Energia e Densidade de Energia em um Campo Magnético

Teoria Completa

Energia Armazenada em Indutores

A fórmula da energia armazenada num indutor é:

U B = L i 2 2

Onde L é a indutância e i é a corrente estacionária passando por ele.

Felizmente ao contrário do capacitor, não temos outras duas maneiras interessantes de interpretar isto. Esta é a melhor mesmo.

Não acredito que valha muito à pena colocar a demonstração deste fato aqui, mas qualquer coisa grita lá no botão vermelho.

Densidade de Energia do Campo Magnético

Da mesma maneira que o campo elétrico tinha uma energia associada à ele, o magnético também tem. A diferença é que o campo magnético não tem uma função potencial associada, ou seja, ele não é conservativo e não podemos falar de “energia potencial magnética”.

Dito isso, podemos decorar que a densidade de energia, ou seja, a energia guardada num elemento infinitesimal de espaço é:

u B = d U B d V = B 2 2 μ 0

E se quisermos achar a energia numa certa região, basta integrar. Não tem nenhuma novidade com relação à densidade de energia do campo elétrico. Mais uma vez, se quisermos achar a energia numa certa região, basta integrar na região:

U B = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V

Deixa eu te dar um mega bizu aqui: no geral ou esse campo magnético é uniforme (constante no espaço) ou ele tem simetria cilíndrica e depende só da distância radial (geralmente no exercício você vai ter que calcular antes o campo usando lei de Ampère, beleza?).

Se o campo for uniforme a integral fica

U B = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V = B 2 2 μ 0 ∭ V   d V = B 2 2 μ 0 V

Ou seja, é só multiplicar a densidade de energia pelo volume!

Se o campo tiver simetria cilíndrica e depender da distância e supondo que estamos falando de um cilindro de comprimento L vamos ter

U B = ∭ V   B r 2 2 μ 0 d ϕ r d r d z = 1 2 μ 0 ∫ B r 2 r d r ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 L d z

U B = 2 π L 2 μ 0 ∫ B r 2 r d r

Aqui eu vou deixar os limites de integração em aberto por que isso vai depender do problema que você estiver resolvendo! Se for só um cilindro de raio R então os limites são de 0 a R , agora se for uma casca cilíndrica de raio interno a e raio externo b então vai ser uma integral de a até b .

Beleza! Vamo que vamo pros exercícios estourar a boca do balão! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2012.1 – Múltipla Escolha nº5.

Considere as seguintes três afirmativas: (I) num dado circuito, a força eletromotriz auto induzida é sempre de sentido oposto ao da corrente total existente; (II) para um indutor dado, fixo, o trabalho realizado para estabelecer uma corrente de intensidade final I através dele, desde um valor inicial nulo, é linearmente proporcional a I , e (III) se, num dado ponto do espaço, simplesmente invertermos o vetor campo magnético, a densidade de energia associada ao campo magnético em tal ponto será quadruplicada. Qual(is) de tais afirmações está(estão) correta(s)?

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. I e III
  6. II e III
  7. I, II e III
  8. Nenhuma
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Passo 1

Analisando uma por uma: (I) num dado circuito, a força eletromotriz auto induzida é sempre de sentido oposto ao da corrente total existente;

Esta diz respeito à Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

A fem auto induzida é oposta à variação de fluxo magnético. Então não, não é sempre de sentido oposto ao da corrente. A fem auto induzida vai tentar se opor à variação de fluxo somente. Digamos que a corrente esteja diminuindo: o fluxo pelo próprio circuito vai estar diminuindo também e a fem auto induzida vai ser no mesmo sentido da corrente para tentar ajudar.

Passo 2

A segunda afirmativa diz: (II) para um indutor dado, fixo, o trabalho realizado para estabelecer uma corrente de intensidade final I através dele, desde um valor inicial nulo, é linearmente proporcional a I ;

O trabalho para estabelecer uma corrente de intensidade I num indutor (lembre que trabalho é igual energia) tem a expressão da energia armazenada nele:

U = L I 2 2

Portanto não. Não é linearmente proporcional à corrente. É linearmente proporcional ao quadrado dela.

Passo 3

Por fim, a última diz: (III) se, num dado ponto do espaço, simplesmente invertermos o vetor campo magnético, a densidade de energia associada ao campo magnético em tal ponto será quadruplicada;

Esta diz respeito à densidade de energia num ponto:

d U d V = B 2 2 μ 0

Podemos ver que a densidade de energia num ponto só depende do módulo do campo neste ponto. Se invertermos o vetor, o módulo fica igual, portanto a energia também não se altera. Alternativa falsa.

Resposta

Letra h

Exercício Resolvido #2

UFRJ – Física III – Prova Final – 2014.1 – Múltipla Escolha nº2.

Sabe-se que, no interior de um cilindro (circular reto) de raio a , existe um campo magnético B → = K ( s / a 2 ) ϕ ^ , onde s ,   ϕ ,   z são as coordenadas cilíndricas usuais, K é uma constante, e o eixo Z coincide com o eixo de simetria do cilindro.

