Momento Magnético

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí! A ideia de hoje é entender o que é o momento magnético e o que fazer quando nos depararmos com esse cara em algumas situações.

Antes de qualquer coisa, vou deixar aqui embaixo alguns links que tratam de conhecimentos prévios que você precisa estar dominando antes de darmos sequência, beleza?

Veja também

Momento Dipolo Magnético

O momento magnético dipolar é um vetor que representa a intensidade da fonte magnética.

Para descobrirmos o sentido desse vetor, usamos a regra da mão direita no sentido da corrente. (Seu polegar aponta no sentido do momento dipolo magnético e os demais dedos curvam-se no sentido da corrente)

Regra da mão direita.
Regra da mão direita.

O momento de dipolo magnético para uma espira é dado pela seguinte equação:

👉 é a corrente elétrica.

👉 é a área da espira.

O vetor tem módulo igual à área que a espira delimita, direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.

Sentido do vetor, de acordo com a regra da mão direita.
Sentido do vetor, de acordo com a regra da mão direita.

Momento Dipolo Magnético de uma Bobina

Uma bobina se comporta como uma espira enrolada várias vezes.

Comparação entre espira e bobina.
Comparação entre espira e bobina.

Quer dizer que podemos aproveitar a equação anterior. Com uma pequena modificação, chegamos em uma expressão para uma espira enrolada n vezes:

Torque Magnético em uma Espira

Na presença de um campo magnético, uma espira sofre ação de um torque magnético (), dado por:

Evidenciados o torque magnético e o vetor área.
Evidenciados o torque magnético e o vetor área.

Mas não se assuste com aquele produto vetorial! Ele pode ser substituído:

O que importa mesmo para o torque é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético! Ele possui valor máximo quando :

E mínimo quando ou :

Energia Potencial Magnética

Na presença de um campo magnético, um dipolo possui uma energia potencial magnética (U).

Essa energia é dada pelo produto escalar:

E esse produto escalar também pode ser reescrito da seguinte forma:

Trabalho Magnético sobre uma Espira

Se um agente externo faz o dipolo magnético girar de uma orientação inicial para uma orientação final, e se o dipolo permanece estacionário, o trabalho realizado pelo campo magnético é dado por:

Belezinha? Bora praticar com alguns exercícios resolvidos pra ficarmos craques nisso aí.

Momento Dipolo Magnético de uma Bobina

Torque Magnético em uma Espira

Energia Potencial Magnética

Trabalho Magnético sobre uma Espira

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O módulo de momento dipolar magnético da Terra é 8,00 × 10 22 J / T . Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra. Se o raio da trajetória dessas cargas é 3500   k m , calcule a corrente associada.

Passo 1

O momento dipolar magnético é dado por:

μ → = I A →

Como as cargas estão circulando o núcleo da Terra, a área compreendida pela trajetória delas é A = π r 2 . Logo:

I = μ π r 2

Onde r = 3500   k m = 3,5 × 10 6 m .

I = 8 × 10 22 π × 3,5 × 10 6 2

I = 2,08 × 10 9   A

Resposta

I = 2,08 × 10 9   A

Exercício Resolvido #2

Duas espiras circulares concêntricas, de raios r 1 = 20,0   c m e r 2 = 30,0   c m , estão situadas no plano x y . Ambas são percorridas por uma corrente 7,0   A no sentido horário, conforme a figura abaixo.

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

Passo 1

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

Nesses casos, o momento dipolar do sistema será a soma de todos os momentos dipolares, logo:

μ R = ∑ i n A n

Como as duas correntes estão no mesmo sentido, os momentos dipolares terão o mesmo sinal, logo:

μ R = i π r 1 2 + i π r 2 2

Onde:

r 1 = 20,0   c m = 0,2   m

r 2 = 30   c m = 0,3   m

i = 7,0   A

Portanto:

μ R = 7 π 0,2 2 + 0,3 2

μ R = 2,86   A . m 2

Passo 2

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

A lógica aqui é a mesma, a diferença é que, como as correntes estão em sentidos contrários, os momentos irão ter sinais diferentes, logo:

μ R = i π r 2 2 - i π r 1 2

Substituindo os valores, teremos:

μ R = 7 π 0,3 2 - 0,2 2

μ R = 1,10   A . m 2

Resposta

a

μ R = 2,86   A . m 2

b

μ R = 1,10   A . m 2

Exercício Resolvido #3

Uma espira circular com 8,0   c m de raio é percorrida por uma corrente de 0,20   A .

Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar μ → da espira é dado por 0,60   i ^ - 0,80 j ^ . Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por

B → = 0,25   T i ^ + 0,30   T k ^

Determine a o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e b a energia potencial magnética da espira.

Passo 1

a Determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários);

O torque magnético sobre a espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Vamos começar calculando o momento dipolar magnético, que é dado por:

μ = i A

μ = i π r 2

Onde r = 0,08   m e i = 0,20   A .

μ = 0,2 π × 0,08 2

μ = 4,0 × 10 - 3 A . m 2

Assim, o vetor momento dipolar magnético será dado por:

μ → = μ u ^

Onde u ^ é o vetor unitário na direção e sentido de μ → , logo:

μ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^

Passo 2

Assim, o torque magnético será:

τ → = μ → × B →

τ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^ × 0,25 i ^ + 0,30 k ^

τ → = 4,0 × 10 - 3 - 0,24 i ^ - 0,18 j ^ + 0,2 k ^

τ → = - 9,6 × 10 - 4 i ^ - 7,2 × 10 - 4 j ^ + 8,0 × 10 - 4 k ^ N . m

Passo 3

A energia potencial magnética é dada por:

U = - μ → ∙ B →

U = - μ 0,60   i ^ - 0,80 j ^ ∙ 0,25 i ^ + 0,30 k ^ = - μ 0,60 × 0,25

U = - 0,15 μ

U = - 0,15 × 4,0 × 10 - 3

Finalmente:

U = - 6,0 × 10 - 4 J

Resposta

a

τ → = - 9,6 × 10 - 4 i ^ - 7,2 × 10 - 4 j ^ + 8,0 × 10 - 4 k ^ N . m

b

U = - 6,0 × 10 - 4 J

Exercício Resolvido #4

Uma bússola encontra-se acima de um fio retilíneo, muito longo, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade I . Na sua posição de equilíbrio estável, quais são o sentido do vetor momento de dipolo magnético μ → da bússola e a sua energia potencial U , supondo que esta última é zero quando μ → ⊥ B → f i o .

  1. y ^ e - μ B fio
  2. - y ^ e μ B fio
  3. z ^ e μ B fio
  4. - z ^ e - μ B fio
  5. y ^ e 0
  6. - z ^ e 0

Passo 1

O sentido do momento de dipolo de um imã é do Sul pro Norte. O torque é dado por:

τ → = μ → × B →

Sabemos que o campo gira em torno do fio. Utilizando a regra da mão direita, coloque o polegar no sentido da corrente que os outros dedos dão o sentido do campo.

Como a bússola está acima, podemos visualizar o campo vendo a figura de lado:

Passo 2

Logo, o sentido do campo é y ^ . O equilíbrio é atingido quando não há torque:

τ → = 0 →

μ → × B → = 0 →

Que é quando o campo e o momento de dipolos são paralelos.

Passo 3

O equilíbrio é estável quando a energia potencial é mínima. A energia potencial tem fórmula:

U = - μ → ∙ B →

Que equivale a:

U = - μ B cos ⁡ θ

Este valor é mínimo para cos ⁡ θ = 1 :

θ = 0

Portanto é quando o μ → e o B → apontam no mesmo sentido, ao invés de sentidos opostos. Por consequência, o sentido de μ → é y ^ e o valor da energia é - μ B , conforme calculado.

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #5

Um elétron se move em um círculo de raio r = 5,29 × 10 - 11   m com uma velocidade de 2,19 × 10 6   m/s .

Trate a trajetória circular como uma espira de corrente igual à razão entre a carga do elétron e o período do movimento.

Se a trajetória do elétron está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo B = 7,10   mT , qual é o maior valor possível do módulo do torque aplicado pelo campo à espira?

Passo 1

Bom, sabendo que o torque sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

O maior valor possível do módulo do torque vai ocorrer quando μ → e B → forem perpendiculares... já que poderíamos reescrever a fórmula do torque dessa forma:

τ = μ B sen ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre μ e B .

Assim, se eles forem perpendiculares, θ = 90 ° e sen ⁡ ( 90 ° ) = 1 .

Então vamos usar essa fórmula aqui embaixo pra calcular o maior torque possível.

