Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

Teoria Completa

Energia Armazenada em Indutores

A fórmula da energia armazenada num indutor é:

U B = L i 2 2

Onde L é a indutância e i é a corrente estacionária passando por ele.

Felizmente ao contrário do capacitor, não temos outras duas maneiras interessantes de interpretar isto. Esta é a melhor mesmo.

Não acredito que valha muito à pena colocar a demonstração deste fato aqui, mas qualquer coisa grita lá no botão vermelho.

Densidade de Energia do Campo Magnético

Da mesma maneira que o campo elétrico tinha uma energia associada à ele, o magnético também tem. A diferença é que o campo magnético não tem uma função potencial associada, ou seja, ele não é conservativo e não podemos falar de “energia potencial magnética”.

Dito isso, podemos decorar que a densidade de energia, ou seja, a energia guardada num elemento infinitesimal de espaço é:

u B = d U B d V = B 2 2 μ 0

E se quisermos achar a energia numa certa região, basta integrar. Não tem nenhuma novidade com relação à densidade de energia do campo elétrico. Mais uma vez, se quisermos achar a energia numa certa região, basta integrar na região:

U B = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V

Deixa eu te dar um mega bizu aqui: no geral ou esse campo magnético é uniforme (constante no espaço) ou ele tem simetria cilíndrica e depende só da distância radial (geralmente no exercício você vai ter que calcular antes o campo usando lei de Ampère, beleza?).

Se o campo for uniforme a integral fica

U B = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V = B 2 2 μ 0 ∭ V   d V = B 2 2 μ 0 V

Ou seja, é só multiplicar a densidade de energia pelo volume!

Se o campo tiver simetria cilíndrica e depender da distância e supondo que estamos falando de um cilindro de comprimento L vamos ter

U B = ∭ V   B r 2 2 μ 0 d ϕ r d r d z = 1 2 μ 0 ∫ B r 2 r d r ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 L d z

U B = 2 π L 2 μ 0 ∫ B r 2 r d r

Aqui eu vou deixar os limites de integração em aberto por que isso vai depender do problema que você estiver resolvendo! Se for só um cilindro de raio R então os limites são de 0 a R , agora se for uma casca cilíndrica de raio interno a e raio externo b então vai ser uma integral de a até b .

Beleza! Vamo que vamo pros exercícios estourar a boca do balão! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2012.1 – Múltipla Escolha nº5.

Considere as seguintes três afirmativas: (I) num dado circuito, a força eletromotriz auto induzida é sempre de sentido oposto ao da corrente total existente; (II) para um indutor dado, fixo, o trabalho realizado para estabelecer uma corrente de intensidade final I através dele, desde um valor inicial nulo, é linearmente proporcional a I , e (III) se, num dado ponto do espaço, simplesmente invertermos o vetor campo magnético, a densidade de energia associada ao campo magnético em tal ponto será quadruplicada. Qual(is) de tais afirmações está(estão) correta(s)?

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. I e III
  6. II e III
  7. I, II e III
  8. Nenhuma
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Passo 1

Analisando uma por uma: (I) num dado circuito, a força eletromotriz auto induzida é sempre de sentido oposto ao da corrente total existente;

Esta diz respeito à Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

A fem auto induzida é oposta à variação de fluxo magnético. Então não, não é sempre de sentido oposto ao da corrente. A fem auto induzida vai tentar se opor à variação de fluxo somente. Digamos que a corrente esteja diminuindo: o fluxo pelo próprio circuito vai estar diminuindo também e a fem auto induzida vai ser no mesmo sentido da corrente para tentar ajudar.

Passo 2

A segunda afirmativa diz: (II) para um indutor dado, fixo, o trabalho realizado para estabelecer uma corrente de intensidade final I através dele, desde um valor inicial nulo, é linearmente proporcional a I ;

O trabalho para estabelecer uma corrente de intensidade I num indutor (lembre que trabalho é igual energia) tem a expressão da energia armazenada nele:

U = L I 2 2

Portanto não. Não é linearmente proporcional à corrente. É linearmente proporcional ao quadrado dela.

Passo 3

Por fim, a última diz: (III) se, num dado ponto do espaço, simplesmente invertermos o vetor campo magnético, a densidade de energia associada ao campo magnético em tal ponto será quadruplicada;

Esta diz respeito à densidade de energia num ponto:

d U d V = B 2 2 μ 0

Podemos ver que a densidade de energia num ponto só depende do módulo do campo neste ponto. Se invertermos o vetor, o módulo fica igual, portanto a energia também não se altera. Alternativa falsa.

