Indutores e Indutância

Teoria Completa

Introdução

Você lembra que nós estudamos que fluxos de campos magnéticos variando induzem uma força eletromotriz?

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Mas será que é possível quantificar essa capacidade que um circuito tem de induzir f e m ? Sim, é aí que entra a indutância.

Bora lá!

Indutores

Um dispositivo que é capaz de gerar variações de fluxo magnético em um circuito e como consequência disso induzir uma força eletromotriz é chamado de indutor.

Essa capacidade de induzir f e m é o que chamamos de indutância.

O indutor é capaz de induzir f e m em outros circuitos (indutância mútua) e em si mesmo (autoindutância)

Note que todo e qualquer circuito que passe uma corrente não-estacionária tem alguma espécie de indutância, pois com a corrente variando, o módulo do campo magnético também varia e com isso haverá uma variação do fluxo de campo, beleza?

Mas o único caso que vamos estudar aqui é o mais simples, que é o fio enrolado em espiral, ou seja, nosso querido solenóide.

Autoindutância

A autoindutância é um fenômeno que ocorre numa espira ou solenóide, e é proveniente do campo produzido pela sua própria corrente.

Se um solenóide com N espiras conduz uma corrente i , essa corrente vai produzir um fluxo magnético ϕ B na região central do indutor.

Agora você concorda comigo que se a corrente variar com o tempo, o fluxo induzido nessa região central também varia?

Pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ circuito  ∂ t

Esta f e m é batizada carinhosamente de f e m auto induzida. O sentido dessa f e m auto induzida é dado pela Lei de Lenz, se opondo à variação que a produz.

Como o fluxo total pelo circuito é N vezes o fluxo em cada volta do fio, temos que:

ϕ circuito  = N ϕ B

Substituindo, podemos tirar a constante fora da derivada:

E = - N ∂ ϕ B ∂ t

Que fluxo de campo magnético é esse? É o fluxo do campo gerado pela própria corrente no solenoide. Lembra como é a fórmula do campo gerado por um solenóide? É essa aqui!

B = μ 0 n i

Onde n é o número de espiras por unidade de comprimento, dado por:

n = N l

(Se não lembra, dá uma olhada no nosso tópico de Lei de Ampère em Solenóides e Toróides)

Assim, se definirmos o vetor área do solenóide paralelo ao vetor campo magnético, o fluxo do campo magnético através do solenoide vai ser:

ϕ B = A B = A μ 0 n i = A μ 0 N i l

Onde A é a área da seção transversal do solenoide.

Aí a fem induzida vai ser E = - N ∂ ϕ B ∂ t = - N ∂ ∂ t A μ 0 N i l

E = - μ 0 N 2 A l ∂ i ∂ t

Como todo esse cara multiplicando a derivada da corrente é constante, nós definimos ela como L , a chamada autoindutância:

E = - L ∂ i ∂ t

A unidade de medida da indutância é chamada henry H e é definida por:

1   h e n r y = 1 H = 1 T . m 2 A

Então, a nossa autoindutância L pode ser expressa de duas maneiras:

L = N ϕ B i

Ou

L = μ 0 N 2 A l

Solenóides Longos

Toda vez que o problema falar em “solenóide longo”, acaba sendo mais jogo, ao invés de calcularmos a autoindutância, calcularmos a autoindutância por unidade de comprimento, dada por:

L l = μ 0 n 2 A

Onde A é a área transversal do indutor, e n é o número de espiras por unidade de comprimento, dado por:

n = N l

Indutância Mútua

A medida da tendência de um circuito induzir corrente num outro circuito é chamada de indutância mútua. Suponhamos que temos dois solenoides, só que, inicialmente, o circuito 1 não tem corrente:

Sejam:

i 1 e i 2 : As correntes em cada solenóide, com i 1 = 0 ;

N 1 e N 2 : Número de espiras em cada solenóide;

ϕ 1 e ϕ 2 : Fluxo magnético por através de uma volta de cada solenoide;

E 1 e E 2 : Fem em cada solenoide.

Nós vamos ter que, pela Lei de Faraday:

E 1 = - ∂ ϕ circuito 1 ∂ t

Como o fluxo total pelo circuito 1 é N 1 vezes o fluxo por cada volta do fio, temos:

ϕ circuito 1 = N 1 ϕ 1

Substituindo, podemos tirar a constante fora da derivada:

E 1 = - N 1 ∂ ϕ 1 ∂ t

Até aqui nada de muito novo. A novidade vem da seguinte afirmativa: O fluxo no circuito 1 é proporcional à corrente no circuito 2 . Isso ocorre porque o fluxo de campo no circuito 1 é gerado pela corrente que passa no circuito 2.

Ou seja:

N 1 ϕ 1 ∝ i 2

Quando duas coisas são proporcionais, existe uma constante de proporcionalidade que relaciona elas. Essa constante é a indutância mútua M :

N 1 ϕ 1 = M i 2

Dito isso, podemos derivar ambos os lados com respeito ao tempo:

N 1 ∂ ϕ 1 ∂ t = M ∂ i 2 ∂ t

Substituindo a expressão da Lei de Faraday:

E 1 = - M ∂ i 2 ∂ t

Ou seja, a f e m induzida no circuito 1 é diretamente proporcional à variação de corrente no 2 .

Até aqui beleza, a corrente no circuito 2 induziu uma f e m no circuito 1 .

Agora o circuito 1 tem uma nova corrente própria i 1 ≠ 0 e, já que ele tem corrente, vai fazer um campo próprio:

Se ele tem um campo próprio, olha que maravilha: ele vai induzir uma f e m no circuito 2 ! Virou doidera? Não, porque nós somos malandros.

O fio 2 tinha uma fem própria antes E 2 ≠ 0 , e agora ele vai ter essa f e m antiga mais a f e m induzida pelo fio 1 . Mas nós só estamos preocupados em calcular a f e m induzida, e ela pode ser encontrada pelo mesmo método que usamos para achar a do circuito 1 . Sabemos que o fluxo induzido no 2 é proporcional à corrente no 1 :

N 2 ϕ 2 ∝ i 1

E essa constante de proporcionalidade, não por acaso, é a indutância mútua entre os circuitos:

N 2 ϕ 2 = M i 1

Derivando ambos os lados e substituindo a Lei de Faraday para o circuito 2 :

E 2 = - M ∂ i 1 ∂ t

Finalmente, podemos tirar que a definição da indução mútua é:

M = N 1 ϕ 1 i 2 = N 2 ϕ 2 i 1

Quando formos analisar essas equações, temos que ter muito cuidado. Primeiramente, a indutância mútua é uma constante que depende apenas da geometria dos dois circuitos (número de espiras, comprimento, área da seção reta, etc.) e não da corrente ou do campo magnético.

Veja que temos várias maneiras de calcular a indutância mútua, depende só do que foi dado pela questão. Apesar de ser um conceito novo, temos todas as ferramentas para calcular o seu valor.

Tá, agora só mais uma coisinha...

Solenóides Preenchidos com Materiais Magnéticos

Em casos raros, alguns problemas colocam solenóides preenchidos por materiais magnéticos. Assim, é valido tocar no assunto.

No interior de um material magnético, o campo magnético será dado por:

B = 1 + χ m B 0

Onde B 0 é o campo magnético no vácuo e χ m é uma propriedade adimensional chamada suscetibilidade magnética.

Nesse caso, a autoindutância em um indutor preenchido por material magnético será:

L = 1 + χ m L 0

Onde L 0 é a autoindutância no vácuo.

É isso! Bora lá exercitar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-40.

A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras é 8,0   m H . Calcule o fluxo magnético através da bobina quando a corrente é 5,0   m A .

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Passo 1

A indutância L do indutor é definida por:

L = N ϕ B i

Logo, o fluxo magnético será:

ϕ B = i L N

Onde:

i = 5,0   m A → i = 5 × 10 - 3 A

L = 8,0   m H → L = 8 × 10 - 3 H

N = 400   e s p i r a s

Substituindo os valores, teremos:

ϕ B = 5 × 10 - 3 × 8 × 10 - 3 400

ϕ B = 1,0 × 10 - 7   W b

Resposta

ϕ B = 1,0 × 10 - 7   W b

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-44.

