Momento Magnético Dipolar

Teoria Completa

Introdução

Dá uma olhada nessa espira aqui, e vamos coloca-la num campo magnético B → = 4 T paralelo ao plano da espira como mostra a figura onde uma corrente i = 2 A passa por ela.

Ao colocarmos a espira imersa nesse campo, a espira começará a girar.

E porquê ela gira?

Na presença de um campo magnético a espira vai sofrer a ação do torque magnético, ele é o responsável por fazer a espira girar e é dado pela seguinte equação:

τ → = μ → × B →

Legal, o campo eu conheço, mas quem é μ → ?

Momento magnético dipolar

Esse momento dipolar magnético é um vetor que representa a intensidade da fonte magnética e está no sentido do vetor área que é perpendicular à área da espira.

Para descobrirmos o sentido e representa-lo precisamos usar a regra da mão direita no sentido da corrente.

Aqui podemos ver que o momento de dipolo magnético sai do plano da espira.

Sem enrolação te digo que momento de dipolo magnético μ → é dado por:

μ → = i A →

Onde i é a corrente elétrica e A → é a área da espira.

Tá, mas como que eu represento esse cara e porquê ele não aparece na espira??

Mas, peraí! Como eu calculo esse A → ?

O A → é o vetor que tem módulo igual à área que a espira delimita, direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.

Módulo de A → :

Para calcular o módulo de A → é só calcular a área da espira:

A = 4 × 6 = 24   c m 2

Direção e sentido de A → :

Como já falamos, o vetor A → tem direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.

No plano o vetor A → fica representado da seguinte forma:

E é basicamente isso que você precisa saber pra ir pra prova tranquilo.

Momento Dipolo Magnético de uma Bobina

Uma bobina é como uma espira, só que enrolada algumas vezes, se liga:

Não tem muito mistério, basta pensar que enrolamos a espira n vezes e então a equação fica:

μ → = n i A →

Torque Magnético em uma Espira

Agora que conhecemos o momento de dipolo magnético podemos calcular o torque τ na espira do exemplo.

A partir do momento que a espira passa a ser atravessada por um campo magnético, a mesma vai experimentar um torque magnético τ → dado por:

τ → = μ → × B →

Como estamos trabalhando com um produto vetorial, também podemos dizer que:

τ = μ . B . sen ⁡ θ = i A B s e n θ

Na nossa espira o campo é paralelo ao plano da espira e portanto o ângulo entre os vetores é θ = 90 ° .   Substituindo a corrente i = 2 A que passa na espira, o campo B = 4 T e a área calculada A = 24 c m ² , temos:

τ = 2 × 24 × 4 × s e n 90 = 192 N . c m

Show? Basicamente o que importa pro torque é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.

O torque vai possuir valor máximo quando θ = 90 ° :

τ = μ . B . sen ⁡ 90 = μ . B

E mínimo quando θ = 0 ° ou θ = 180 °

τ = μ . B . s e n 0 = 0

Energia Potencial Magnética

Na presença de um campo magnético, um dipolo possui uma energia potencial magnética.

Temos que a energia potencial armazenada numa posição da espira com relação ao campo magnético é definida pelo produto escalar:

U = - μ → ∙ B →

Ah! Como estamos trabalhando agora com um produto escalar entre μ → e B → , podemos reescrever a expressão da energia potencial dessa forma:

U = - μ . B . cos ⁡ θ

Assim, a energia potencial é mínima quando θ = 90 ° , uma vez que:

U = - μ . B . cos ⁡ 90 ° = 0

E possui o seu valor máximo quando θ = 180 ° , já que:

U = - μ . B . cos ⁡ 180 ° = μ B

Trabalho Magnético sobre uma Espira

Se um agente externo faz o um dipolo magnético girar de uma orientação inicial θ i para uma orientação final θ f e se o dipolo permanece estacionário antes e depois da mudança de orientação, o trabalho W a realizado pelo campo magnético sobre o dipolo magnético é dado por:

W a = ∆ U = U f - U i

Então se um exercício te der duas situações basta calcular as energias para cada ângulo e fazer as continhas.

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-56.

O módulo de momento dipolar magnético da Terra é 8,00 × 10 22 J / T . Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra. Se o raio da trajetória dessas cargas é 3500   k m , calcule a corrente associada.

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Passo 1

O momento dipolar magnético é dado por:

μ → = I A →

Como as cargas estão circulando o núcleo da Terra, a área compreendida pela trajetória delas é A = π r 2 . Logo:

I = μ π r 2

Onde r = 3500   k m = 3,5 × 10 6 m .

I = 8 × 10 22 π × 3,5 × 10 6 2

I = 2,08 × 10 9   A

Resposta

I = 2,08 × 10 9   A

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-59.

Duas espiras circulares concêntricas, de raios r 1 = 20,0   c m e r 2 = 30,0   c m , estão situadas no plano x y . Ambas são percorridas por uma corrente 7,0   A no sentido horário, conforme a figura abaixo.