τ = μ B

Onde μ = I A . Logo:

τ = I A B

Passo 2

Beleza, rapaziada... se o elétron percorre a trajetória circular, podemos considerar a nossa espira como um círculo, assim:

A = π r 2

τ = I π r 2 B

Passo 3

Sobre a corrente, o enunciado já deu essa de bandeja pra a gente quando diz “corrente igual à razão entre a carga do elétron e o período da trajetória”.

I = e T

Pra calcular o período da trajetória, podemos fazer o seguinte:

v = 2 π r T → T = 2 π r v

Assim:

I = e 2 π r v = v e 2 π r

Vamos jogar isso na fórmula do torque e ver no que vai dar.

Passo 4

τ = I π r 2 B

τ = v e 2 π r   π r 2 B

τ = v e r B 2

Onde:

v = 2,19 × 10 6   m/s ;

r = 5,29 × 10 - 11   m ;

e = 1,6 × 10 - 19   C ;

B = 7,10   mT = 7,1 × 10 - 3   T ;

Vambora!

τ = 2,19 × 10 6 × 1,6 × 10 - 19 × 5,29 × 10 - 11 × 7,1 × 10 - 3 2  

τ = 65,8 × 10 - 27   N . m = 6,58 × 10 - 26 N.m  

Resposta

6,5 8 × 10 - 26   N . m

Exercício Resolvido #6

A bobina da figura conduz uma corrente i = 2,0   A no sentido indicado, é paralela ao plano x z , tem 3,00 espiras, tem uma área de 4,00 × 10 - 3 m 2 e está submetida a um campo magnético uniforme B → = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^   mT .

Determine:

  1. A energia potencial magnética do sistema bobina-campo magnético;
  2. O torque magnético (na notação de vetores unitários) a que está sujeita a bobina;

Passo 1

  1. A energia potencial magnética do sistema bobina-campo magnético;
  2. A energia potencial magnética é dada por:

    U = - μ → ∙ B →

    Pra esse caso, com uma bobina com N espiras:

    μ → = N I A ( - j ^ )

    Onde:

    N = 3 ;

    I = 2,0   A ;

    A = 0,004   m 2 ;

    Logo:

    μ → = - 3 × 2 × 0,004 j ^

    μ → = - 0,024 j ^   A m 2

    Passo 2

    Agora ficou fácil! ;)

    U = - μ → ∙ B →

    Onde B → = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^   mT = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^ × 10 - 3 T .

    U = - - 0,024 j ^   ∙ 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^ × 10 -3

    U = 7,2 × 10 - 5   J

    U = 72   μJ

    Passo 3

  3. O torque magnético (na notação de vetores unitários) a que está sujeita a bobina;

O torque magnético sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Onde:

μ → = - 0,024 j ^   A m 2 ;

B → = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^   mT = 2,00 i ^ - 3,00 j ^ - 4,00 k ^ × 10 - 3  T ;

Logo:

τ → = i ^ j ^ k ^ 0 - 0,024 0 2 × 10 - 3 - 3 × 10 - 3 - 4 × 10 - 3

τ → = 96,0 i ^ + 48,0 k ^   μN⋅m

Resposta

  1. - 72,0   μJ ;
  2. 96,0 i ^ + 48,0 k ^   μN⋅m

Exercício Resolvido #7

A figura abaixo mostra uma bobina retangular de cobre, de 20 espiras, com 10   c m de altura e 5   c m de largura.

A bobina conduz uma corrente de 0,10   A e dispões de uma dobradiça em um dos lados verticais. Ela está montada no plano x y , fazendo um ângulo de θ = 30 ° com a direção de um campo magnético uniforme de módulo 0,50   T .

Em termos dos vetores unitários, qual é o torque que o campo exerce sobre a bobina em relação à dobradiça?

Passo 1

O torque magnético sobre uma espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Então precisamos encontrar cada vetor.

O momento dipolo magnético é dado por:

μ → = n I A →

Onde:

n = 20

I = 0,1   A

A = 0,1 × 0,05 → A = 5 × 10 - 3 m 2

Além disso, utilizando a regra da mão direita, a partir da corrente elétrica, vemos que o momento dipolo magnético está no sentido - k ^ .

