Teoria

A lei de Lenz diz que “o sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito”.

O que é a Lei de Lenz?

A Lei de Lenz existe pra responder uma pergunta que Faraday não conseguiu responder lá na Lei de Faraday!

O negócio é o seguinte:

Segundo Faraday a variação do fluxo magnético gera uma força eletromotriz , que por consequência gera uma corrente induzida com sentido variável.

Variação do Fluxo Magnético
Variação do Fluxo Magnético

Na prática, a variação do fluxo magnético acontece quando aproximamos ou afastamos um imã de uma bobina! Essa variação gera uma força eletromotriz que gera uma corrente induzida .

O que Faraday não conseguiu responder foi, como o sentido da corrente induzida varia. E ai entra a Lei de Lenz!

Lei de Lenz: Sentido da corrente induzida
Lei de Lenz: Sentido da corrente induzida

Recapitulando… Se a gente aproxima um imã de uma espiral estamos variando o Fluxo do Campo Magnético , segundo a Lei de Lenz vai ocorrer um efeito que vai se opor a essa variação de fluxo magnético criado.

Ou seja, vai ser criado um campo magnético induzido que por sua vez vai gerar uma corrente induzida , como podemos observar na imagem abaixo:

Lei de Lenz: Aproximando o imã
Lei de Lenz: Aproximando o imã

Pra descobrirmos a direção dessa corrente induzida, usamos a Regra da Mão Direita!

Agora, e se a gente afastar o imã?

Nesse caso também estamos variando o campo magnético, mas o campo magnético induzido vai ser gerado na direção oposta. Assim:

Lei de Lenz: Afastando o imã
Lei de Lenz: Afastando o imã

De novo, fazemos a regra da mão direita e descobrimos o sentido da corrente induzida!

Lei de Faraday

A gente já falou um pouco sobre a Lei de Faraday, mas agora vamos entender melhor como ela funciona!

Como vimos, lá em cima, a Lei de Faraday diz que a variação do Fluxo do Campo Magnético gera uma força eletromotriz .

Matematicamente podemos escrever:

Onde:

  • é Força eletromotriz induzida (volts) ;
  • é o Fluxo do campo magnético pela área do circuito.

Campo Elétrico Induzido

Se a variação de fluxo magnético através de uma espira vai fazer com que surja uma corrente elétrica induzida, necessariamente fará com que surja um campo elétrico induzido também!

Por definição, a induzida e o campo elétrico induzido estão relacionados por:

Substituindo na Lei de Faraday, teremos:

Onde a integral de linha é executada através de uma curva fechada.

A curva da integral pode ser uma curva imaginária, isso permite calcular o campo elétrico induzido gerado em qualquer ponto do espaço. Vamos trabalhar isso nos exercícios

Lei de Lenz: Vídeo Aula

Agora se liga nessa vídeo aula completíssima sobre Lei de Lenz 👇

É isso, galera! Vamos pôr as mãos na massa agora!

Lei de Faraday

Lei de Lenz: Vídeo Aula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Na figura abaixo o fluxo de campo magnético na espira aumenta de acordo com a equação ϕ B = 6,0 t 2 + 7,0 t , onde ϕ B está em miliwebers e t em segundos.

a Qual é o módulo da força eletromotriz induzida na espira no instante t = 2,0 s ?

b O sentido da corrente no resistor R é para a direita ou para a esquerda?

Passo 1

a Qual é o módulo da força eletromotriz induzida na espira no instante t = 2,0 s ?

Por definição:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Jogando a função ϕ B na equação acima, teremos:

E = - ∂ 6,0 t 2 + 7,0 t ∂ t

E = - 12 t + 7

Para t = 2,0 s :

E = - 12 × 2 + 7

E = - 31   m V

Portanto

E = 31   m V

Obs.: Se você estiver se perguntando porque a f e m induzida ficou em milivolts m V , lembre que o enunciado nos disse que o fluxo magnético está em miliwebers m W . ;)

Passo 2

b O sentido da corrente no resistor R é para a direita ou para a esquerda?

De acordo com a lei de Lenz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela quer dizer é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

Show!

A variação do fluxo magnético será:

∂ ϕ B ∂ t = 12 t + 7

Em t = 2,0   s :

∂ ϕ B ∂ t = 31   m W / s

Assim, como o fluxo está aumentando, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo, ou seja, entrando na sua tela.

