Circuitos RL
Teoria
Introdução
Agora que já estudamos sobre indutores e indutância, vamos ver como esse elemento funciona dentro de um circuito. Vamos começar com o mais simples de todos, o circuito RL, ele é composto por um resistor e um indutor!
Esse novo carinha ali na direita que parece uma espiral(E é um solenóide) é o indutor, e a gente representa a indutância desse cara como .
Mas e aí, como que eu vou calcular as componentes do circuito com esse cara novo no meio? E tem essa chave também, qual a diferença desse circuito com a chave fechada ou aberta?
Vamos começar relembrar algumas coisas sobre indutores e aí a gente resolve essa parada!
Indutores
A primeira coisa que devemos lembrar é a definição de indutância:
Onde:
é o enlace do fluxo dado por:
Quando temos uma espira, .
Além disso, devemos lembrar da força eletromotriz auto-induzida, pois é ela que interessa para nós quando falamos em circuitos RL.
Devemos ter em mente que o indutor irá se opor a qualquer variação de corrente que o atravessa e depois de um longo tempo ele irá se comportar como um fio normal. Ou seja, quando pensamos em um indutor no circuito, assim que plugamos uma bateria, o indutor irá produzir uma que irá se opor à corrente gerada pela bateria.
Carregamento do Indutor
Enquanto a chave segue aberta o indutor está totalmente descarregado pois não há circulação de corrente no indutor e pra chave aberta no local do indutor é como se o circuito estivesse aberto.
Agora vamos fechar a chave, no tempo e observar o que acontece.
Como o indutor não permite uma variação brusca da corrente, assim que a chave é fechada no primeiro momento o circuito ainda trabalha como aberto e teremos:
Após o primeiro momento o circuito está fechado vamos ver como fica a variação do potencial quando percorremos o circuito no sentido da corrente, começando pelo resistor:
- Resistor : Ao passar pelo resistor, o potencial varia .
- Indutor L: Ao passar pelo indutor, o potencial varia .
- Fonte: Ao passar pela fonte, percorrendo do polo negativo para o positivo, o potencial varia .
Pela Lei das malhas temos:
A solução dessa equação nos dá:
Onde pode ser substituído por que a denominada constante de tempo indutiva. Essa equação nos dá o aumento da corrente no circuito!
Pela equação achada para a corrente podemos tirar algumas conclusões:
- Para , temos que a corrente é zero.
- Para , temos que a corrente será .
E com isso esboçamos o gráfico
E a voltagem pode ser encontrada fazendo:
Derivando temos:
E cortando os termos temos:
Também pode ser escrita em função de
E aqui da mesma forma a gente pode fazer aquela análise em , e quando temos e o gráfico fica:
Após o carregamento total o circuito vai se comportar como fechado, e por isso temos esses valores para , podemos imaginar esse circuito assim
Descarregamento do Indutor
Ao retirarmos a bateria do circuito, a corrente não irá para zero imediatamente, o indutor irá se opor à variação de corrente e o circuito fica
Nesse momento o indutor está carregado, mas quando a chave for fechada em o indutor vai descarregar do resistor, então agora fecharemos a chave.
a lei das malhas, agora sem a bateria será
tem ainda a mesma equação, podemos então isolar e substituir a equação para
E em função da constante de temo indutiva
E como no resistor se aplica a lei de Ohm.
Temos:
E também pode ser reescrito em função de
Ambos os gráficos são bem parecidos, começando pelo da tensão no resistor que em temos e com temos .
O gráfico da corrente tem o mesmo comportamento, porém dividido por
E se tivermos mais de um indutor no circuito? O que acontece? Vamos ver agora!
Indutores em Série
Vamos analisar o seguinte circuito :
A gente poderia perder um tempo provando as fórmulas mas como são beeeem parecidas com as de resistores, vamos apenas compreende-las. A corrente nessa associação em série de indutores é dada por:
E a indutância equivalente é como a resistência equivalente para resistores, ou seja é só ir somando.
Assim, para indutores associados em série:
Indutores em Paralelo
Vamos analisar agora o seguinte circuito:
Aqui também funciona como uma associação de resistores em paralelo pra calcular a indutância equivalente, saca só:
Assim, para indutores associados em paralelo:
Além disso:
E é isso que precisamos saber sobre circuitos RL!
Descarregamento do Indutor
Indutores em Série
Indutores em Paralelo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-49 - Modificado.
O circuito de indutores da figura abaixo, com , , e , é ligado a uma fonte de corrente alternada. Qual a indutância equivalente?
Passo 1
Bom, temos que calcular a indutância equivalente do circuito da figura.
O que precisamos lembrar é que quando temos mais de um indutor em um circuito, eles podem estar associados em série ou em paralelo, beleza? E é muito importante a gente identificar essa associação para podermos calcular a indutância equivalente.
Então bora analisar: Podemos observar pela figura que e estão em paralelo, e o indutor equivalente dessa associação estará em série com e .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o indutor equivalente, , da associação em paralelo de e . Sabemos que a indutância equivalente de uma associação em paralelo é dada pela fórmula:
Assim, teremos:
Logo,
O circuito equivalente será assim:
Passo 3
Agora, podemos perceber que , e estão em série. Para uma associação em série a indutância equivalente é dada pela fórmula:
Assim, teremos:
E o circuito equivalente será assim:
E desse modo conseguimos reduzir o circuito com quatro indutores a um circuito com um único indutor equivalente,
Resposta
Exercício Resolvido #2
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-51
Uma bateria é ligada a um circuito em série no instante . Para que múltiplo de a corrente atinge um valor menor que o valor final?