Logo:

μ → = 20 × 0,1 × 5 × 10 - 3 - k ^

μ → = 0,01 - k ^   A . m 2

Passo 2

O campo magnético B vale 0,50   T e faz um ângulo de 30 ° com o eixo x , logo, o vetor campo magnético será dado por:

B → = B cos ⁡ ( 30 ° ) i ^ + B sen ⁡ 30 ° k ^

B → = 0,5 × 3 2 i ^ + 0,5 × 1 2 k ^

B → = 3 4 i ^ + 1 4 k ^ T

Passo 3

Agora sim, o torque magnético será dado por:

τ → = μ → × B →

τ → = 0,01 - k ^ × 3 4 i ^ + 1 4 k ^

τ → = 0,0043 - j ^ N . m

Resposta

τ → = 0,0043 - j ^ N . m

Exercício Resolvido #8

Um fio condutor, curvado na forma de um semicírculo de raio R , forma um circuito fechado e é percorrido por uma corrente I . O circuito está no plano x y e um campo magnético uniforme B → está aplicado paralelamente ao eixo y , com é visto na figura.

a ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte retilínea do condutor.

b ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte curva do condutor.

c ) Determine o vetor torque exercido por B → sobre o circuito.

Passo 1

a ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte retilínea do condutor.

Por definição, a força magnética sobre uma espira é dada por:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Onde d l → está sempre na mesma direção e sentido da corrente.

No caso de um condutor retilíneo, podemos dar uma simplificada nesse cara que, agora, terá essa cara:

F → = I L → × B →

Onde, novamente, L → tem a direção e sentido da corrente.

Passo 2

Nesse problema, olhando a figura, podemos concluir que:

L → = 2 R i →

B → = B j →

Portanto:

F → r e t = I 2 R i → × B j →

F → r e t = 2 I R B i → × j →

F → r e t = 2 I R B k →

Passo 3

b ) Determine a força magnética total (vetor) sobre a parte curva do condutor.

Aqui, como se trata se um condutor curvado, vamos usar essa expressão para a força magnética:

F → = ∫ corpo   I   d l → × B →

Beleza, vamos dar uma olhada no vetor d l → nesse caso:

Daqui podemos decompor o vetor d l → em componentes nas direções x e y .

d l → = - R sen ⁡ θ d θ i → + R cos ⁡ θ d θ j →

0 ≤ θ ≤ π

Substituindo isso na expressão de F → , teremos:

F → c u r v a = ∫ 0 π I - R sen ⁡ θ d θ i → + R cos ⁡ θ d θ j → × B j →

Agora é só organizar esse cara e fazer as contas:

F → c u r v a = - ∫ 0 π I R B sen ⁡ θ d θ   k →

F → c u r v a = - I R B ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ   k →

F → c u r v a = I R B cos ⁡ θ 0 π k →

F → c u r v a = - 2 I R B k →

Passo 4

c ) Determine o vetor torque exercido por B → sobre o circuito.

Por definição, o torque sobre uma espira é dada por:

τ → = μ → × B →

Onde μ → é o momento dipolar elétrico, definidor por:

μ → = I A →

Onde A → é o vetor cujo módulo é igual à área que do circuito, direção perpendicular ao plano do circuito e sentido dado pela regra da mão direita.

Como a corrente flui no sentido anti-horário, pela regra da mão direita, teremos:

A → = π R 2 2 k →

Logo:

μ → = I π R 2 2 k →

E, finalmente, o torque será dado por:

τ → = I π R 2 2 k → × B j →

τ → = I B π R 2 2 k →   × j →

τ → = - I B π R 2 2 i →

Resposta

a )

F → r e t = 2 I R B k →

b )

F → c u r v a = - 2 I R B k →

c )

τ → = - I B π R 2 2 i →

Exercícios de Livros Relacionados

Uma esfera uniforme, sólida, uniformemente carregada, de raio R , tem uma densidade volumétrica de carga ρ . A esfera gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro com rapidez angular ω . Determi
Uma bobina circular de 160 espiras tem um raio de 1,90 cm. (a) Calcule a corrente que resulta em um momento dipolar magnético de módulo 2,30 A · m 2 . (b) Determine o valor máximo do torque a que a bo
Uma espira circular com 8,0 cm de raio é percorrida por uma corrente de 0,20 A . Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar μ → da espira, é dado por 0,60 i ^ – 0,80 j ^ . (Esse vet
Na Fig. 28-50a, duas espiras concêntricas, situadas no mesmo plano, são percorridas por correntes em sentidos contrários. A corrente i 1 na bobina 1 é fixa e a corrente i 2 na bobina 2 é variável. A F
A bobina da Fig. 28-49 conduz uma corrente i = 2,00 A no sentido indicado, é paralela ao plano x z , possui 3,00 espiras, tem uma área de 4,00 × 10 - 3 m 2 e está submetida a um campo magnético unifor