Circuitos RL

Teoria Completa

Introdução

Agora que já estudamos sobre indutores e indutância, vamos ver como esse elemento funciona dentro de um circuito. Vamos começar com o mais simples de todos, o circuito RL, ele é composto por um resistor e um indutor!

Esse novo carinha ali na direita que parece uma espiral(E é um solenóide) é o indutor, e a gente representa a indutância desse cara como L .

Mas e aí, como que eu vou calcular as componentes do circuito com esse cara novo no meio? E tem essa chave também, qual a diferença desse circuito com a chave fechada ou aberta?

Vamos começar relembrar algumas coisas sobre indutores e aí a gente resolve essa parada!

Indutores

A primeira coisa que devemos lembrar é a definição de indutância:

L = λ i

Onde:

λ é o enlace do fluxo dado por:

λ = N ϕ B

Quando temos uma espira, N = 1 .

Além disso, devemos lembrar da força eletromotriz auto-induzida, pois é ela que interessa para nós quando falamos em circuitos RL.

E L = L d i d t

Devemos ter em mente que o indutor irá se opor a qualquer variação de corrente que o atravessa e depois de um longo tempo ele irá se comportar como um fio normal. Ou seja, quando pensamos em um indutor no circuito, assim que plugamos uma bateria, o indutor irá produzir uma f e m   que irá se opor à corrente gerada pela bateria.

Carregamento do Indutor

Enquanto a chave segue aberta o indutor está totalmente descarregado pois não há circulação de corrente no indutor e pra chave aberta no local do indutor é como se o circuito estivesse aberto.

Agora vamos fechar a chave, no tempo t = 0 e observar o que acontece.

Como o indutor não permite uma variação brusca da corrente, assim que a chave é fechada no primeiro momento o circuito ainda trabalha como aberto e teremos:

i t = 0 = 0

V L t = 0 = ε

Após o primeiro momento o circuito está fechado vamos ver como fica a variação do potencial quando percorremos o circuito no sentido da corrente, começando pelo resistor:

  • Resistor R : Ao passar pelo resistor, o potencial varia – i R .
  • Indutor L: Ao passar pelo indutor, o potencial varia – L d i d t .
  • Fonte: Ao passar pela fonte, percorrendo do polo negativo para o positivo, o potencial varia + E .

Pela Lei das malhas temos:

- i . R - L . d i d t + E = 0

i R + L d i d t = E

A solução dessa equação nos dá:

i = E R 1 - e - R t L

Onde L R pode ser substituído por τ   que a denominada constante de tempo indutiva. Essa equação nos dá o aumento da corrente no circuito!

i = E R 1 - e - t τ

Pela equação achada para a corrente podemos tirar algumas conclusões:

  • Para t = 0 , temos que a corrente i é zero.
  • Para t → ∞ , temos que a corrente será E R .

E com isso esboçamos o gráfico i × t

E a voltagem pode ser encontrada fazendo:

V L = L d i t d t = L d d t E R 1 - e - R t L

Derivando temos:

V L = L E R × - R L × - e - R t L

E cortando os termos temos:

V L = E e - R t L

Também pode ser escrita em função de τ

V L = E e - t τ

E aqui da mesma forma a gente pode fazer aquela análise em t = 0 , V L = ε e quando t → ∞ temos V L → 0 e o gráfico fica:

Após o carregamento total o circuito vai se comportar como fechado, e por isso temos esses valores para t → ∞ , podemos imaginar esse circuito assim

Descarregamento do Indutor

Ao retirarmos a bateria do circuito, a corrente não irá para zero imediatamente, o indutor irá se opor à variação de corrente e o circuito fica

Nesse momento o indutor está carregado, mas quando a chave for fechada em t = 0 o indutor vai descarregar do resistor, então agora fecharemos a chave.

a lei das malhas, agora sem a bateria será

V R + V L = 0

V L tem ainda a mesma equação, podemos então isolar V R e substituir a equação para V L

V R = - V L = - E e - R t L

E em função da constante de temo indutiva τ = L R

V R = - E e - t τ

E como no resistor se aplica a lei de Ohm.