Passo 1
Em um circuito , a corrente varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:
Quando , a corrente será . Assim, a corrente atinge um valor menor que o valor final quando:
Assim, basta substituir isso na equação da corrente e calcular o valor de .
Passo 2
Beleza, agora vamos organizando esse cara até encontrarmos o que queremos, show?!
Resposta
Exercício Resolvido #3
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-52
A corrente em um circuito aumenta para um terço do valor final em . Determine a constante de tempo indutiva.
Passo 1
A corrente em um circuito varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:
Quando , a corrente será . Assim, a corrente atinge um terço do valor final quando:
Assim, basta substituir isso na equação da corrente e calcular o valor de .
Passo 2
A boa agora é dar uma arrumada até descobrirmos .
Onde . Portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFF – Física III – Lista 5 – Questão nº12
Os diagramas mostram três circuitos com baterias idênticas, indutores idênticos e resistores idênticos. Classifique, de acordo com a corrente através da bateria, logo após o interruptor estar fechado, a partir do menor valor para o maior. Explique.
Passo 1
Para um circuito RL, temos que a corrente varia da seguinte maneira:
Para determinar o valor da corrente, assim que fechamos o interruptor, basta substituir , desse modo, acharemos que a corrente é nula. Ou seja, assim que fechamos o interruptor, a corrente através do indutor será nula.
Beleza, agora vamos analisar cada caso por vez.
Passo 2
- Circuito 1
- Circuito 2
- Circuito 3
Assim que o interruptor é fechado, a corrente através do indutor é nula. Como os resistores e o indutor estão em série, a corrente no circuito inteiro será nula.
Nesse caso, assim que o interruptor é fechado, a corrente passará inteira pelo resistor que está em paralelo com o indutor. Portanto, aplicando a Lei das Malhas:
A corrente agora vai passar somente pelos dois resistores, não passando pelo indutor. Logo, através da Lei das Malhas, teremos:
Finalmente, organizando do menor para o maior, teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Circuito RL
Na figura, a chave ficou fechada por um tempo muito longo.
Quais são as correntes através de e ?
Qual é a energia armazenada no indutor?
A chave é então aberta em .
Escreva a expressão da corrente através do indutor em função do tempo;
Calcule a ddp inicial através do indutor;
Passo 1
Quais são as correntes através de e ?
Depois que a chave fica fechada por muito tempo , a corrente no indutor tende a ficar constante o indutor passa a se comportar como um “pedaço de fio” comum. Então não devemos leva-lo em consideração nessa situação. Assim o nosso circuito vai ser as duas resistências em paralelo!
Logo:
Passo 2
Qual é a energia armazenada no indutor?
A energia armazenada em um indutor é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Escreva a expressão da corrente através do indutor em função do tempo;
Aplicando Lei das malhas na malha total de fora (excluindo o fio que contém a bateria), temos:
Nesse caso, temos . Logo:
A solução dessa equação é:
Onde pode ser substituído por , que a denominada constante de tempo indutiva. Essa equação nos dá corrente no circuito!
Como após desligar a chave, a única fonte de d.d.p. é o indutor (por que ele tem uma energia armazenada) a corrente no instante vai ser a corrente no indutor que vimos no passo anterior
Assim substituindo todos os nossos valores
Passo 4
Calcule a ddp inicial através do indutor;
Temos que a ddp no indutor é dada por:
Quando :
Resposta
Exercício Resolvido #6
UNICAMP – Física III – Prova 3 – Noturno – Questão nº3.
No circuito da figura abaixo, a chave ficou na posição por um tempo muito longo.
Nesta condição, qual é a corrente no circuito?
Agora, é subitamente movida de para em .
Calcule a inicial através do indutor e através de cada resistor.
Calcule a energia magnética inicial armazenada no indutor.
Calcule a energia total dissipada nos resistores.
Passo 1
Qual é a corrente no circuito?
Em um circuito , quando o indutor está conectado à fonte, a corrente no circuito obedece à função:
Depois que a chave fica na posição por muito tempo , a corrente no indutor tende a ficar constante o indutor passa a se comportar como um “pedaço de fio” comum. Então não devemos leva-lo em consideração nessa situação.
Logo:
Passo 2
Calcule a inicial através do indutor e através de cada resistor.
Quando a chave é movida para a posição , o circuito passa a ser formado somente pelo indutor e pelos resistores.
Nessa situação, a corrente no circuito é dada por:
A partir daqui já podemos começar a brincar.
A nos resistores é dada por:
E a no indutor é dada por:
Em , teremos:
Passo 3
Calcule a energia magnética inicial armazenada no indutor.
A energia magnética é dada por:
A corrente inicial do circuito é dada por:
Logo:
Passo 4
Calcule a energia total dissipada nos resistores.
Toda a energia armazenada no indutor será dissipada nos resistores, logo, a energia total dissipada nos resistores será:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Site do Prof. Gennady Gusev (USP), Capítulo 05, Circuitos RL e RC
As duas chaves do circuito que segue são fechadas em . Determine , e para .
Passo 1
Antes de , com o indutor em curto, temos que . Assim, a corrente para é dada por:
Além disso, calculamos para pela lei das malhas:
E também para :
Por fim, calculamos para como:
Passo 2
Após o fechamento das chaves, o indutor fica em paralelo com as resistências de e e as fontes deixam de alimentar o indutor, como na figura abaixo.
Assim, para :
E o valor de será:
Passo 3
Para obter a corrente para , vamos olhar para a figura abaixo.
Temos que:
onde chamamos de a corrente que passa pelo resistor de .
Sabemos que a tensão nos dois resistores é a mesma. Logo:
Substituindo: