Teoria Completa
Introdução
Dá uma olhada nessa espira aqui, e vamos coloca-la num campo magnético paralelo ao plano da espira como mostra a figura onde uma corrente passa por ela.
Ao colocarmos a espira imersa nesse campo, a espira começará a girar.
E porquê ela gira?
Na presença de um campo magnético a espira vai sofrer a ação do torque magnético, ele é o responsável por fazer a espira girar e é dado pela seguinte equação:
Legal, o campo eu conheço, mas quem é
Momento magnético dipolar
Esse momento dipolar magnético é um vetor que representa a intensidade da fonte magnética e está no sentido do vetor área que é perpendicular à área da espira.
Para descobrirmos o sentido e representa-lo precisamos usar a regra da mão direita no sentido da corrente.
Aqui podemos ver que o momento de dipolo magnético sai do plano da espira.
Sem enrolação te digo que momento de dipolo magnético é dado por:
Onde é a corrente elétrica e é a área da espira.
Tá, mas como que eu represento esse cara e porquê ele não aparece na espira??
Mas, peraí! Como eu calculo esse ?
O é o vetor que tem módulo igual à área que a espira delimita, direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.
Módulo de :
Para calcular o módulo de é só calcular a área da espira:
Direção e sentido de :
Como já falamos, o vetor tem direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.
No plano o vetor fica representado da seguinte forma:
E é basicamente isso que você precisa saber pra ir pra prova tranquilo.
Momento Dipolo Magnético de uma Bobina
Uma bobina é como uma espira, só que enrolada algumas vezes, se liga:
Não tem muito mistério, basta pensar que enrolamos a espira vezes e então a equação fica:
Torque Magnético em uma Espira
Agora que conhecemos o momento de dipolo magnético podemos calcular o torque na espira do exemplo.
A partir do momento que a espira passa a ser atravessada por um campo magnético, a mesma vai experimentar um torque magnético dado por:
Como estamos trabalhando com um produto vetorial, também podemos dizer que:
Na nossa espira o campo é paralelo ao plano da espira e portanto o ângulo entre os vetores é Substituindo a corrente que passa na espira, o campo e a área calculada , temos:
Show? Basicamente o que importa pro torque é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.
O torque vai possuir valor máximo quando :
E mínimo quando ou
Energia Potencial Magnética
Na presença de um campo magnético, um dipolo possui uma energia potencial magnética.
Temos que a energia potencial armazenada numa posição da espira com relação ao campo magnético é definida pelo produto escalar:
Ah! Como estamos trabalhando agora com um produto escalar entre e , podemos reescrever a expressão da energia potencial dessa forma:
Assim, a energia potencial é mínima quando , uma vez que:
E possui o seu valor máximo quando , já que:
Trabalho Magnético sobre uma Espira
Se um agente externo faz o um dipolo magnético girar de uma orientação inicial para uma orientação final e se o dipolo permanece estacionário antes e depois da mudança de orientação, o trabalho realizado pelo campo magnético sobre o dipolo magnético é dado por:
Então se um exercício te der duas situações basta calcular as energias para cada ângulo e fazer as continhas.
Exercício Resolvido #1
O módulo de momento dipolar magnético da Terra é . Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra. Se o raio da trajetória dessas cargas é , calcule a corrente associada.
Passo 1
O momento dipolar magnético é dado por:
Como as cargas estão circulando o núcleo da Terra, a área compreendida pela trajetória delas é . Logo:
Onde .
Resposta
Exercício Resolvido #2
Duas espiras circulares concêntricas, de raios e , estão situadas no plano . Ambas são percorridas por uma corrente no sentido horário, conforme a figura abaixo.
Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.
Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.
Passo 1
Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.
Nesses casos, o momento dipolar do sistema será a soma de todos os momentos dipolares, logo:
Como as duas correntes estão no mesmo sentido, os momentos dipolares terão o mesmo sinal, logo:
Onde:
Portanto:
Passo 2
Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.
A lógica aqui é a mesma, a diferença é que, como as correntes estão em sentidos contrários, os momentos irão ter sinais diferentes, logo:
Substituindo os valores, teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma espira circular com de raio é percorrida por uma corrente de .
Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar da espira é dado por . Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por
Determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e a energia potencial magnética da espira.
Passo 1
Determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários);
O torque magnético sobre a espira é dado por:
Vamos começar calculando o momento dipolar magnético, que é dado por:
Onde e .
