Indução, Energia e Potência

Teoria Completa

De acordo com a Lei de Lenz, quando um imã é aproximado ou afastado de uma espira, uma força magnética “do contra” vai tentar resistir ao movimento.

Então, se quisermos que esse movimento continue sendo executado, teremos que realizar um trabalho, faz sentido?

Da mesma forma, quando um imã é aproximado ou afastado de uma espira, vai surgir nessa espira uma corrente induzida. Como a espira possui resistência elétrica, acaba sendo produzida uma energia térmica devido ao movimento (quando a corrente percorre a espira, energia é dissipada na resistência da mesma), certo?

A treta aqui é que a energia transferida ao sistema espira + imã é transformada na energia térmica dissipada na espira... as duas energias serão iguais. Logo, quanto mais energia for transferida ao sistema, maior será a energia térmica dissipada.

Da mesma forma, a potência transferida ao sistema pela força, deve ser igual à potência elétrica dissipada na resistência.

Ok, vamos colocar isso em prática em uma situação bem comum de aparecer que é de uma espira com velocidade constante.

Então vamos calcular uma potência de cada vez, ok?

Potência Transferida ao Sistema

Para que a espira se mova com velocidade constante, o somatório de forças na espira deve ser nulo.

∑ F → = 0

F → + F 1 → + F 2 → + F 3 → = 0

De acordo com a imagem, podemos ver que F 2 → = - F 3 → , portanto:

F → + F 1 → = 0

F → = - F 1 →

F → = - F 1 →

F = F 1

A força F 1 → é a força magnética aplicada à parte retilínea vertical da espira:

F → 1 = i l → × B →

Como l → e B → são perpendiculares:

F 1 = F = i l B

Para esse tipo de problema, enquanto a espira está entrando na região com campo magnético, a f e m induzida é dada por:

E = B l v

Se você boiou agora, dê uma olhada rápida no capítulo “Espiras de área fixa se deslocando em relação a um campo magnético”.

Continuando, a corrente induzida será:

i = E R

i = B l v R

Onde R é a resistência elétrica da espira.

A força aplicada à espira será:

F = i l B

F = B 2 l 2 v R

Finalmente, a potência transferida ao sistema, será:

P = F v

P = B 2 l 2 v 2 R

Potência Elétrica Dissipada

A potência dissipada na resistência da espira é dada por:

P = i 2 R

Como já vimos, a corrente induzida nesse tipo de situação é:

i = B l v R

Jogando a expressão da corrente na fórmula da potência, teremos:

P = B 2 l 2 v 2 R

Isso demonstra exatamente o que eu te disse no início do capítulo, a potência transferida ao sistema pela força, deve ser igual à potência elétrica dissipada na resistência.

E essa potência vale:

P = B 2 l 2 v 2 R ¯

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 296-29.

Se 50,0   c m de um fio de cobre com 1,0   m m de diâmetro são usados para formar uma espira circular, que é mantida perpendicular a um campo magnético uniforme que está aumentando a uma taxa constante de 10,0   m T / s , qual é a taxa com a qual é gerada energia térmica na espira?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando o enunciado fala coisas do tipo “taxa de energia térmica gerada na espira”, na verdade ele quer dizer potência dissipada na espira.

Essa potência é dada por:

P = E 2 R

Vamos começar calculando a f e m induzida, beleza?

Passo 2

Pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Como a área é constante, e o campo magnético é uniforme, podemos reescrever esse cara como:

E = - A ∂ B ∂ t

Só precisamos saber calcular essa área direito... o comprimento do fio e o diâmetro dele. A área da espira é dada por:

A e s p = π r e s p 2  

O raio da espira está relacionado com o comprimento do fio L através da relação:

L = 2 π r e s p

r e s p = L 2 π

Logo, a área será dada por:

A e s p = π L 2 π 2

A e s p = L 2 4 π

Assim, a f e m induzida será:

E = L 2 4 π ∂ B ∂ t

Passo 3

E = 0,5 2 × 10 - 2 4 π

A resistência, por sua vez, será dada por:

R = ρ L A f i o

Onde:

A f i o = π d f i o 2 4

Logo:

R = 4 ρ L π d f i o 2

Passo 4

Agora sim, a potência será dada por:

P = E 2 R

P = L 2 4 π ∂ B ∂ t 2 4 ρ L π d f i o 2

Eita! Vamos dar uma organizada nisso:

P = d f i o 2 L 3 64 π ρ   ∂ B ∂ t 2

Onde:

d f i o = 10 - 3 m

L = 0,5   m

ρ c o b r e = 1,69 × 10 - 8   Ω . m

∂ B ∂ t = 10 - 2   T / s

Logo:

P = 10 - 3 2 0,5 3 64 π × 1,69 × 10 - 8   10 - 2 2

P = 3,68 × 10 - 6   W

Resposta

P = 3,68 × 10 - 6   W

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 296-30.

Uma antena em forma de espira, com uma área de 2,0   c m 2 e uma resistência de 5,21   μ Ω , é mantida perpendicular a um campo magnético uniforme de módulo 17,0 μ T . O módulo do campo diminui para zero em 2,96   m s .

Qual é a energia térmica produzida na espira pela variação do campo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A energia térmica produzida na espira pode ser calculada através da potência dissipada, portanto:

E = P . Δ t

Onde:

P = E 2 R

Logo:

E = E 2 Δ t R

Passo 2

Pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Como a área é constante, o campo magnético é uniforme e perpendicular ao plano da espira:

E = - A ∂ B ∂ t

Passo 3

Substituindo E na expressão da energia, teremos:

E = - A ∂ B ∂ t 2 Δ t R

Como o campo varia linearmente com o tempo:

∂ B ∂ t = Δ B Δ t

Logo:

E = A 2 Δ B 2 R Δ t

Onde:

A = 2,0   c m 2 = 2 × 10 - 4 m 2

Δ B = 17,0 μ T = 17 × 10 - 6 T

Δ t = 2,96   m s = 2,96 × 10 - 3 s

R = 5,21   μ Ω = 5,21 × 10 - 6 Ω

Substituindo os termos, teremos:

E = 2 × 10 - 4 2 × 17 × 10 - 6 2 5,21 × 10 - 6 × 2,96 × 10 - 3

E = 7,5 × 10 - 10 J

Resposta

E = 7,5 × 10 - 10 J

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 296-31.

Na figura abaixo, uma barra de metal é forçada a se mover com velocidade constante v → ao longo de dois trilhos paralelos ligados em uma das extremidades por uma viga de metal.

Um campo magnético de módulo B = 0,35   T aponta para fora da tela.

a Se a distância entre os trilhos é 25,0   c m e a velocidade escalar da barra é 55,0   c m / s , qual é o valor absoluto da força eletromotriz gerada?

b Se a barra tem uma resistência de 18,0   Ω e a resistência dos trilhos e da fita de ligação é desprezível, qual é a corrente na barra?

c Qual é a taxa com a qual a energia é transformada em energia térmica?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Se a distância entre os trilhos é 25,0   c m e a velocidade escalar da barra é 55,0   c m / s , qual é o valor absoluto da força eletromotriz gerada?

Esse é um problema clássico de haste deslizante. Para esse caso, a f e m induzida é dada por:

E = B L v

Onde:

B = 0,35   T

L = 25,0   c m = 0,25   m