Circuitos RL

Teoria Completa

Introdução

Agora que já estudamos sobre indutores e indutância, vamos ver como esse elemento funciona dentro de um circuito. Vamos começar com o mais simples de todos, o circuito RL, ele é composto por um resistor e um indutor!

Vamos começar relembrar algumas coisas sobre indutores!

Indutores

A primeira coisa que devemos lembrar é a definição de indutância:

L = N ϕ B i

Quando temos uma espira, N = 1 .

Além disso, devemos lembrar da força eletromotriz auto-induzida, pois é ela que interessa para nós quando falamos em circuitos RL.

E L = - L d i d t

Devemos ter em mente que o indutor irá se opor a qualquer variação de corrente que o atravessa e depois de um longo tempo ele irá se comportar como um fio normal. Ou seja, quando pensamos em um indutor no circuito, assim que plugamos uma bateria, o indutor irá produzir uma f e m   que irá se opor à corrente gerada pela bateria.

Circuitos RL

Vamos analisar como fica a lei das malhas quando existe um indutor no circuito! Se liga na figura abaixo! O indutor é designado no circuito como um solenoide!

Bom vamos ver como fica a variação do potencial quando percorremos o circuito no sentido da corrente, começando pelo resistor:

  • Resistor R : Ao passar pelo resistor, o potencial varia – i R .
  • Indutor L: Ao passar pelo indutor, o potencial varia – L d i d t .
  • Fonte: Ao passar pela fonte, percorrendo do polo negativo para o positivo, o potencial varia + E .

Pela Lei das malhas temos:

- i . R - L . d i d t + E = 0

i R + L d i d t = E

A solução dessa equação nos dá:

i = E R 1 - e - R t L

Onde L R pode ser substituído por τ L , que a denominada constante de tempo indutiva. Essa equação nos dá o aumento da corrente no circuito!

i = E R 1 - e - t τ L

Pela equação achada para a corrente podemos tirar algumas conclusões:

  • Para t = 0 , temos que a corrente i é zero.
  • Para t → ∞ , temos que a corrente será E R .
  • Ao retirarmos a bateria do circuito, a corrente não irá para zero imediatamente, o indutor irá se opor à variação de corrente, a lei das malhas, agora sem a bateria será:

    i R + L d i d t = 0

    A solução dessa equação será:

    i = E R e - t τ L

    Essa é a equação da diminuição da corrente. Podemos percebemos que tanto o aumento de corrente quanto a diminuição são governadas pela constante de tempo indutiva τ L .

    Novamente, podemos tirar algumas conclusões da equação acima:

  • Para t = 0 , temos que a corrente i é E R .
  • Para t → ∞ , temos que a corrente será zero.

E se tivermos mais de um indutor no circuito? O que acontece? Vamos ver agora!

Indutores em Série

Vamos analisar o seguinte circuito R L :

Como os indutores estão em série, através das Leis de Kirchhoff, podemos dizer que:

i 1 = i 2 = i

Para substituir os indutores por um indutor equivalente, é necessário que:

E L = E L 1 + E L 2

Portanto:

- L e q d i d t = - L 1 d i 1 d t - L 2 d i 2 d t

Agora é só arrumar a bagunça:

- L e q d i d t = - L 1 d i d t - L 2 d i d t

L e q d i d t = L 1 d i d t + L 2 d i d t

Finalmente:

L e q = L 1 + L 2

Assim, para n indutores associados em série:

L e q = L 1 + L 2 + … + L n

Indutores em Paralelo

Vamos analisar agora o seguinte circuito:

Como os indutores estão associados em paralelo:

E L = E L 1 = E L 2

Além disso:

i = i 1 + i 2

Derivando todos os termos em relação ao tempo, teremos:

d i d t = d i 1 d t + d i 2 d t

Onde:

E L = - L d i d t

d i d t = - E L L

Portanto:

- E L L e q = - E L 1 L 1 - E L 2 L 2

- E L L e q = - E L L 1 - E L L 2

Finalmente:

1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2

Assim, para n indutores associados em paralelo:

1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2 + … + 1 L n

E é isso que precisamos saber sobre circuitos RL!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-49 - Modificado.

O circuito de indutores da figura abaixo, com L 1 = 30,0   m H , L 2 = 50,0   m H , L 3 = 20,0   m H e L 4 = 15,0   m H , é ligado a uma fonte de corrente alternada. Qual a indutância equivalente?

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Passo 1

Bom, temos que calcular a indutância equivalente do circuito da figura.

O que precisamos lembrar é que quando temos mais de um indutor em um circuito, eles podem estar associados em série ou em paralelo, beleza? E é muito importante a gente identificar essa associação para podermos calcular a indutância equivalente.

Então bora analisar: Podemos observar pela figura que L 2 e L 3 estão em paralelo, e o indutor equivalente dessa associação estará em série com L 1 e L 4 .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o indutor equivalente, L e q 1 , da associação em paralelo de L 2 e L 3 . Sabemos que a indutância equivalente de uma associação em paralelo é dada pela fórmula:

1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2

Assim, teremos:

1 L e q 1 = 1 L 2 + 1 L 3 = 1 50 + 1 20 = 7 100

Logo,

L e q 1 = 100 7

O circuito equivalente será assim:

Passo 3

Agora, podemos perceber que L 1 , L e q 1 e L 4 estão em série. Para uma associação em série a indutância equivalente é dada pela fórmula:

L e q = L 1 + L 2

Assim, teremos:

L e q = L 1 + L e q 1 + L 4 = 30 + 100 7 + 15 = 59,3   m H

E o circuito equivalente será assim:

E desse modo conseguimos reduzir o circuito com quatro indutores a um circuito com um único indutor equivalente, L e q = 59,3   m H

Resposta

59,3   m H

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-51

Uma bateria é ligada a um circuito R L em série no instante t = 0 . Para que múltiplo de τ L a corrente atinge um valor 0,1   % menor que o valor final?

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Passo 1

Em um circuito R L , a corrente varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:

i = E R 1 - e - t τ L

Quando t → ∞ , a corrente será E / R . Assim, a corrente atinge um valor 0,1   % menor que o valor final quando:

i = 99,9 % E R

i = 0,999 E R

Assim, basta substituir isso na equação da corrente e calcular o valor de t .

Passo 2

0,999 E R = E R 1 - e - t τ L

Beleza, agora vamos organizando esse cara até encontrarmos o que queremos, show?!

0,999 = 1 - e - t τ L

e - t τ L = 0,001

- t τ L = ln ⁡ 0,001

- t τ L = - 6,9

t = 6,9 τ L

Resposta

t = 6,9 τ L

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-52

A corrente em um circuito R L aumenta para um terço do valor final em 5,0 s . Determine a constante de tempo indutiva.

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Passo 1

A corrente em um circuito R L varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:

i = E R 1 - e - t τ L

Quando t → ∞ , a corrente será E / R . Assim, a corrente atinge um terço do valor final quando:

i = 1 3 E R → i = E 3 R

Assim, basta substituir isso na equação da corrente e calcular o valor de τ L .

Passo 2

E 3 R = E R 1 - e - t τ L

A boa agora é dar uma arrumada até descobrirmos τ L .

1 3 = 1 - e - t τ L

e - t τ L = 2 3

- t τ L = ln ⁡ 2 3

- t τ L = - 0,405

τ L = t 0,405

Onde t = 5,0 s . Portanto:

τ L = 5 0,405

τ L = 12,33 s