Indutores e Indutância

Teoria Completa

Introdução

Você lembra que nós estudamos que fluxos de campos magnéticos variando induzem uma força eletromotriz?

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Mas será que é possível quantificar essa capacidade que um circuito tem de induzir f e m ? Sim, é aí que entra a indutância.

Bora lá!

Indutores

Um dispositivo que é capaz de gerar variações de fluxo magnético em um circuito e como consequência disso induzir uma força eletromotriz é chamado de indutor.

Essa capacidade de induzir f e m é o que chamamos de indutância.

O indutor é capaz de induzir f e m em outros circuitos (indutância mútua) e em si mesmo (autoindutância)

Note que todo e qualquer circuito que passe uma corrente não-estacionária tem alguma espécie de indutância, pois com a corrente variando, o módulo do campo magnético também varia e com isso haverá uma variação do fluxo de campo, beleza?

Mas o único caso que vamos estudar aqui é o mais simples, que é o fio enrolado em espiral, ou seja, nosso querido solenóide.

Autoindutância

A autoindutância é um fenômeno que ocorre numa espira ou solenóide, e é proveniente do campo produzido pela sua própria corrente.

Se um solenóide com N espiras conduz uma corrente i , essa corrente vai produzir um fluxo magnético ϕ B na região central do indutor.

Agora você concorda comigo que se a corrente variar com o tempo, o fluxo induzido nessa região central também varia?

Pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ circuito  ∂ t

Esta f e m é batizada carinhosamente de f e m auto induzida. O sentido dessa f e m auto induzida é dado pela Lei de Lenz, se opondo à variação que a produz.

Como o fluxo total pelo circuito é N vezes o fluxo em cada volta do fio, temos que:

ϕ circuito  = N ϕ B

Substituindo, podemos tirar a constante fora da derivada:

E = - N ∂ ϕ B ∂ t

Que fluxo de campo magnético é esse? É o fluxo do campo gerado pela própria corrente no solenoide. Lembra como é a fórmula do campo gerado por um solenóide? É essa aqui!

B = μ 0 n i

Onde n é o número de espiras por unidade de comprimento, dado por:

n = N l

(Se não lembra, dá uma olhada no nosso tópico de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides)

Assim, se definirmos o vetor área do solenóide paralelo ao vetor campo magnético, o fluxo do campo magnético através do solenoide vai ser:

ϕ B = A B = A μ 0 n i = A μ 0 N i l

Onde A é a área da seção transversal do solenoide.

Aí a fem induzida vai ser E = - N ∂ ϕ B ∂ t = - N ∂ ∂ t A μ 0 N i l

E = - μ 0 N 2 A l ∂ i ∂ t

Como todo esse cara multiplicando a derivada da corrente é constante, nós definimos ela como L , a chamada autoindutância:

E = - L ∂ i ∂ t

A unidade de medida da indutância é chamada henry H e é definida por:

1   h e n r y = 1 H = 1 T . m 2 A

Então, a nossa autoindutância L pode ser expressa de duas maneiras:

L = N ϕ B i

Ou

L = μ 0 N 2 A l

Solenóides Longos

Toda vez que o problema falar em “solenóide longo”, acaba sendo mais jogo, ao invés de calcularmos a autoindutância, calcularmos a autoindutância por unidade de comprimento, dada por:

L l = μ 0 n 2 A

Onde A é a área transversal do indutor, e n é o número de espiras por unidade de comprimento, dado por:

n = N l

Indutância Mútua

A medida da tendência de um circuito induzir corrente num outro circuito é chamada de indutância mútua. Suponhamos que temos dois solenoides, só que, inicialmente, o circuito 1 não tem corrente:

Sejam:

i 1 e i 2 : As correntes em cada solenóide, com i 1 = 0 ;

N 1 e N 2 : Número de espiras em cada solenóide;

ϕ 1 e ϕ 2 : Fluxo magnético por através de uma volta de cada solenoide;

E 1 e E 2 : Fem em cada solenoide.

Nós vamos ter que, pela Lei de Faraday:

E 1 = - ∂ ϕ circuito 1 ∂ t

Como o fluxo total pelo circuito 1 é N 1 vezes o fluxo por cada volta do fio, temos:

ϕ circuito 1 = N 1 ϕ 1

Substituindo, podemos tirar a constante fora da derivada:

E 1 = - N 1 ∂ ϕ 1 ∂ t

Até aqui nada de muito novo. A novidade vem da seguinte afirmativa: O fluxo no circuito 1 é proporcional à corrente no circuito 2 . Isso ocorre porque o fluxo de campo no circuito 1 é gerado pela corrente que passa no circuito 2.