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

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Passo 1

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

Nesses casos, o momento dipolar do sistema será a soma de todos os momentos dipolares, logo:

μ R = ∑ i n A n

Como as duas correntes estão no mesmo sentido, os momentos dipolares terão o mesmo sinal, logo:

μ R = i π r 1 2 + i π r 2 2

Onde:

r 1 = 20,0   c m = 0,2   m

r 2 = 30   c m = 0,3   m

i = 7,0   A

Portanto:

μ R = 7 π 0,2 2 + 0,3 2

μ R = 2,86   A . m 2

Passo 2

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

A lógica aqui é a mesma, a diferença é que, como as correntes estão em sentidos contrários, os momentos irão ter sinais diferentes, logo:

μ R = i π r 2 2 - i π r 1 2

Substituindo os valores, teremos:

μ R = 7 π 0,3 2 - 0,2 2

μ R = 1,10   A . m 2

Resposta

a

μ R = 2,86   A . m 2

b

μ R = 1,10   A . m 2

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 230-61.

Uma espira circular com 8,0   c m de raio é percorrida por uma corrente de 0,20   A .

Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar μ → da espira é dado por 0,60   i ^ - 0,80 j ^ . Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por

B → = 0,25   T i ^ + 0,30   T k ^

Determine a o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e b a energia potencial magnética da espira.

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Passo 1

a Determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários);

O torque magnético sobre a espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Vamos começar calculando o momento dipolar magnético, que é dado por:

μ = i A

μ = i π r 2

Onde r = 0,08   m e i = 0,20   A .

μ = 0,2 π × 0,08 2

μ = 4,0 × 10 - 3 A . m 2

Assim, o vetor momento dipolar magnético será dado por:

μ → = μ u ^

Onde u ^ é o vetor unitário na direção e sentido de μ → , logo:

μ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^

Passo 2

Assim, o torque magnético será:

τ → = μ → × B →

τ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^ × 0,25 i ^ + 0,30 k ^

τ → = 4,0 × 10 - 3 - 0,24 i ^ - 0,18 j ^ + 0,2 k ^

τ → = - 9,6 × 10 - 4 i ^ - 7,2 × 10 - 4 j ^ + 8,0 × 10 - 4 k ^ N . m

Passo 3

A energia potencial magnética é dada por:

U = - μ → ∙ B →

U = - μ 0,60   i ^ - 0,80 j ^ ∙ 0,25 i ^ + 0,30 k ^ = - μ 0,60 × 0,25

U = - 0,15 μ

U = - 0,15 × 4,0 × 10 - 3

Finalmente:

U = - 6,0 × 10 - 4 J

Resposta

a

τ → = - 9,6 × 10 - 4 i ^ - 7,2 × 10 - 4 j ^ + 8,0 × 10 - 4 k ^ N . m

b

U = - 6,0 × 10 - 4 J

Exercício Resolvido #4

UFRJ – Prova 2 – 2012.2 – Múltipla escolha nº10.

Uma bússola encontra-se acima de um fio retilíneo, muito longo, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade I . Na sua posição de equilíbrio estável, quais são o sentido do vetor momento de dipolo magnético μ → da bússola e a sua energia potencial U , supondo que esta última é zero quando μ → ⊥ B → f i o .

  1. y ^ e - μ B fio
  2. - y ^ e μ B fio
  3. z ^ e μ B fio
  4. - z ^ e - μ B fio
  5. y ^ e 0
  6. - z ^ e 0
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Passo 1

O sentido do momento de dipolo de um imã é do Sul pro Norte. O torque é dado por:

τ → = μ → × B →

Sabemos que o campo gira em torno do fio. Utilizando a regra da mão direita, coloque o polegar no sentido da corrente que os outros dedos dão o sentido do campo.

Como a bússola está acima, podemos visualizar o campo vendo a figura de lado:

Passo 2

Logo, o sentido do campo é y ^ . O equilíbrio é atingido quando não há torque:

τ → = 0 →

μ → × B → = 0 →

Que é quando o campo e o momento de dipolos são paralelos.

Passo 3

O equilíbrio é estável quando a energia potencial é mínima. A energia potencial tem fórmula:

U = - μ → ∙ B →

Que equivale a:

U = - μ B cos ⁡ θ

Este valor é mínimo para cos ⁡ θ = 1 :

θ = 0

Portanto é quando o μ → e o B → apontam no mesmo sentido, ao invés de sentidos opostos. Por consequência, o sentido de μ → é y ^ e o valor da energia é - μ B , conforme calculado.

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-52.

Um elétron se move em um círculo de raio r = 5,29 × 10 - 11   m com uma velocidade de 2,19 × 10 6   m/s .

Trate a trajetória circular como uma espira de corrente igual à razão entre a carga do elétron e o período do movimento.

Se a trajetória do elétron está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B = 7,10   mT , qual é o maior valor possível do módulo do torque aplicado pelo campo à espira?

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Passo 1

Bom, sabendo que o torque sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

O maior valor possível do módulo do torque vai ocorrer quando μ → e B → forem perpendiculares... já que poderíamos reescrever a fórmula do torque dessa forma:

τ = μ B sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre μ e B .