Resposta

Letra h

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Física III – Prova Final – 2014.1 – Múltipla Escolha nº2.

Sabe-se que, no interior de um cilindro (circular reto) de raio a , existe um campo magnético B → = K ( s / a 2 ) ϕ ^ , onde s ,   ϕ ,   z são as coordenadas cilíndricas usuais, K é uma constante, e o eixo Z coincide com o eixo de simetria do cilindro.

A energia magnética E m armazenada no cilindro entre z = 0 e z = L é

a E m = K 2 s 2 / ( 2 μ 0 a 4 )

b E m = K 2 L 2 / ( 6 μ 0 a )

c E m = π K 2 / ( 3 μ 0 a )

d E m = π K 2 L / ( 3 μ 0 a )

e E m = π K 2 L / ( 4 μ 0 )

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Passo 1

A densidade de energia magnética é dada por:

d E m d V = u = B 2 2 μ 0

Assim, a energia magnética é dada por:

E m = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V

Como estamos trabalhando com um cilindro e o campo magnético varia de acordo com a coordenada radia, o volume infinitesimal será dado por:

V = π s 2 L → d V = 2 π s L   d s

0 ≤ s ≤ a

Logo:

E m = ∫ 0 a 1 2 μ 0 K s a 2 2 2 π s L   d s

E m = ∫ 0 a 1 2 μ 0 K 2 s 2 a 4 2 π s L   d s

E m = 2 π L K 2 2 μ 0 a 4 ∫ 0 a s 3   d s

E m = π L K 2 μ 0 a 4 s 4 4 0 a

E m = π L K 2 μ 0 a 4 a 4 4

Finalmente:

E m = π L K 2 4 μ 0

A resposta certa é a letra e .

Resposta

e E m = π K 2 L / ( 4 μ 0 )

Exercício Resolvido #3

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2012.2 – Múltipla Escolha nº9.

Considere um campo magnético estacionário não uniforme dado por B → = D r ϕ ^ onde r é a distância do ponto de aplicação do campo magnético até um determinado eixo, ϕ ^ é o vetor unitário circular em torno de tal eixo, e D = const . Qual opção indica a energia por unidade de comprimento ao longo do eixo, entre duas superfícies cilíndricas coaxiais com eixo supracitado, de raios r = a e r = b , com a < b ?

  1. π D 2 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  2. π D 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  3. 4 π D 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  4. 4 π D μ 0 b - a
  5. D 2 2 μ 0 1 b - a
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Passo 1

Aplicando a fórmula da densidade de energia do campo magnético:

u = B 2 2 μ 0

Conseguimos a energia por comprimento se integramos na área da coroa circular:

d U d z = ∬ S   B 2 2 μ 0 d A

Passo 2

Como já temos o campo, aplicando coordenadas polares (usando o macete de uma integral só):

A = π r 2

d A = 2 π r   d r

Substituindo:

d U d z = 2 π 2 μ 0 ∫ a b D r 2 r d r

d U d z = π D 2 μ 0 ∫ a b d r r

d U d z = π D 2 μ 0 ln ⁡ b a

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #4

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 30.15, pp. 338

Um solenóide longo de comprimento L = 25,0   c m e área de seção reta A = 0,500   c m 2 contém N = 400 espiras circulares e transporta uma corrente de I = 80,0   A . Supondo que o campo magnético dentro do solenóide é uniforme, calcule:

  1. O campo magnético no solenóide;
  2. A densidade de energia no campo magnético, se o solenóide for preenchido com ar;
  3. A energia total contida no campo magnético da bobina;
  4. A auto-indutância do solenóide.
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Passo 1

a) Esse exercício é bom porque a gente pode revisar, rapidinho, algumas coisas importantes sobre o campo magnético de um solenóide.

A primeira coisa é que, como esse solenóide é longo, ou seja, o comprimento dele é muito maior do que o diâmetro de cada espira, o campo magnético gerado pela corrente fica todo armazenado no interior do solenóide e tem o mesmo valor em todos os pontos lá dentro, por isso o enunciado fala que esse campo é uniforme.

A expressão para o módulo desse campo é

B = μ 0 N I L .

Substituindo os valores que o enunciado fornece, obtemos esse módulo é

B = 4 π × 10 - 7 × 400 × 80 25 × 10 - 2 = 0,161   T .

Passo 2

b) A gente também viu na teoria que a região no interior dentro do solenóide, que armazena um campo magnético uniforme, contém uma energia devida à esse campo. O valor da densidade de energia acumulada dentro do campo magnético uniforme do solenóide é

u = B 2 2 μ 0 = 0,161 2 2 × 4 π × 10 - 7 = 1,03   ×   10 4 J m 3 .