Usando a regra da mão direita, vemos que a corrente induzida vai estar no sentido horário.

Resposta

a

E = 31 m V

b

A corrente induzida vai estar no sentido horário.

Exercício Resolvido #2

Um pedaço de fio condutor ôhmico isolado é torcido de modo a constituir um circuito em forma de oito. Por razão de simplicidade, modele as duas metades da figura de oito como circunferências de círculo. O raio do círculo superior é a e o do inferior é 2 a . O circuito completo é puramente resistivo (com capacitância e autoindutância desprezíveis), tendo resistência R . A partir de t = 0 um campo magnético uniforme, mas não estacionário

B → = C t z ^

Onde C = c o n s t > 0 é aplicado perpendicularmente ao plano dos dois circuitos, conforme mostrado na figura.

  1. Para t > 0 determino o fluxo total através do circuito.
  2. Para t > 0 determine o sentido da corrente elétrica induzida ao longo do fio indicando-o claramente em cada uma das circunferências, seja por intermédio de uma seta, seja pelas expressões horário ou anti-horário.
  3. Para t > 0 determine o módulo da intensidade da corrente elétrica induzida no fio.

Passo 1

O fluxo é dado pela integral:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Onde S é a superfície toda do circuito. Note que quando ele pega um arame normal e “torce” ele passa a ter duas orientações da normal:

Fazendo o fluxo, podemos separar em duas integrais, onde cada uma tem um vetor normal constante. Seja a de raio maior a com d A → = d A z ^ e a outra no sentido de - z ^ .

ϕ B = ∬ r = 2 a B → ∙ d A → + ∬ r = a B → ∙ d A →

ϕ B = ∬ r = 2 a C t z ^ ∙ d A z ^ + ∬ r = a C t z ^ ∙ - d A z ^

Pondo as constantes (digo constantes em relação às variáveis de integração, que são de espaço) para fora:

ϕ B = C t ∬ r = 2 a d A - ∬ r = a d A

Segue:

ϕ B = C t π 2 a 2 - π a 2

ϕ B = C t π 4 a 2 - a 2

ϕ B = 3 C t π a 2

Podemos ver que o fluxo total aumenta com o tempo.

Passo 2

Pela Lei de Lenz, como temos um fluxo aumentando no sentido de z ^ , o efeito induzido vai tentar compensar este fato. Por conta disto, pela regra da mão direita podemos ver que será induzida uma corrente que, no círculo maior, é horária:

Naturalmente, no menor vai ser anti-horária.

Passo 3

Para calcular a intensidade da corrente induzida vamos rodar a Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E juntar com a Lei de Ohm:

E = R I

De forma que:

I = - 1 R ∂ ϕ B ∂ t

Derivando o fluxo:

∂ ϕ B ∂ t = ∂ 3 C t π a 2 ∂ t

∂ ϕ B ∂ t = 3 C π a 2

O módulo da corrente fica então:

I = 3 C π a 2 R

Resposta

a)

ϕ B = 3 C t π a 2

b)

Anti-horária no menor e horária no maior.

c)

I = 3 C π a 2 R

Exercício Resolvido #3

Uma espira circular move-se de baixo para cima na direção de um imã permanente fixo, assim como na figura abaixo.

Vista de cima a corrente no fio será:

a no sentido horário e a força na espira será para cima

b no sentido anti-horário e a força na espira será para cima

c no sentido horário e a força na espira será para baixo

d no sentido anti-horário e a força na espira será para baixo

e no sentido horário e a força na espira será zero

f no sentido anti-horário e a força na espira será zero

Passo 1

De acordo com a lei de Lenz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Resumindo, o que ela quer dizer é o seguinte:

Se o fluxo magnético estiver aumentando na espira, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético externo.

Se o fluxo magnético estiver diminuindo na espira, o campo magnético induzido vai estar no mesmo sentido do campo magnético externo.

Assim, conforme aproximamos a espira do imã, vamos aumentando o fluxo magnético através da espira, assim, o campo magnético induzido vai estar no sentido contrário ao campo magnético do imã. Ou seja, apontando para baixo.

Para que o campo magnético induzido na espira aponte para baixo é necessário que, vista de cima, a corrente induzida esteja no sentido horário.

Passo 2

Como o campo magnético induzido na espira está no sentido contrário ao campo magnético do imã, haverá uma força de repulsão entre os dois. Assim, a força sobre a espira será para baixo.

A resposta certa é a letra c .

Resposta

c no sentido horário e a força na espira será para baixo

Exercício Resolvido #4

A figura abaixo mostra duas regiões circulares, R 1 e R 2 , de raios r 1 = 20,0   c m e r 2 = 30,0   c m .

Em R 1 existe um campo magnético uniforme de módulo B 1 = 50,0   m T dirigido para dentro do papel, e em R 2 existe um campo magnético uniforme de módulo B 2 = 75,0   m T dirigido para fora do papel (ignore os efeitos de borda).

Os dois campos estão diminuindo à taxa de 8,50   m T / s . Calcule o valor de ∮ E → ∙ d s → a para a trajetória 1; b para a trajetória 2; c para trajetória 3.

Passo 1

a Calcule o valor de ∮ E → ∙ d s → para a trajetória 1;

De acordo com a Lei de Faraday:

∮ E → ∙ d s → = - ∂ ϕ B ∂ t

Usando a regra da mão direita, vemos que a orientação da trajetória 1 está no sentido contrário ao campo magnético em R 1 , logo:

∮ 1 E → ∙ d s → = ∂ B 1 A 1 ∂ t

∮ 1 E → ∙ d s → = A 1 ∂ B 1 ∂ t

∮ 1 E → ∙ d s → = π r 1 2 ∂ B 1 ∂ t

Onde:

r 1 = 0,2   m

∂ B 1 ∂ t = - 8,5 × 10 - 3   T / s

Logo:

∮ 1 E → ∙ d s → = π 0,2 2 × - 8,5 × 10 - 3

∮ 1 E → ∙ d s → = - 1,07 × 10 - 3 V

Passo 2

b Calcule o valor de ∮ E → ∙ d s → para a trajetória 2;

De acordo com a Lei de Faraday:

∮ E → ∙ d s → = - ∂ ϕ B ∂ t

Usando a regra da mão direita, vemos que a orientação da trajetória 2 está no sentido contrário ao campo magnético em R 2 , logo:

∮ 2 E → ∙ d s → = ∂ B 2 A 2 ∂ t

∮ 2 E → ∙ d s → = A 2 ∂ B 2 ∂ t

∮ 2 E → ∙ d s → = π r 2 2 ∂ B 2 ∂ t

Onde:

r 2 = 0,3   m

∂ B 2 ∂ t = - 8,5 × 10 - 3   T / s

Logo:

∮ 2 E → ∙ d s → = π 0,3 2 × - 8,5 × 10 - 3

∮ 2 E → ∙ d s → = - 2,40 × 10 - 3 V

Passo 3

c Calcule o valor de ∮ E → ∙ d s → para a trajetória 3;

Vemos que a trajetória 3 tem a mesma orientação da trajetória 1 e orientação contrária à trajetória 2. Portanto:

∮ 3 E → ∙ d s → = ∮ 1 E → ∙ d s → - ∮ 2 E → ∙ d s →

∮ 3 E → ∙ d s → = - 1,07 × 10 - 3 - - 2,40 × 10 - 3

∮ 3 E → ∙ d s → = 1,33 × 10 - 3 V

Resposta

a

∮ 1 E → ∙ d s → = - 1,07 × 10 - 3 V

b

∮ 2 E → ∙ d s → = - 2,40 × 10 - 3 V

c

∮ 3 E → ∙ d s → = 1,33 × 10 - 3 V

Exercício Resolvido #5

Um solenóide longo tem um diâmetro de 12,0   c m . Quando o solenóide é percorrido por uma corrente i , um campo magnético uniforme de módulo B = 30,0   m T é produzido no seu interior.

Através de uma diminuição da corrente i o campo magnético é reduzido a uma taxa de 6,5   m T / s . Determine o módulo do campo elétrico induzido a a 2,20   c m e a b a 8,20   c m de distância do eixo do solenóide.

Passo 1

a Determine o módulo do campo elétrico induzido a 2,20   c m de distância do eixo do solenóide.