A energia magnética E m armazenada no cilindro entre z = 0 e z = L é

a E m = K 2 s 2 / ( 2 μ 0 a 4 )

b E m = K 2 L 2 / ( 6 μ 0 a )

c E m = π K 2 / ( 3 μ 0 a )

d E m = π K 2 L / ( 3 μ 0 a )

e E m = π K 2 L / ( 4 μ 0 )

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Passo 1

A densidade de energia magnética é dada por:

d E m d V = u = B 2 2 μ 0

Assim, a energia magnética é dada por:

E m = ∭ V   B 2 2 μ 0 d V

Como estamos trabalhando com um cilindro e o campo magnético varia de acordo com a coordenada radia, o volume infinitesimal será dado por:

V = π s 2 L → d V = 2 π s L   d s

0 ≤ s ≤ a

Logo:

E m = ∫ 0 a 1 2 μ 0 K s a 2 2 2 π s L   d s

E m = ∫ 0 a 1 2 μ 0 K 2 s 2 a 4 2 π s L   d s

E m = 2 π L K 2 2 μ 0 a 4 ∫ 0 a s 3   d s

E m = π L K 2 μ 0 a 4 s 4 4 0 a

E m = π L K 2 μ 0 a 4 a 4 4

Finalmente:

E m = π L K 2 4 μ 0

A resposta certa é a letra e .

Resposta

e E m = π K 2 L / ( 4 μ 0 )

Exercício Resolvido #3

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2012.2 – Múltipla Escolha nº9.

Considere um campo magnético estacionário não uniforme dado por B → = D r ϕ ^ onde r é a distância do ponto de aplicação do campo magnético até um determinado eixo, ϕ ^ é o vetor unitário circular em torno de tal eixo, e D = const . Qual opção indica a energia por unidade de comprimento ao longo do eixo, entre duas superfícies cilíndricas coaxiais com eixo supracitado, de raios r = a e r = b , com a < b ?

  1. π D 2 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  2. π D 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  3. 4 π D 2 μ 0 ln ⁡ b / a
  4. 4 π D μ 0 b - a
  5. D 2 2 μ 0 1 b - a
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Passo 1

Aplicando a fórmula da densidade de energia do campo magnético:

u = B 2 2 μ 0

Conseguimos a energia por comprimento se integramos na área da coroa circular:

d U d z = ∬ S   B 2 2 μ 0 d A

Passo 2

Como já temos o campo, aplicando coordenadas polares (usando o macete de uma integral só):

A = π r 2

d A = 2 π r   d r

Substituindo:

d U d z = 2 π 2 μ 0 ∫ a b D r 2 r d r

d U d z = π D 2 μ 0 ∫ a b d r r

d U d z = π D 2 μ 0 ln ⁡ b a

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #4

Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 30.15, pp. 338

Um solenóide longo de comprimento L = 25,0   c m e área de seção reta A = 0,500   c m 2 contém N = 400 espiras circulares e transporta uma corrente de I = 80,0   A . Supondo que o campo magnético dentro do solenóide é uniforme, calcule:

  1. O campo magnético no solenóide;
  2. A densidade de energia no campo magnético, se o solenóide for preenchido com ar;
  3. A energia total contida no campo magnético da bobina;
  4. A auto-indutância do solenóide.
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Passo 1

a) Esse exercício é bom porque a gente pode revisar, rapidinho, algumas coisas importantes sobre o campo magnético de um solenóide.

A primeira coisa é que, como esse solenóide é longo, ou seja, o comprimento dele é muito maior do que o diâmetro de cada espira, o campo magnético gerado pela corrente fica todo armazenado no interior do solenóide e tem o mesmo valor em todos os pontos lá dentro, por isso o enunciado fala que esse campo é uniforme.

A expressão para o módulo desse campo é

B = μ 0 N I L .

Substituindo os valores que o enunciado fornece, obtemos esse módulo é

B = 4 π × 10 - 7 × 400 × 80 25 × 10 - 2 = 0,161   T .

Passo 2

b) A gente também viu na teoria que a região no interior dentro do solenóide, que armazena um campo magnético uniforme, contém uma energia devida à esse campo. O valor da densidade de energia acumulada dentro do campo magnético uniforme do solenóide é

u = B 2 2 μ 0 = 0,161 2 2 × 4 π × 10 - 7 = 1,03   ×   10 4 J m 3 .

Ou seja, cada metro cúbico m 3 da região no interior do solenóide armazena uma quantidade de energia de 1,03   ×   10 4   J .

Passo 3

c) Bom, se cada m 3 do volume do interior do solenóide armazena 1,03   ×   10 4   J de energia, para encontrar a energia total armazenada no volume de dentro do solenóide, a gente precisa multiplicar essa energia pela valor do volume total, que é dado por

V t o t a l = A L .

Colocando tudo isso junto, a gente fica com

U t o t a l = 1,03   ×   10 4 J m 3 × 0,5 × 10 - 4 × 25 × 10 - 2 = 0,129   J .

Esse é o valor da energia total armazenada no campo magnético uniforme no interior do solenóide.

Passo 4

d) Mas, agora, quero te ajudar a lembrar do seguinte: também podemos expressar a energia armazenada no campo magnético como

U t o t a l = L I 2 2 ,