Ou seja, cada metro cúbico m 3 da região no interior do solenóide armazena uma quantidade de energia de 1,03   ×   10 4   J .

Passo 3

c) Bom, se cada m 3 do volume do interior do solenóide armazena 1,03   ×   10 4   J de energia, para encontrar a energia total armazenada no volume de dentro do solenóide, a gente precisa multiplicar essa energia pela valor do volume total, que é dado por

V t o t a l = A L .

Colocando tudo isso junto, a gente fica com

U t o t a l = 1,03   ×   10 4 J m 3 × 0,5 × 10 - 4 × 25 × 10 - 2 = 0,129   J .

Esse é o valor da energia total armazenada no campo magnético uniforme no interior do solenóide.

Passo 4

d) Mas, agora, quero te ajudar a lembrar do seguinte: também podemos expressar a energia armazenada no campo magnético como

U t o t a l = L I 2 2 ,

em que L é chamada de auto-indutância do sistema. No caso do nosso exercício aqui, esse sistema com energia dentro é o solenóide, blz?

Daí, ficou tranquilo, né? Se a gente usa essa última expressão para a energia total, a auto-indutância é dada por

L = 2 U t o t a l I 2 = 2 × 0,129 80 2 =   4,02   ×   10 - 5   H .

Resposta

  1. B = 0,161   T ;
  2. u = 1,03   ×   10 4   J m 3 ;
  3. U t o t a l = 0,129     J ;
  4. L = 4,02   ×   10 - 5   H .

Exercício Resolvido #5

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exemplo 28.6, pp. 338

Um solenóide toroidal cheio de ar, com campo magnético uniforme ao longo de toda a seção reta de seu núcleo, possui N = 300 espiras e um raio médio de r m é d i o = 12,0   c m , com seção reta de área igual a A = 4,0   c m 2 . Supondo que a corrente que passa em suas espiras seja igual a I = 5,0   A , calcule:

  1. O campo magnético do toróide;
  2. A auto-indutância do toróide;
  3. A energia armazenada no campo magnético;
  4. A densidade de energia armazenada no campo magnético.
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Passo 1

Vamos tentar entender a situação do problema dando uma olhada para a figura abaixo. Se você pegar a ideia dessa questão, você mata qualquer outro problema parecido que aparecer no seu caminho...vai por mim... :-) Fica firme!!

Aqui representei para você, para ficar mais fácil de a gente ver a situação, apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas poucas das espiras quadradas (poderiam ser circulares também, ok? Não vai importar para o que a gente vai ver neste exercício!!!).

Cada uma das N espiras transporta uma corrente I e as colocamos no sentido horário indicado na figura. Além disso, imagina que essas espiras estão todas muuuiiitoo próximas umas das outras, o que geralmente aparece nos textos como espiras muito compactas.

Pela regra da mão direita, a gente sabe que o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página e esse campo fica todo dentro da região de raio b - a . Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área d A → sempre paralela ao campo magnético B → e entrando no plano da página, como ilustrado na figura.

Passo 2

a) Lá na nossa discussão da teoria, você viu que o módulo para o campo magnético dentro do toróide tem a seguinte expressão

B = μ 0 N I 2 π r .

Fica claro dessa equação, que o campo magnético depende da distância r do centro do toróide, ou seja, posições diferentes dentro das N espiras tem valores diferentes para o campo magnético, blz?

Agora, existe uma situação particular, que vou te mostrar agora. Quando a gente tem b - a ≪ r , ou seja, a seção reta tem dimensões muito pequenas comparadas com a distância r , a gente tem um campo uniforme dentro do toróide e podemos substituir a distância r por um raio médio r m é d i o fixo. Isto é, na expressão do campo, podemos fazer o seguinte

r → r m é d i o ⇒ B m é d i o = μ 0 N I 2 π r m é d i o ,

que tem um valor constante e igual a B m é d i o em todos os pontos dentro do toróide. Fechou?? Se você substitui os valores dados no enunciado, obtém que o campo tem o valor de

B m é d i o = 2,5   ×   10 - 3   T .

Tudo que a gente vai fazer nos próximos itens vai usar esse campo constante com r m é d i o aí de cima. Fica ligado nisso, tá ok?

Passo 3

b) Bom, agora que já visualizamos a questão através da figura (tomara que ela tenha mesmo te ajudado com isso...rsrs), vamos entender o que precisamos calcular neste caso.