Assim, se eles forem perpendiculares, θ = 90 ° e sen ⁡ ( 90 ° ) = 1 .

Então vamos usar essa fórmula aqui embaixo pra calcular o maior torque possível.

τ = μ B

Onde μ = I A . Logo:

τ = I A B

Passo 2

Beleza, rapaziada... se o elétron percorre a trajetória circular, podemos considerar a nossa espira como um círculo, assim:

A = π r 2

τ = I π r 2 B

Passo 3

Sobre a corrente, o enunciado já deu essa de bandeja pra a gente quando diz “corrente igual à razão entre a carga do elétron e o período da trajetória”.

I = e T

Pra calcular o período da trajetória, podemos fazer o seguinte:

v = 2 π r T → T = 2 π r v

Assim:

I = e 2 π r v = v e 2 π r

Vamos jogar isso na fórmula do torque e ver no que vai dar.

Passo 4

τ = I π r 2 B

τ = v e 2 π r   π r 2 B

τ = v e r B 2

Onde:

v = 2,19 × 10 6   m/s ;

r = 5,29 × 10 - 11   m ;

e = 1,6 × 10 - 19   C ;

B = 7,10   mT = 7,1 × 10 - 3   T ;

Vambora!

τ = 2,19 × 10 6 × 1,6 × 10 - 19 × 5,29 × 10 - 11 × 7,1 × 10 - 3 2  

τ = 65,8 × 10 - 27   N . m = 6,58 × 10 - 26 N.m  

Resposta

6,5 8 × 10 - 26   N . m

Exercício Resolvido #6

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 230-65.

A bobina da figura conduz uma corrente i = 2,0   A no sentido indicado, é paralela ao plano x z , tem 3,00 espiras, tem uma área de 4,00 × 10 - 3 m 2 e está submetida a um campo magnético uniforme B → = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^   mT .

Determine:

  1. A energia potencial magnética do sistema bobina-campo magnético;
  2. O torque magnético (na notação de vetores unitários) a que está sujeita a bobina;
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Passo 1

  1. A energia potencial magnética do sistema bobina-campo magnético;
  2. A energia potencial magnética é dada por:

    U = - μ → ∙ B →

    Pra esse caso, com uma bobina com N espiras:

    μ → = N I A ( - j ^ )

    Onde:

    N = 3 ;

    I = 2,0   A ;

    A = 0,004   m 2 ;

    Logo:

    μ → = - 3 × 2 × 0,004 j ^

    μ → = - 0,024 j ^   A m 2

    Passo 2

    Agora ficou fácil! ;)

    U = - μ → ∙ B →

    Onde B → = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^   mT = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^ × 10 - 3 T .

    U = - - 0,024 j ^   ∙ 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^ × 10 -3

    U = 7,2 × 10 - 5   J

    U = 72   μJ

    Passo 3

  3. O torque magnético (na notação de vetores unitários) a que está sujeita a bobina;

O torque magnético sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Onde:

μ → = - 0,024 j ^   A m 2 ;

B → = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^   mT = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^ × 10 - 3  T ;

Logo:

τ → = i ^ j ^ k ^ 0 - 0,024 0 2 × 10 - 3 - 3 × 10 - 3 - 4 × 10 - 3

τ → = 96,0 i ^ + 48,0 k ^   μN⋅m

Resposta

  1. - 72,0   μJ ;
  2. 96,0 i ^ + 48,0 k ^   μN⋅m

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 228-47.

A figura abaixo mostra uma bobina retangular de cobre, de 20 espiras, com 10   c m de altura e 5   c m de largura.

A bobina conduz uma corrente de 0,10   A e dispões de uma dobradiça em um dos lados verticais. Ela está montada no plano x y , fazendo um ângulo de θ = 30 ° com a direção de um campo magnético uniforme de módulo 0,50   T .

Em termos dos vetores unitários, qual é o torque que o campo exerce sobre a bobina em relação à dobradiça?

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Passo 1

O torque magnético sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Então precisamos encontrar cada vetor.

O momento dipolo magnético é dado por:

μ → = n I A →

Onde:

n = 20

I = 0,1   A

A = 0,1 × 0,05 → A = 5 × 10 - 3 m 2

Além disso, utilizando a regra da mão direita, a partir da corrente elétrica, vemos que o momento dipolo magnético está no sentido - k ^ .

Logo:

μ → = 20 × 0,1 × 5 × 10 - 3 - k ^

μ → = 0,01 - k ^   A . m 2

Passo 2

O campo magnético B vale 0,50   T e faz um ângulo de 30 ° com o eixo x , logo, o vetor campo magnético será dado por:

B → = B cos ⁡ ( 30 ° ) i ^ + B sen ⁡ 30 ° k ^

B → = 0,5 × 3 2 i ^ + 0,5 × 1 2 k ^

B → = 3 4 i ^ + 1 4 k ^ T

Passo 3

Agora sim, o torque magnético será dado por:

τ → = μ → × B →

τ → = 0,01 - k ^ × 3 4 i ^ + 1 4 k ^