Ou seja:

N 1 ϕ 1 ∝ i 2

Quando duas coisas são proporcionais, existe uma constante de proporcionalidade que relaciona elas. Essa constante é a indutância mútua M :

N 1 ϕ 1 = M i 2

Dito isso, podemos derivar ambos os lados com respeito ao tempo:

N 1 ∂ ϕ 1 ∂ t = M ∂ i 2 ∂ t

Substituindo a expressão da Lei de Faraday:

E 1 = - M ∂ i 2 ∂ t

Ou seja, a f e m induzida no circuito 1 é diretamente proporcional à variação de corrente no 2 .

Até aqui beleza, a corrente no circuito 2 induziu uma f e m no circuito 1 .

Agora o circuito 1 tem uma nova corrente própria i 1 ≠ 0 e, já que ele tem corrente, vai fazer um campo próprio:

Se ele tem um campo próprio, olha que maravilha: ele vai induzir uma f e m no circuito 2 ! Virou doidera? Não, porque nós somos malandros.

O fio 2 tinha uma fem própria antes E 2 ≠ 0 , e agora ele vai ter essa f e m antiga mais a f e m induzida pelo fio 1 . Mas nós só estamos preocupados em calcular a f e m induzida, e ela pode ser encontrada pelo mesmo método que usamos para achar a do circuito 1 . Sabemos que o fluxo induzido no 2 é proporcional à corrente no 1 :

N 2 ϕ 2 ∝ i 1

E essa constante de proporcionalidade, não por acaso, é a indutância mútua entre os circuitos:

N 2 ϕ 2 = M i 1

Derivando ambos os lados e substituindo a Lei de Faraday para o circuito 2 :

E 2 = - M ∂ i 1 ∂ t

Finalmente, podemos tirar que a definição da indução mútua é:

M = N 1 ϕ 1 i 2 = N 2 ϕ 2 i 1

Quando formos analisar essas equações, temos que ter muito cuidado. Primeiramente, a indutância mútua é uma constante que depende apenas da geometria dos dois circuitos (número de espiras, comprimento, área da seção reta, etc.) e não da corrente ou do campo magnético.

Veja que temos várias maneiras de calcular a indutância mútua, depende só do que foi dado pela questão. Apesar de ser um conceito novo, temos todas as ferramentas para calcular o seu valor.

Tá, agora só mais uma coisinha...

Solenóides Preenchidos com Materiais Magnéticos

Em casos raros, alguns problemas colocam solenóides preenchidos por materiais magnéticos. Assim, é valido tocar no assunto.

No interior de um material magnético, o campo magnético será dado por:

B = 1 + χ m B 0

Onde B 0 é o campo magnético no vácuo e χ m é uma propriedade adimensional chamada suscetibilidade magnética.

Nesse caso, a autoindutância em um indutor preenchido por material magnético será:

L = 1 + χ m L 0

Onde L 0 é a autoindutância no vácuo.

É isso! Bora lá exercitar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-40.

A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras é 8,0   m H . Calcule o fluxo magnético através da bobina quando a corrente é 5,0   m A .

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Passo 1

A indutância L do indutor é definida por:

L = N ϕ B i

Logo, o fluxo magnético será:

ϕ B = i L N

Onde:

i = 5,0   m A → i = 5 × 10 - 3 A

L = 8,0   m H → L = 8 × 10 - 3 H

N = 400   e s p i r a s

Substituindo os valores, teremos:

ϕ B = 5 × 10 - 3 × 8 × 10 - 3 400

ϕ B = 1,0 × 10 - 7   W b

Resposta

ϕ B = 1,0 × 10 - 7   W b

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-44.

Um indutor de 12   H conduz uma corrente de 2,0   A . Qual deve ser a taxa de variação da corrente para que a força eletromotriz no indutor seja 60   V ?

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Passo 1

A f e m auto induzida é dada por:

E = - L ∂ i ∂ t

Logo:

d i d t = - E L

d i d t = - 60 12

d i d t = - 5   A / s

Resposta

d i d t = - 5   A / s

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-41.

Uma bobina circular tem 10,0   c m de raio e 30 espiras compactas. Um campo magnético externo de módulo 2,60   m T é aplicado perpendicularmente ao plano da bobina.

a Se a corrente na bobina é zero, qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras?

b Quando a corrente na bobina é 3,80   A em um certo sentido, o fluxo magnético através da bobina é zero. Qual é a indutância da bobina.

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Passo 1

a Se a corrente na bobina é zero, qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras?

O fluxo magnético é definido por:

ϕ B t o t a l = N ϕ B

ϕ B t o t a l = N B A

Onde A = π r 2 .

ϕ B t o t a l = N B π r 2

Onde:

N = 30   e s p i r a s

B = 2,6 × 10 - 3 T