Primeiro, para obter a autoindutância L do toróide, vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético e sua relação com a autoindutância L dada por

Φ B = ∫ A B → . d A → = L I

sendo que I é corrente que percorre cada uma das N espiras do solenóide toroidal.

O caminho que a gente vai seguir abaixo é o seguinte: calculamos o fluxo total Φ B do toróide e o igualamos a L I para tirar a expressão para L . Sacô a ideia? Segue firme...

Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas N espiras, podemos encontrar o fluxo magnético. Como o vetor área   d A → é sempre paralelo a B → , temos que

Φ B = N ∫ B → . d A → = N ∫ B m é d i o   d A .

Agora, lembra lá do enunciado que o campo é uniforme dentro do toróide? Por essa razão, a gente pode tirar o campo magnético dessa integral e já substituir o valor que temos para ele do Passo 2. Isso dá o seguinte

Φ B = N B m é d i o ∫ d A = N B m é d i o A ⇒   Φ B = μ 0 N 2 A 2 π r m é d i o   I = L   I

que nos permite encontrar a expressão para a autoindutância I do toróide como

L = μ 0 N 2 A 2 π r m é d i o   .

Fica ligado, porque essa expressão vale apenas para o caso em que o campo magnético dentro do toróide é uniforme, tranquilo? Guarda isso no coração...Quando não for uniforme, daí a gente vai ter que trabalhar um pouco mais, mas a gente vai te ajudar nesse caso mais geral também, já que pode cair também na sua prova...

Finalizando o item, colocamos os valores do enunciado nessa expressão e tacando na calculadora, você vai ter que

L = 6,0   ×   10 - 5   H .

Passo 4

c) Como a energia magnética U B acumulada no campo magnético é dada por

U B = L I 2 2 ,

temos, utilizando o valor da indutância L encontrada no passo anterior, que

U B = 7,50   ×   10 - 4   J .

Passo 5

e) A energia U B que encontramos no passo anterior fica armazenada em um volume igual ao produto da área A da seção reta do toróide vezes o comprimento do toróide que igual a L = 2 π r m é d i o , ou seja, V = L A = 2 π r m é d i o A .

Portanto, a densidade de energia, ou seja, a energia por unidade de volume, tem o seguinte valor

u B = L I 2 2 V = L I 2 2 ( 2 π r m é d i o A )   ⇒ u B = 2,49 J m 3 .

Esse valor diz para a gente que cada m 3 do interior do toróide tem uma energia de 2,49   J .

Resposta

  1. B m é d i o = 2,5   ×   10 - 3   T ;
  2. L = 6,0   ×   10 - 5   H ;
  3. U B = 7,50   ×   10 - 4   J ;
  4. u B = U B V = 2,49 J m 3 .

Exercício Resolvido #6

UFRJ- Física 3 - PF 2017.2 - DIURNO – 14 - Adaptada

Um solenóide toroidal tem seção transversal quadrada de lado L , raio interno a , raio externo b e N voltas de um fio condutor fino enroladas de forma compacta em torno dele. Por cada uma das espiras passa uma corrente I , que produz um campo magnético no interior desse toróide. Nessa situação e sabendo que esse campo magnético não é uniforme ao longo da seção reta de cada espira, qual é a energia magnética acumulada na região interna desse toróide?

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Passo 1

Vamos tentar entender a situação do problema olhando para a figura abaixo. Representamos apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas das espiras quadradas. Cada uma das N espiras quadradas transporta uma corrente I e as colocamos no sentido horário indicado na figura.

Por isso, pela regra da mão direita, o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página. Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área   d A → sempre paralela ao campo magnético B → , como ilustrado na figura. Colocamos também uma área infinitesimal d A = d r d z pela qual o campo passará.

A corrente em cada uma das N espiras atravessará uma área definida pelo contorno fechado C , que está a uma distância r do eixo Z .

Passo 2

Bom, agora que já visualizamos a questão através da figura (assim espero...rsrs), vamos entender o que precisamos calcular neste caso.

Primeiro, para obter a autoindutância L , vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético e sua relação com a autoindutância L de acordo com

Φ B = ∫ A B → . d A → = L I

sendo que I é corrente que percorre cada uma das N espiras quadradas do solenóide toroidal.

O caminho que a gente vai seguir abaixo é o seguinte: calculamos o fluxo total Φ B do toróide e o igualamos a L I para tirar a expressão para L .

Então, obtemos o seguinte módulo para o campo magnético

B = μ 0 N I 2 π r .

Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas N espiras, podemos encontrar o fluxo magnético. Como o elemento de área d A = d z   d r é sempre paralelo a B → e este tem mesmo valor em todos os pontos da curva C neste caso, temos que

Φ B = N ∫ B → . d A → = N ∫ B   d A .

Como o módulo do campo magnético B não é uniforme dentro do toróide, pois depende da distância r como acabamos de ver, então não podemos tirar o B de dentro da integral, blz?? Fica ligado nessa informação... Sei que a gente fica tentado em tirar o B da integral porque facilita e muito nossa vida, mas não faça isso a menos que o enunciado te diga que é uniforme...IMPORTANTÍSSIMO ISSO...

Dá uma olhada lá na figura e veja que, neste sistema de coordenadas, o elemento infinitesimal de área atravessada pelo campo é d A = d r d z . Por isso, o fluxo total é

Φ B = N ∫ = N   μ 0 N I 2 π ∫ 0 L = b - a d z   ∫ a b d r r

Resolvendo a integral acima, obtemos que o fluxo magnético total através das N espiras é

Φ B = μ 0 N 2 I 2 π b - a ln ⁡ b a       = L I ⇒ L = μ 0 N 2 ( b - a ) 2 π ln ⁡ b a

que nos permite encontrar a expressão para a autoindutância.

Passo 3

Como a energia magnética U B acumulada no campo magnético é dada por

U B = L I 2 2 ,

temos, utilizando a expressão da indutância L encontrada no passo anterior, que

U B = μ 0 N 2 ( b - a ) 4 π ln ⁡ b a I 2 .

Resposta

U B = μ 0 N 2 ( b - a ) 4 π ln ⁡ b a I 2 .

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 9ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 283

Um solenoide tem 85,0 cm de comprimento, uma seção reta de 17,0 cm², 950 espiras e é percorrido por uma corrente de 6,60 A. (a) Calcule a densidade de energia do campo magnético no interior do solenoide. (b) Determine a energia total armazenada no campo magnético, desprezando os efeitos de borda.

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Passo 1

Para resolvermos a letra (a) vamos utilizar a fómula de densidade de energia do campo magnético:

μ B = B ² 2 μ 0

Como o campo magnético no interior de um solenoide é dado por:

B =   μ 0   n   i

Sendo que   i é a corrente passando pelo solenoide e n é o número de espiras por unidade de comprimento.

Temos:

n =   950 0,85 = 1,18   x   10 3   m - 1

Juntando tudo temos:

μ B = ( μ 0   n   i ) ² 2 μ 0 =   μ 0   n ²   i ² 2 = 4   π   x   10 - 7   ( 1,18   x   10 3 ) ²   ( 6,60 ) ² 2 = 34,2   J / m ³  

Passo 2

Para resolvermos a letra (b) temos que lembrar que o campo magnético no interior do solenoide ideal é uniforme. Portanto, a energia total armazenada no campo magnético é dada pela fórmula:

U b   =   ∭ B ² 2 μ 0 d V = B ² 2 μ 0   ∭ d V   = B ² 2 μ 0     V = μ B   V  

Podemos tirar o campo magnético da integral pois ele é uniforme. A integral tripla de dV é igual ao volume total do solenoide. O volume é dado pelo produto da área da seção reta pelo comprimento do solenoide.

Temos que a área é:

A = 17,0   c m ²   = 17   x   10 - 4   m ²

Sendo assim:

U b   = μ B   A   l = 34,2   17   x   10 - 4 0,85 = 4,94   x   10 - 2   J = 49,4   m J

Resposta

(a) μ B = 34,2   J / m ³

(b) U b   = 49,4   m J

Exercício Resolvido #8

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 9ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2012, pp 283

Um indutor toroidal com uma indutância de 90,0 mH envolve um volume de 0,0200 m³. Se a densidade de energia média no toroide é 70,0 J/m3, qual é a corrente no indutor?

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Passo 1

Para resolvermos essa questão vamos utilizar a fórmula da energia armazenada num indutor:

U B = L i ² 2

Onde L é a indutância, e i é a corrente passando por ele.

Mas o exercício dá a densidade de energia e nós precisamos da energia. A fórmula que relaciona essas duas grandezas é a seguinte:

U B   =   ∭ B 2 2 μ 0 d V = B 2 2 μ 0   ∭ d V   = B 2 2 μ 0     V = μ B   V

Sendo V o volume do solenoide.

Passo 2

Rearranjando as equações vamos ter:

μ B   V =   U B = L i ² 2

i =   2   μ B   V   L =   2   ( 70 )   ( 0,02 )   ( 90 ) = 5,58 A

Resposta

i =   5 , 58 A

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