Assim, o vetor momento dipolar magnético será dado por:
Onde é o vetor unitário na direção e sentido de , logo:
Passo 2
Assim, o torque magnético será:
Passo 3
A energia potencial magnética é dada por:
Finalmente:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma bússola encontra-se acima de um fio retilíneo, muito longo, percorrido por uma corrente elétrica estacionária de intensidade . Na sua posição de equilíbrio estável, quais são o sentido do vetor momento de dipolo magnético da bússola e a sua energia potencial , supondo que esta última é zero quando .
- e
- e
- e
- e
- e
- e
Passo 1
O sentido do momento de dipolo de um imã é do Sul pro Norte. O torque é dado por:
Sabemos que o campo gira em torno do fio. Utilizando a regra da mão direita, coloque o polegar no sentido da corrente que os outros dedos dão o sentido do campo.
Como a bússola está acima, podemos visualizar o campo vendo a figura de lado:
Passo 2
Logo, o sentido do campo é . O equilíbrio é atingido quando não há torque:
Que é quando o campo e o momento de dipolos são paralelos.
Passo 3
O equilíbrio é estável quando a energia potencial é mínima. A energia potencial tem fórmula:
Que equivale a:
Este valor é mínimo para :
Portanto é quando o e o apontam no mesmo sentido, ao invés de sentidos opostos. Por consequência, o sentido de é e o valor da energia é , conforme calculado.
Resposta
Letra a
Exercício Resolvido #5
Um elétron se move em um círculo de raio com uma velocidade de .
Trate a trajetória circular como uma espira de corrente igual à razão entre a carga do elétron e o período do movimento.
Se a trajetória do elétron está em uma região onde existe um campo magnético uniforme de módulo , qual é o maior valor possível do módulo do torque aplicado pelo campo à espira?
Passo 1
Bom, sabendo que o torque sobre uma espira é dado por:
O maior valor possível do módulo do torque vai ocorrer quando e forem perpendiculares... já que poderíamos reescrever a fórmula do torque dessa forma:
Onde é o ângulo entre e .
Assim, se eles forem perpendiculares, e .
Então vamos usar essa fórmula aqui embaixo pra calcular o maior torque possível.
Onde . Logo:
Passo 2
Beleza, rapaziada... se o elétron percorre a trajetória circular, podemos considerar a nossa espira como um círculo, assim:
Passo 3
Sobre a corrente, o enunciado já deu essa de bandeja pra a gente quando diz “corrente igual à razão entre a carga do elétron e o período da trajetória”.
Pra calcular o período da trajetória, podemos fazer o seguinte:
Assim:
Vamos jogar isso na fórmula do torque e ver no que vai dar.
Passo 4
Onde:
;
;
;
;
Vambora!
Resposta
Exercício Resolvido #6
A bobina da figura conduz uma corrente no sentido indicado, é paralela ao plano , tem espiras, tem uma área de e está submetida a um campo magnético uniforme .
Determine:
- A energia potencial magnética do sistema bobina-campo magnético;
- O torque magnético (na notação de vetores unitários) a que está sujeita a bobina;
Passo 1
- A energia potencial magnética do sistema bobina-campo magnético;
- O torque magnético (na notação de vetores unitários) a que está sujeita a bobina;
A energia potencial magnética é dada por:
Pra esse caso, com uma bobina com espiras:
Onde:
;
;
;
Logo:
Passo 2
Agora ficou fácil! ;)
Onde .
Passo 3
O torque magnético sobre uma espira é dado por:
Onde:
;
;
Logo:
Resposta
- ;
Exercício Resolvido #7
A figura abaixo mostra uma bobina retangular de cobre, de 20 espiras, com de altura e de largura.
A bobina conduz uma corrente de e dispões de uma dobradiça em um dos lados verticais. Ela está montada no plano , fazendo um ângulo de com a direção de um campo magnético uniforme de módulo .
Em termos dos vetores unitários, qual é o torque que o campo exerce sobre a bobina em relação à dobradiça?
Passo 1
O torque magnético sobre uma espira é dado por:
Então precisamos encontrar cada vetor.
O momento dipolo magnético é dado por:
Onde:
Além disso, utilizando a regra da mão direita, a partir da corrente elétrica, vemos que o momento dipolo magnético está no sentido .
Logo:
Passo 2
O campo magnético vale e faz um ângulo de com o eixo , logo, o vetor campo magnético será dado por:
Passo 3
Agora sim, o torque magnético será dado por: