Momento Magnético Dipolar

Teoria Completa

Aqui vamos definir alguns conceitos

Introdução

Imagina que temos um circuito fechado plano passando uma corrente i , tal como esse aqui embaixo:

Então, o momento de dipolo magnético μ → referente a esse circuito é dado por:

μ → = i A →

Momento Dipolo Magnético de uma Bobina

Não tem muito mistério, basta saber que, em uma bobina com n enrolamentos, o momento dipolo magnético μ → é dado por:

μ → = n I A →

Mas, peraí! Como eu calculo esse A → ?

O A → é o vetor que tem módulo igual à área que o circuito delimita, direção perpendicular ao plano do circuito e sentido dado pela regra da mão direita.

Eu sei, ficou meio confuso, né? Vamos por partes.

Módulo de A → :

Digamos que o circuito tenha as seguintes dimensões:

Logo, o módulo de A → é dado por:

A = 4 × 6 = 24   c m 2

Direção e sentido de A → :

Como já falamos, o vetor A → tem direção perpendicular ao plano do circuito e sentido dado pela regra da mão direita.

Pera, como assim pela regra da mão direita? Como achamos o sentido?

Calma, meu amigo, vou te mostrar direitinho.

Para achar o sentido do vetor área, você tem que saber o sentido da corrente. Uma vez que você tenha ele, basta você enrolar os seus dedos no sentido da corrente que o seu polegar vai dar o sentido do vetor área.

Dá uma praticada:

Pra quem ainda não está acostumado com essa notação: a figura da esquerda tem o vetor área apontando de dentro da tela para fora dela (furando a sua testa).

Já o da direita tem o sentido contrário (entrando na tela do computador).

E é basicamente isso que você precisa saber pra ir pra prova tranquilo.

Ah, mais uma coisa! Existe um caso particular em que o momento de dipolo tem uma orientação que você tem que decorar, que é o caso do imã permanente.

Nesse caso, o momento de dipolo tem sentido do polo Sul para o polo Norte:

Torque Magnético em uma Espira

Vamos dar uma olhada em uma espira de área A percorrida por uma corrente I .

A partir do momento que a espira passa a ser atravessada por um campo magnético, a mesma vai experimentar um torque magnético τ → dado por:

τ → = μ → × B →

Onde μ → é o momento dipolo magnético, dado por:

μ → = n I A →

Essa fórmula do torque magnético lembra bastante o toque elétrico em um dipolo elétrico, que era dado por:

τ → = p → × E →

A espira se comporta exatamente como um imã em forma de barra, possuindo um dipolo magnético.

Obs.: O torque magnético não depende do formato da espira, depende apenas da sua área.

Além disso, como estamos trabalhando com um produto vetorial, também podemos dizer que:

τ = μ . B . sen ⁡ θ

Show? Basicamente o que importa pro torque é o ângulo entre o vetor área e o campo magnético.

Por conta do produto vetorial, o vetor torque magnético τ → será perpendicular aos vetores momento de dipolo magnético μ → e campo magnéitico B → , como mostra o seguinte exemplo.

Aqui, a espira está no plano da página, conduzindo uma corrente elétrica i no sentido anti-horário, e o vetor campo magnético externo B → está apontando para a direita.

Pela regra da mão direita, o vetor torque magnético τ → estará apontando para cima. Sendo assim, a espira irá girar em torno do eixo vertical, onde o seu lado esquerdo vai tentar sair do plano da página, enquanto o lado direito vai tentar entrar no plano da página.

Energia Potencial Magnético

Na presença de um campo magnético, um dipolo possui uma energia potencial magnética.

A energia potencial de um dipolo magnético é parecida com a energia potencial de um dipolo elétrico, que era dada por:

U = - p → ∙ E →

Continuando, temos que a energia potencial armazenada numa posição da espira com relação ao campo magnético é definida por:

U = - μ → ∙ B →

Onde μ → é o momento dipolo magnético, dado por:

μ → = n I A →

É realmente muito parecido com o caso do dipolo elétrico, só que o vetor de momento é normal ao plano da espira, ao passo que no dipolo elétrico ele era alinhado ao eixo dele.