Um indutor de 12   H conduz uma corrente de 2,0   A . Qual deve ser a taxa de variação da corrente para que a força eletromotriz no indutor seja 60   V ?

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Passo 1

A f e m auto induzida é dada por:

E = - L ∂ i ∂ t

Logo:

d i d t = - E L

d i d t = - 60 12

d i d t = - 5   A / s

Resposta

d i d t = - 5   A / s

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-41.

Uma bobina circular tem 10,0   c m de raio e 30 espiras compactas. Um campo magnético externo de módulo 2,60   m T é aplicado perpendicularmente ao plano da bobina.

a Se a corrente na bobina é zero, qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras?

b Quando a corrente na bobina é 3,80   A em um certo sentido, o fluxo magnético através da bobina é zero. Qual é a indutância da bobina.

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Passo 1

a Se a corrente na bobina é zero, qual é o fluxo magnético que enlaça as espiras?

O fluxo magnético é definido por:

ϕ B t o t a l = N ϕ B

ϕ B t o t a l = N B A

Onde A = π r 2 .

ϕ B t o t a l = N B π r 2

Onde:

N = 30   e s p i r a s

B = 2,6 × 10 - 3 T

r = 0,1   m

Portanto:

ϕ B t o t a l = 30 π × 2,6 × 10 - 3 × 0,1 2

ϕ B t o t a l = 2,45 × 10 - 3 W b

Passo 2

b Quando a corrente na bobina é 3,80   A em um certo sentido, o fluxo magnético através da bobina é zero. Qual é a indutância da bobina.

A indutância e definida por:

L = N ϕ B i = ϕ B t o t a l i

Substituindo os valores, teremos:

L = 2,45 × 10 - 3 3,8

L = 6,45 × 10 - 4 H

Resposta

a

ϕ B t o t a l = 2,45 × 10 - 3 W b

b

L = 6,45 × 10 - 4 H

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 298-45.

Em um certo instante a corrente e a força eletromotriz auto-induzida em um indutor têm os sentidos indicados na figura abaixo.

a A corrente está aumentando ou diminuindo?

b A força eletromotriz induzida é 17   V e a taxa de variação da corrente é 25   k A / s . Determine a indutância.

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Passo 1

a A corrente está aumentando ou diminuindo?

De acordo com a lei de Lenz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela quer dizer é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

Beleza!

Como a f e m induzida é sempre do contra, quando a corrente está aumentando, a f e m está no sentido contrário (atrapalhando), e quando a corrente está diminuindo, a f e m está no mesmo sentido (ajudando).

Então, como a f e m está no mesmo sentido da corrente, é como se ela estivesse “ajudando” a corrente. Logo, a corrente está diminuindo.

Passo 2

b A força eletromotriz induzida é 17   V e a taxa de variação da corrente é 25   k A / s . Determine a indutância.

Por definição, a indutância será dada por:

E = - L d i d t

L = E d i / d t

Onde:

E = 17   V

d i d t = 25 × 10 3 A / s

Logo:

L = 17 25 × 10 3

L = 6,8 × 10 - 4 H

Resposta

a

A corrente está diminuindo.

b

L = 6,8 × 10 - 4 H

Exercício Resolvido #5

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2012.2 – Múltipla Escolha nº5.

Um solenoide circular ideal, muito longo, tem número de espiras N , raio R e comprimento l . Se alterarmos o raio e o número de espiras de tal solenoide, para o dobro e a metade, respectivamente, mantendo seu comprimento inalterado, o que ocorre com a sua autoindutância? Considere que o solenoide é muito longo (“infinito”): l ≫ R .