Pela Lei de Faraday, temos que:

∮ E → ∙ d s → = - ∂ ϕ B ∂ t

Como a área é constante e o campo magnético é uniforme, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

∮ E → ∙ d s → = - A ∂ B ∂ t

Como estamos calculando o campo elétrico induzido no interior do solenóide, a área transversal será um círculo, e a curva fechada que usaremos na integral é a curva circular que contorna A . Logo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

E 2 π r = - π r 2 ∂ B ∂ t

E = - r 2 ∂ B ∂ t

Onde:

r = 0,022   m

∂ B ∂ t = - 6,5 × 10 - 3   T / s

Logo:

E = - 0,022 2 × - 6,5 × 10 - 3

E = 7,15 × 10 - 5   V / m

Passo 2

b Determine o módulo do campo elétrico induzido a 8 , 20   c m de distância do eixo do solenóide.

Aqui vamos usar o mesmo princípio, mas como estamos calculando o campo elétrico induzido em um ponto fora do solenóide, a área será A = π R 2 , onde R = 6,0   c m é o raio do solenóide.

Logo:

E 2 π r = - π R 2 ∂ B ∂ t

E = - R 2 2 r   ∂ B ∂ t

Onde:

R = 0,06   m

r = 0,0 8 2   m

∂ B ∂ t = - 6,5 × 10 - 3   T / s

Logo:

E = - 0,06 2 2 × 0,082 × - 6,5 × 10 - 3

E = 1,43 × 10 - 4   V / m

Resposta

a

E = 7,15 × 10 - 5   V / m

b

E = 1,43 × 10 - 4   V / m

Exercício Resolvido #6

Uma região circular no plano x y é atravessada por um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo z . O módulo B do campo (em teslas) aumenta com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação B = a t , onde a é uma constante.

A figura acima mostra o módulo E do campo elétrico criado por esse aumento do campo magnético em função radial r ; a escala do eixo vertical é definida por E s = 300   μ N / C , e a escala do eixo horizontal é definida por r s = 4,0   c m .

Determine o valor de a .

Passo 1

Pela Lei de Faraday, temos que:

∮ E → ∙ d s → = - ∂ ϕ B ∂ t

Como a área é constante e o campo magnético é uniforme, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

∮ E → ∙ d s → = - A ∂ B ∂ t

Como estamos calculando o campo elétrico induzido no interior do solenóide, a área transversal será um círculo, e a curva fechada que usaremos na integral é a curva circular que contorna A . Logo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

E 2 π r = - π r 2 ∂ B ∂ t

E = - r 2 ∂ B ∂ t

E = r 2 ∂ B ∂ t

Onde, entre 0 < r < 2   c m :

∂ B ∂ t = a

Logo:

E = a r 2

Passo 2

Para r = 2   c m , E = 300   μ N / C , logo:

300 × 10 - 6 = 2 × 10 - 2 × a 2

a = 0,03   T / s

Resposta

a = 0,03   T / s

Exercício Resolvido #7

O campo magnético de um imã cilíndrico com 3,3   c m de diâmetro varia senoidalmente entre 29,6   T e 30,0   T com uma frequência de 15   H z .

Qual é a amplitude do campo elétrico induzido por essa variação a uma distância de 1,6   c m do eixo cilíndrico?

Passo 1

Como o campo magnético varia senoidalmente, ele vai ter mais ou menos essa cara:

B t = B 0 + B ' sen ⁡ ω t + ϕ

Onde:

B 0 = 30 + 29,6 2 → B 0 = 29,8   T

B ' = 30 - 29,6 2 → B ' = 0,2   T

Passo 2

Pela Lei de Faraday, temos que:

∮ E → ∙ d s → = - ∂ ϕ B ∂ t

Como a área é constante e o campo magnético é uniforme, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

∮ E → ∙ d s → = - A ∂ B ∂ t

Como estamos calculando o campo elétrico induzido no interior do solenóide, a área transversal será um círculo, e a curva fechada que usaremos na integral é a curva circular que contorna A . Logo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

E 2 π r = - π r 2 ∂ B ∂ t

E = - r 2 ∂ B ∂ t

E = r 2 ∂ B ∂ t

Passo 3

Jogando o campo magnético na expressão do campo elétrico, teremos:

E = r 2 ∂ B 0 + B ' sen ⁡ ω t + ϕ ∂ t

E = B ' ω r 2 cos ⁡ ω t + ϕ

A amplitude do campo elétrico induzido, ou o campo elétrico máximo é dado por:

E m á x = B ' ω r 2

Onde ω = 2 π f .

E m á x = B ' 2 π f r 2

Onde:

B ' = 0,2   T

f = 15   H z