos começar a falar da força magnética. Ela se parece com a força elétrica, que nós já estudamos. Mas a grande diferença é que ela só afeta cargas que se movem.

Nós vamos ver que:

  • Cargas em movimento produzem campo magnético. Já cargas em repouso não;
  • Cargas em movimento podem sofrer ação de forças magnéticas. Já cargas em repouso não.

Força Magnética

Temos uma força magnética quando um corpo carregado em movimento entra em contato com um campo magnético.

A fórmula da força magnética sobre uma carga puntiforme é a seguinte:

F → B = q v → × B →

q : Carga elétrica C ;

v → : Vetor velocidade da carga m / s ;

B → : Vetor campo magnético. A unidade do campo magnético é o Tesla T ;

Como estamos trabalhando com esse produto vetorial, também podemos calcular o módulo da força magnética F B da seguinte forma:

F B = q . v . B . sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo formado entre v → e B → .

Outro ponto importante de estarmos trabalhando com esse produto vetorial é que a direção e sentido de F → B podem ser determinados através da regra da mão direita.

Como deu pra perceber, o produto vetorial e a regra da mão direita vão fazer parte da nossa vida a partir desse momento...

Então pra ficarmos afiados, vamos dar uma revisada neles, beleza?

Produto Vetorial

O produto vetorial é uma operação que pega dois vetores e te retorna um novo vetor, diferente do produto escalar que te retorna um número (escalar).

Representamos o produto vetorial por esse sinal: × .

Dado o seguinte produto vetorial:

v → = a → × b →

O módulo do produto vetorial é dado por:

a → × b → = a → b → sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre eles. Por conta dessa fórmula, sabemos que o produto vetorial entre dois vetores paralelos ( θ = 0 ° ou θ = 180 ° ) é o vetor nulo. Jamais esqueça!

Dados dois vetores no R 3 , por exemplo, o vetor velocidade v → de uma partícula carregada com carga q e o vetor campo magnético B → :

v → = v x , v y , v z

B → = B x , B y , B z

Nós calculamos a força magnética através do determinante abaixo:

F B → = q . v → × B → = q . i ^ j ^ k ^ v x v y v z B x B y B z

Onde i ^ , j ^ e k ^ são os três vetores unitários 1,0 , 0 , 0,1 , 0 e 0,0 , 1 . O meu jeito favorito de calcular determinantes é pela regra do cofator. Neste caso, ficaria:

F B → = q . v y v z B y B z i ^ + v x v z B x B z - j ^ + v x v y B x B y k ^

Ou seja, ao invés de calcular um determinante 3 × 3 , o problema se resume a calcular esses determinantes menores 2 × 2 . Cada um desses determinantes menores é obtido deletando a linha e a coluna do vetor correspondente. Só não esquece de que o j ^ tem o sinal trocado!

Além disso tudo, repare que se você trocar a ordem do vetor a → com o vetor b → o sinal vai trocar, portanto:

a → × b → = - b → × a →

É basicamente isso. Porém não saia ainda! Tenho um macete aqui pra você... Essa tralha toda aí em cima serve se você quiser calcular o valor do produto vetorial. Mas pode ser que uma certa questão não exija tudo isso e sim a sua direção ou sentido...

A seguir, vamos ver a Regra da Mão direita, que nos permite saber isso!

Regra da Mão Direita

A regra é a seguinte:

Uma coisa interessante para notar a partir da regra da mão direita é que o vetor força magnética é sempre perpendicular ao vetor velocidade. Dessa forma, a força magnética não realiza trabalho sobre o corpo e sua velocidade permanece constante em módulo!

Da regra da mão direita, podemos chegar a três resultados interessantes com os nossos vetores unitários do sistema cartesiano ( i ^ , j ^ e k ^ ).

i ^ = j ^ × k ^

j ^ = k ^ × i ^

k ^ = i ^ × j ^

É interessante gravar essas três equações aí porque volta e meia o enunciado pode não dar um dos eixos coordenados, mas se ele deu os outros dois você descobre para onde que está apontando o terceiro. Eu gosto de gravar de uma maneira... digamos... geométrica. Eu gravo a primeira equação (porque ela é só o i, j, k na ordem) e as outras eu tiro “girando” ela como se as letras estivessem numa espécie de prisma triangular:

Se você achou viagem, tente bolar o seu jeito de gravar essas três bandidas, porque é papo de perder uma múltipla escolha se você não lembrar...

Trajetória Circular

Como podemos ver com a regra da mão direita que acabamos de aprender, a força magnética é perpendicular à velocidade e ao campo.

Sendo a força perpendicular à velocidade, ela pode atuar como uma centrípeta, apenas mudando a direção do vetor velocidade. Indo mais além, se a velocidade for perpendicular ao campo, vamos ter um movimento circular, como no caso abaixo:

Onde Q > 0 .

Dito isso, podemos fazer umas contas e chegar a alguns resultados interessantes... Se eu te perguntasse o raio da trajetória, como faria? Se sabemos que força magnética neste caso é a centrípeta, podemos usar a fórmula da Física I:

F c = m v 2 R

E também sabemos que o módulo da força magnética é:

F B = q v B   sen 90 °

F B = q v B

Igualando as duas forças:

q v B = m v 2 R

Ou seja, isolando o raio:

R = m v q B

Um conhecido meu gravou essa fórmula como: “Rabib, me vê um quibe”.

Se porventura a carga fosse negativa só que com mesmo módulo, o raio seria o mesmo, só que a trajetória iria ser no sentido anti-horário. A partícula ia desviar o seu caminho para cima ao invés de para baixo.

Mas e se a velocidade não for perpendicular ao campo magnético?

Se a velocidade puder ser decomposta em um componente paralelo e outro perpendicular ao campo magnético, somente a componente perpendicular vai sofrer deflexão. A componente paralela vai seguir como se nada tivesse acontecido.

Na real, nesses casos, a partícula passa a descrever uma trajetória helicoidal, mais ou menos com essa cara:

Se olharmos de cima, a partícula vai continuar percorrendo uma trajetória circular, mas se ela possui uma componente paralela ao campo magnético, é isso o que vai acontecer.

É isso, galera!! Nos vemos nos exercícios de fixação! \o/

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 225-1.

Um elétron com uma velocidade

v → = 2,0   × 10 6 m / s i ^ + ( 3,0 × 10 6 m / s ) j ^

está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme B → = 0,030 T i ^ - ( 0,15 T ) j ^ .

  1. Determine a força que age sobre o elétron.
  2. Repita o cálculo para um próton com a mesma velocidade.
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Passo 1

a)

Questão bem direta, pessoal! Ele nos dá o v → = 2,0   × 10 6 m / s i ^ + ( 3,0 × 10 6 m / s ) j ^ e o B → = 0,030 T i ^ - 0,15 T j ^   e nos pede o F → .

Ele também fala lá no início que estamos trabalhando com um elétron, ou seja, a carga pode ser dada por q = - 1,6.10 - 19 C .

Passo 2

Assim, como aprendemos, pra achar a força basta aplicar na formulitxa:

F → = q . v → × B →

Aplicando os valores, vamos ter:

F → = - 1.6 . 10 - 19 v → × B → .

Mas esse v → × B → a gente calcula pelo produto vetorial, lembra?

É assim

v → × B → = i ^ j ^ k ^ 2.10 6 3.10 6 0 0,03 - 0,15 0 = - 2.10 6 . 0,15 k ^ - 3.10 6 . 0,03 k ^ = - 3,9 . 10 5 k ^

E assim a força F → será:

F → = - 1,6.10 - 19 . - 3,9 . 10 5 k ^ = + 6,24 . 10 - 14 N k ^

Passo 3

b)

Pra um próton é a mesma conta só que com o sinal trocado, já que a carga do próton é igual ao do elétron só que positiva. Daí, teremos que:

F → = - 6,24 . 10 - 14 N k ^

Resposta

  1. F → = + 6,24.10 - 14 N k ^
  2. F → = - 6,24.10 - 14 N k ^

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 225-2 - Modificado.

Uma partícula alfa se move com uma velocidade v → de módulo 550 m / s em uma região onde existe um campo magnético B → de módulo 0,045 T .   ( Uma partícula alfa possui uma carga de + 3,2 × 10 - 19 C e uma massa de 6,6 × 10 - 27 k g ) . O ângulo entre v →   e   B →   é 52 ° .

Dados:

s e n   52 ° =   0,788

Determine:

a O módulo da força F → B que o campo magnético exerce sobre a partícula.

( b ) A aceleração da partícula causada por F → B .

( c ) A velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante?

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Passo 1

a)

Vamos entender o enunciado, pessoal! Nessa questão, ele nos dá os valores de   v , B , q , m e o ângulo entre v e B . Primeiramente, ele quer saber a força magnética.

Passo 2

Já sabemos que teremos que usar a fórmula para o módulo da força magnética:

F B = q . v . B . sen ⁡ θ

Substituindo os valores, temos:

F B = 3,2 × 10 - 19 .   550 .   0,045 .   s e n   52 = 6,24   ×   10 - 18 N  

Passo 3

b)

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula. Para isso, temos que usar a Segunda Lei de Newton e o resultado da letra a da questão:

F B = m a = 6,6 × 10 - 27 k g .   a = 6,24   ×   10 - 18 N

Logo,

a = 9,45 × 10 8 m / s 2  

Passo 4

c)

Lembra que a força magnética é perpendicular a direção do movimento? Então, como ela não age na direção da velocidade da partícula, ela não é capaz de alterar o módulo dessa velocidade. Ela pode, no máximo, alterar a direção dessa velocidade, beleza? Portanto, o módulo da velocidade permanece constante.

Resposta

  1. F B = 6,24   ×   10 - 18 N  
  2. a = 9,45 × 10 8 m / s 2  
  3. Módulo da velocidade permanece constante.

Exercício Resolvido #3

UFRJ- Física III-Prova 2-2014.2-Múltipla Escolha n°5.

Um próton (carga + e , massa m ), um dêuteron (carga