Momento Magnético Dipolar

Teoria Completa

Introdução

Dá uma olhada nessa espira aqui, e vamos coloca-la num campo magnético B → = 4 T paralelo ao plano da espira como mostra a figura onde uma corrente i = 2 A passa por ela.

Ao colocarmos a espira imersa nesse campo, a espira começará a girar.

E porquê ela gira?

Na presença de um campo magnético a espira vai sofrer a ação do torque magnético, ele é o responsável por fazer a espira girar e é dado pela seguinte equação:

τ → = μ → × B →

Legal, o campo eu conheço, mas quem é μ → ?

Momento magnético dipolar

Esse momento dipolar magnético é um vetor que representa a intensidade da fonte magnética e está no sentido do vetor área que é perpendicular à área da espira.

Para descobrirmos o sentido e representa-lo precisamos usar a regra da mão direita no sentido da corrente.

Aqui podemos ver que o momento de dipolo magnético sai do plano da espira.

Sem enrolação te digo que momento de dipolo magnético μ → é dado por:

μ → = i A →

Onde i é a corrente elétrica e A → é a área da espira.

Tá, mas como que eu represento esse cara e porquê ele não aparece na espira??

Mas, peraí! Como eu calculo esse A → ?

O A → é o vetor que tem módulo igual à área que a espira delimita, direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.

Módulo de A → :

Para calcular o módulo de A → é só calcular a área da espira:

A = 4 × 6 = 24   c m 2

Direção e sentido de A → :

Como já falamos, o vetor A → tem direção perpendicular ao plano da espira e sentido dado pela regra da mão direita.

No plano o vetor A → fica representado da seguinte forma:

E é basicamente isso que você precisa saber pra ir pra prova tranquilo.

Momento Dipolo Magnético de uma Bobina

Uma bobina é como uma espira, só que enrolada algumas vezes, se liga:

Não tem muito mistério, basta pensar que enrolamos a espira n vezes e então a equação fica:

μ → = n i A →

Torque Magnético em uma Espira

Agora que conhecemos o momento de dipolo magnético podemos calcular o torque τ na espira do exemplo.

A partir do momento que a espira passa a ser atravessada por um campo magnético, a mesma vai experimentar um torque magnético τ → dado por:

τ → = μ → × B →

Como estamos trabalhando com um produto vetorial, também podemos dizer que:

τ = μ . B . sen ⁡ θ = i A B s e n θ

Na nossa espira o campo é paralelo ao plano da espira e portanto o ângulo entre os vetores é θ = 90 ° .   Substituindo a corrente i = 2 A que passa na espira, o campo B = 4 T e a área calculada A = 24 c m ² , temos:

τ = 2 × 24 × 4 × s e n 90 = 192 N . c m

Show? Basicamente o que importa pro torque é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.

O torque vai possuir valor máximo quando θ = 90 ° :

τ = μ . B . sen ⁡ 90 = μ . B

E mínimo quando θ = 0 ° ou θ = 180 °

τ = μ . B . s e n 0 = 0

Energia Potencial Magnética

Na presença de um campo magnético, um dipolo possui uma energia potencial magnética.

Temos que a energia potencial armazenada numa posição da espira com relação ao campo magnético é definida pelo produto escalar:

U = - μ → ∙ B →

Ah! Como estamos trabalhando agora com um produto escalar entre μ → e B → , podemos reescrever a expressão da energia potencial dessa forma:

U = - μ . B . cos ⁡ θ

Assim, a energia potencial é mínima quando θ = 90 ° , uma vez que:

U = - μ . B . cos ⁡ 90 ° = 0

E possui o seu valor máximo quando θ = 180 ° , já que:

U = - μ . B . cos ⁡ 180 ° = μ B

Trabalho Magnético sobre uma Espira

Se um agente externo faz o um dipolo magnético girar de uma orientação inicial θ i para uma orientação final θ f e se o dipolo permanece estacionário antes e depois da mudança de orientação, o trabalho W a realizado pelo campo magnético sobre o dipolo magnético é dado por:

W a = ∆ U = U f - U i

Então se um exercício te der duas situações basta calcular as energias para cada ângulo e fazer as continhas.

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-56.

O módulo de momento dipolar magnético da Terra é 8,00 × 10 22 J / T . Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra. Se o raio da trajetória dessas cargas é 3500   k m , calcule a corrente associada.

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Passo 1

O momento dipolar magnético é dado por:

μ → = I A →

Como as cargas estão circulando o núcleo da Terra, a área compreendida pela trajetória delas é A = π r 2 . Logo:

I = μ π r 2

Onde r = 3500   k m = 3,5 × 10 6 m .

I = 8 × 10 22 π × 3,5 × 10 6 2

I = 2,08 × 10 9   A

Resposta

I = 2,08 × 10 9   A

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-59.

Duas espiras circulares concêntricas, de raios r 1 = 20,0   c m e r 2 = 30,0   c m , estão situadas no plano x y . Ambas são percorridas por uma corrente 7,0   A no sentido horário, conforme a figura abaixo.

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

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Passo 1

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

Nesses casos, o momento dipolar do sistema será a soma de todos os momentos dipolares, logo:

μ R = ∑ i n A n

Como as duas correntes estão no mesmo sentido, os momentos dipolares terão o mesmo sinal, logo:

μ R = i π r 1 2 + i π r 2 2

Onde:

r 1 = 20,0   c m = 0,2   m

r 2 = 30   c m = 0,3   m

i = 7,0   A

Portanto:

μ R = 7 π 0,2 2 + 0,3 2

μ R = 2,86   A . m 2

Passo 2

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

A lógica aqui é a mesma, a diferença é que, como as correntes estão em sentidos contrários, os momentos irão ter sinais diferentes, logo:

μ R = i π r 2 2 - i π r 1 2

Substituindo os valores, teremos:

μ R = 7 π 0,3 2 - 0,2 2

μ R = 1,10   A . m 2

Resposta

a

μ R = 2,86   A . m 2

b

μ R = 1,10   A . m 2

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 230-61.

Uma espira circular com 8,0   c m de raio é percorrida por uma corrente de 0,20   A .

Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar μ → da espira é dado por 0,60   i ^ - 0,80 j ^ . Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por

B → = 0,25   T i ^ + 0,30   T k ^

Determine a o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e b a energia potencial magnética da espira.

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Passo 1

a Determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários);

O torque magnético sobre a espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Vamos começar calculando o momento dipolar magnético, que é dado por:

μ = i A

μ = i π r 2

Onde r = 0,08   m e i = 0,20   A .

μ = 0,2 π × 0,08 2

μ = 4,0 × 10 - 3 A . m 2

Assim, o vetor momento dipolar magnético será dado por:

μ → = μ u ^

Onde u ^ é o vetor unitário na direção e sentido de μ → , logo:

μ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^

Passo 2

Assim, o torque magnético será:

τ → = μ → × B →

τ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^ × 0,25 i ^ + 0,30 k ^

τ → = 4,0 × 10 - 3 - 0,24 i ^ - 0,18 j ^ + 0,2 k ^

τ → = - 9,6 × 10 - 4 i ^ - 7,2 × 10 - 4 j ^ + 8,0 × 10 - 4 k ^ N . m