V R = R i

Temos:

i t = V R R = - E R e - R t L

E também pode ser reescrito em função de τ

i ( t ) = - E R e - t τ

Ambos os gráficos são bem parecidos, começando pelo da tensão no resistor que em t = 0 temos V R = -   E e com t → ∞ temos V R = 0 .

O gráfico da corrente tem o mesmo comportamento, porém dividido por R .

E se tivermos mais de um indutor no circuito? O que acontece? Vamos ver agora!

Indutores em Série

Vamos analisar o seguinte circuito R L :

A gente poderia perder um tempo provando as fórmulas mas como são beeeem parecidas com as de resistores, vamos apenas compreende-las. A corrente nessa associação em série de indutores é dada por:

i 1 = i 2 = i

E a indutância equivalente é como a resistência equivalente para resistores, ou seja é só ir somando.

L e q = L 1 + L 2

Assim, para n indutores associados em série:

L e q = L 1 + L 2 + … + L n

Indutores em Paralelo

Vamos analisar agora o seguinte circuito:

Aqui também funciona como uma associação de resistores em paralelo pra calcular a indutância equivalente, saca só:

1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2

Assim, para n indutores associados em paralelo:

1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2 + … + 1 L n

Além disso:

i = i 1 + i 2

E é isso que precisamos saber sobre circuitos RL!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-49 - Modificado.

O circuito de indutores da figura abaixo, com L 1 = 30,0   m H , L 2 = 50,0   m H , L 3 = 20,0   m H e L 4 = 15,0   m H , é ligado a uma fonte de corrente alternada. Qual a indutância equivalente?

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Passo 1

Bom, temos que calcular a indutância equivalente do circuito da figura.

O que precisamos lembrar é que quando temos mais de um indutor em um circuito, eles podem estar associados em série ou em paralelo, beleza? E é muito importante a gente identificar essa associação para podermos calcular a indutância equivalente.

Então bora analisar: Podemos observar pela figura que L 2 e L 3 estão em paralelo, e o indutor equivalente dessa associação estará em série com L 1 e L 4 .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o indutor equivalente, L e q 1 , da associação em paralelo de L 2 e L 3 . Sabemos que a indutância equivalente de uma associação em paralelo é dada pela fórmula:

1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2

Assim, teremos:

1 L e q 1 = 1 L 2 + 1 L 3 = 1 50 + 1 20 = 7 100

Logo,

L e q 1 = 100 7

O circuito equivalente será assim:

Passo 3

Agora, podemos perceber que L 1 , L e q 1 e L 4 estão em série. Para uma associação em série a indutância equivalente é dada pela fórmula:

L e q = L 1 + L 2

Assim, teremos:

L e q = L 1 + L e q 1 + L 4 = 30 + 100 7 + 15 = 59,3   m H

E o circuito equivalente será assim:

E desse modo conseguimos reduzir o circuito com quatro indutores a um circuito com um único indutor equivalente, L e q = 59,3   m H

Resposta

59,3   m H

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-51

Uma bateria é ligada a um circuito R L em série no instante t = 0 . Para que múltiplo de τ L a corrente atinge um valor 0,1   % menor que o valor final?

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Passo 1

Em um circuito R L , a corrente varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:

i = E R 1 - e - t τ L

Quando t → ∞ , a corrente será E / R . Assim, a corrente atinge um valor 0,1   % menor que o valor final quando:

i = 99,9 % E R

i = 0,999 E R

Assim, basta substituir isso na equação da corrente e calcular o valor de t .

Passo 2

0,999 E R = E R 1 - e - t τ L

Beleza, agora vamos organizando esse cara até encontrarmos o que queremos, show?!

0,999 = 1 - e - t τ L

e - t τ L = 0,001

- t τ L = ln ⁡ 0,001

- t τ L = - 6,9

t = 6,9 τ L

Resposta

t = 6,9 τ L

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-52

A corrente em um circuito R L aumenta para um terço do valor final em 5,0 s . Determine a constante de tempo indutiva.

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Passo 1

A corrente em um circuito R L varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:

i = E R 1 - e - t τ L