Ah! Como estamos trabalhando agora com um produto escalar entre μ → e B → , podemos reescrever a expressão da energia potencial dessa forma:

U = - μ . B . cos ⁡ θ

Assim, a energia potencial é mínima quando θ = 0 ° , uma vez que:

U = - μ . B . cos ⁡ 0 °

U = - μ . B

E possui o seu valor máximo quando θ = 180 ° , já que:

U = - μ . B . cos ⁡ 180 °

U = μ . B

Trabalho Magnético sobre uma Espira

Se um agente externo faz o um dipolo magnético girar de uma orientação inicial θ i para uma orientação final θ f e se o dipolo permanece estacionário antes e depois da mudança de orientação, o trabalho W a realizado pelo campo magnético sobre o dipolo magnético é dado por:

W a = ∆ U = U f - U i

É isso, galera! Vamo que vamo!

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-56.

O módulo de momento dipolar magnético da Terra é 8,00 × 10 22 J / T . Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra. Se o raio da trajetória dessas cargas é 3500   k m , calcule a corrente associada.

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Passo 1

O momento dipolar magnético é dado por:

μ → = I A →

Como as cargas estão circulando o núcleo da Terra, a área compreendida pela trajetória delas é A = π r 2 . Logo:

I = μ π r 2

Onde r = 3500   k m = 3,5 × 10 6 m .

I = 8 × 10 22 π × 3,5 × 10 6 2

I = 2,08 × 10 9   A

Resposta

I = 2,08 × 10 9   A

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 229-59.

Duas espiras circulares concêntricas, de raios r 1 = 20,0   c m e r 2 = 30,0   c m , estão situadas no plano x y . Ambas são percorridas por uma corrente 7,0   A no sentido horário, conforme a figura abaixo.

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

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Passo 1

a Determine o módulo do momento dipolar magnético do sistema.

Nesses casos, o momento dipolar do sistema será a soma de todos os momentos dipolares, logo:

μ R = ∑ i n A n

Como as duas correntes estão no mesmo sentido, os momentos dipolares terão o mesmo sinal, logo:

μ R = i π r 1 2 + i π r 2 2

Onde:

r 1 = 20,0   c m = 0,2   m

r 2 = 30   c m = 0,3   m

i = 7,0   A

Portanto:

μ R = 7 π 0,2 2 + 0,3 2

μ R = 2,86   A . m 2

Passo 2

b Repita o cálculo supondo que a corrente da espira menor mudou de sentido.

A lógica aqui é a mesma, a diferença é que, como as correntes estão em sentidos contrários, os momentos irão ter sinais diferentes, logo:

μ R = i π r 2 2 - i π r 1 2

Substituindo os valores, teremos:

μ R = 7 π 0,3 2 - 0,2 2

μ R = 1,10   A . m 2

Resposta

a

μ R = 2,86   A . m 2

b

μ R = 1,10   A . m 2

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 230-61.

Uma espira circular com 8,0   c m de raio é percorrida por uma corrente de 0,20   A .

Um vetor de comprimento unitário, paralelo ao momento dipolar μ → da espira é dado por 0,60   i ^ - 0,80 j ^ . Se a espira é submetida a um campo magnético uniforme dado por

B → = 0,25   T i ^ + 0,30   T k ^

Determine a o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários) e b a energia potencial magnética da espira.

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Passo 1

a Determine o torque sobre a espira (em termos dos vetores unitários);

O torque magnético sobre a espira é dado por:

τ → = μ → × B →

Vamos começar calculando o momento dipolar magnético, que é dado por:

μ = i A

μ = i π r 2

Onde r = 0,08   m e i = 0,20   A .

μ = 0,2 π × 0,08 2

μ = 4,0 × 10 - 3 A . m 2

Assim, o vetor momento dipolar magnético será dado por:

μ → = μ u ^

Onde u ^ é o vetor unitário na direção e sentido de μ → , logo:

μ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^

Passo 2

Assim, o torque magnético será:

τ → = μ → × B →

τ → = 4,0 × 10 - 3 0,60   i ^ - 0,80 j ^ × 0,25 i ^ + 0,30 k ^

τ → = 4,0 × 10 - 3 - 0,24 i ^ - 0,18 j ^ + 0,2 k ^