  1. Aumenta
  2. Diminui
  3. Depende da corrente que passa no solenoide
  4. Não se altera
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Passo 1

Conforme estudamos no capítulo, a autoindutância só depende da geometria do indutor e nunca da corrente que passa por ele. Conforme demonstramos em exercício de fixação (se você não viu a demonstração, sinta-se livre para decorar o resultado aqui abaixo) temos que a autoindutância Λ de um solenoide é:

Proporcional ao quadrado do número de espiras;

Λ ∝ N 2

Proporcional à área:

Λ ∝ A

E inversamente proporcional ao comprimento:

Λ ∝ 1 l

Passo 2

O que ele quer dizer com o dado do “solenoide infinito” é que quando mudarmos o número de espiras isto não vai alterar o comprimento. Portanto esta última relação qualitativa não vai nos interessar. Das relações qualitativas observadas, podemos escrever a autoindutância como:

Λ = k A N 2

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Ela engloba o comprimento neste caso, pois o enunciado o supôs constante.

Passo 3

No enunciado ele dobra o raio. Como a área de seção reta é um círculo:

r ' = 2 r

A ' = π r ' 2

A ' = 4 π r 2

A ' = 4 A

Passo 4

Ele também pega a metade do número de espiras:

N ' = N 2

Substituindo os novos valores do enunciado:

Λ ' = k A ' N ' 2

Λ ' = k 4 A N 2 2

Λ ' = k A N

Ou seja, a autoindutância nova é igual à antiga.

Λ ' = Λ

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #6

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2014.1 – Múltipla Escolha nº7.

Seja um solenoide longo, formado por um enrolamento de espiras circulares. Considere as seguintes três afirmativas sobre sua autoindutância: (I) ela é proporcional ao quadrado do raio das espiras; (II) ela é proporcional à taxa de variação da corrente no solenoide, e (III) ela é proporcional à corrente que circula no solenoide. Assinale a opção que indica qual(is) dessas afirmativas está(ão) correta(s).

  1. Nenhuma
  2. Apenas a I
  3. Apenas a II
  4. Apenas a III
  5. Apenas a I e a II
  6. Apenas a I e a III
  7. Apenas a II e a III
  8. Todas
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Passo 1

Sabemos que a auto-indutância é proporcional a:

Λ ∝ N 2 A l

Ou seja, sim, é proporcional ao quadrado do raio das espiras pois A = π r 2 .

Passo 2

Não à taxa de variação da corrente. Nada da corrente influi na indutância, ela é uma constante que depende da geometria do elemento de circuito.

E também não é proporcional à corrente que circula, pelo motivo supracitado.

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 300-72.

Dois solenóides fazem parte do circuito de ignição de um automóvel. Quando a corrente em um dos solenóides diminui de 6,0   A para zero em 2,5   m s uma força eletromotriz de 30   k V é induzida no outro solenóide.

Qual é a indutância mútua M dos solenóides?

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Passo 1

A f e m induzida no segundo solenóide é dada por

E 2 = - M ∂ i 1 ∂ t

Logo:

M = E 2 d i 1 / d t

Como a corrente varia linearmente:

d i 1 d t = Δ i 1 Δ t

Logo:

M = E 2 Δ i 1 / Δ t

M = E 2 Δ t Δ i 1

Onde:

E 2 = 30 × 10 3 V

Δ i 1 = 6,0   A

Δ t = 2,5 × 10 - 3 s

Finalmente:

M = 30 × 10 3 × 2,5 × 10 - 3 6

M = 12,5   H

Resposta

M = 12,5   H

Exercício Resolvido #8

UFRJ – Física III – Prova 2 – 2014.2 – Múltipla Escolha nº1.

Considere um solenoide ideal de raio R s o l e uma espira circular de raio R e s p coaxial a ele, e suponha que R e s p > R s o l (ou seja, a espira está fora do solenoide).

Pelo solenoide passa uma corrente não-estacionária I t . Denotando a indutância mútua do sistema por M , as autoindutâncias do solenoide e da espira por L s o l e L e s p , e o campo produzido pelo solenoide em seu exterior por B e x t , qual das afirmações abaixo é verdadeira?

a L e s p = 0 pois B e x t = 0 .

b M depende de I t .

c M = 0 pois B e x t = 0 .

d L s o l depende de I t .

e M depende de R s o l .

f L e s p depende de R s o l .

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Passo 1

Bom, todas as opções trabalham com M , ou L e s p , ou L s o l ... então vamos calcular cada um desses caras, beleza?

  • M

A indutância mútua desse sistema será dada por:

M = N s o l ϕ s o l I e s p = N e s p ϕ e s p I s o l

Como as áreas tanto solenoide, quando da espira, são constantes, os fluxos magnéticos vão depender somente dos campos magnéticos.

Logo:

M = N s o l B s o l π R s o l 2 I e s p = N e s p B e s p π R e s p 2 I s o l

Lembrando que, como o solenoide induz corrente na espira e vice-versa:

B s o l ∝ I e s p

B e s p ∝ I s o l

Se continuarmos as contas, eventualmente as corrente irão sumir da expressão de M . Assim, das opções acima, M vai depender de R s o l .

Logo, a resposta certa é a letra e .

Mas, por via das dúvidas, vamos dar uma olhada nas autoindutâncias, ok?

Passo 2

A autoindutância do solenoide é dada por:

L s o l = N s o l ϕ s o l I s o l

Como a área do solenoide é constante e o campo em seu interior é uniforme, podemos reescrever a expressão acima como:

L s o l = N s o l B s o l π R s o l 2 I s o l

Se lembrarmos que, para a autoindutância, B s o l ∝ I s o l , novamente, se continuarmos as contas vamos ver que a corrente I s o l vai sumir da expressão.

Como I s o l = I t , logo, L s o l não depende de I t .

Passo 3

Seguindo o mesmo raciocínio para a autoindutância da espira, teremos:

L e s p = N e s p B e s p π R e s p 2 I e s p

Logo, L e s p não depende de R s o l .

Resposta

e M depende de R s o l .

Exercício Resolvido #9

UNICAMP – Física III – Prova 3 – 2012.1 – Manhã – Questão nº1.

Dois fios longos e paralelos, cada um de raio a , cujos centros estão separados por uma distância d , são percorridos por corrente iguais i , mas de sentidos opostos, conforme a figura.

Calcule:

  1. O módulo, a direção e o sentido do campo magnético B → , no ponto P , devido aos fios.
  2. O fluxo magnético através de um retângulo formado pelas linhas tracejadas e os dois lados externos dos fios. Considere um comprimento l e despreze o fluxo dentro dos fios.
  3. A indutância L para este par de fios.
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Passo 1

  1. O módulo, a direção e o sentido do campo magnético B → , no ponto P , devido aos fios.
  2. O campo magnético gerado por um fio pode ser calculado facilmente através da lei de Ampère:

    ∮ C   B → ∙ d l → = μ 0 I i n t

    Nesse caso, a nossa curva C é uma circunferência que de raio r , que é a distância entre o fio e o ponto que queremos calcular o campo magnético.

    Assim, o campo magnético é, resumindo a fórmula, igual a:

    B = μ 0 I i n t 2 π r

    Vamos calcular o campo magnético de cada fio, separadamente.

  • Fio da esquerda:
  • Para este fio, a corrente interna será i e ele se encontra a uma distância x do ponto P , logo:

    B e = μ 0 i 2 π x

    Através da regra da mão direita, vemos que o campo magnético gerado por esse fio vai estar entrando na página.

  • Fio da direita:

Nesse fio passa a mesma corrente i , mas ele está a uma distância d - x do ponto P . Portanto:

B d = μ 0 i 2 π d - x

Novamente, pela regra da mão direita, o campo magnético gerado por esse fio estará entrando na página.

Como acabamos de ver, os dois fios geram campos magnéticos que “entram na página” no ponto P . Portanto, o campo magnético resultante será:

B = B e + B d

B = μ 0 i 2 π 1 d - x + 1 x

B = μ 0 i d 2 π x d - x

Onde B → apontando para dentro da página.

Passo 2

  • O fluxo magnético através de um retângulo formado pelas linhas tracejadas e os dois lados externos dos fios. Considere um comprimento l e despreze o fluxo dentro dos fios.
  • Por definição, o fluxo magnético é dado por:

    ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →