Variações do Fluxo Magnético

Teoria Completa

Introdução

A nossa linda Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo do campo magnético sobre um circuito produz uma força eletromotriz nele, lembra?

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E a gente encontra esse fluxo pela expressão

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Mas agora eu te pergunto: como podemos variar o fluxo magnético?

É isso que vamos descobrir aqui

Formas de variar o fluxo

Devemos perceber que para calcular o fluxo temos que resolver um produto escalar, que é dado pela seguinte expressão:

B → ∙ d A → = B d A c o s ( θ )

Então, se variarmos o módulo do campo, ou variarmos a área do circuito em questão, ou variarmos o ângulo θ entre os dois vetores B → e d A → , nós estaremos variando o fluxo magnético.

Vamos ver aqui as formas de fazer isso que mais caem em prova.

Espiras de Área Fixa e Campo Magnético Variável

Vamos considerar primeiro o caso em que a área da espira e o ângulo entre os vetores são mantidos fixos, mas o campo magnético está variando.

Existem três jeitos de variar o campo magnético: variando ele com a posição ou com o tempo, ou com ambos.

Vamos imaginar que temos primeiro um campo magnético que não varia com a posição, ou seja, ele é uniforme, mas varia com o tempo e passa pela espira no mesmo sentido do vetor área A . Se liga na figura:

Onde:

B → = B t s ^

E a direção s ^ é a mesma direção do vetor área A .

Como o campo magnético não varia com a posição, podemos tirá-lo da integral e o fluxo magnético pode ser simplificado:

ϕ B = ∬ S   B t d A c o s ( θ ) = B t cos ⁡ θ   ∬ S   d A = B t A cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor área (perpendicular ao plano da espira).

Como o campo e o vetor área são paralelos, ou seja, θ = 0 ° o fluxo é ainda mais simplificado, pois cos ⁡ 0 ° = 1  

ϕ B = B t A

Daí, quando jogarmos isso na Lei de Faraday, vamos ter o seguinte:

E = - ∂ B A ∂ t

Como a área é constante, podemos simplesmente tirá-la dessa derivada. Então a f e m induzida será dada por:

E = - A ∂ B ∂ t

Podemos ter um campo com essa cara:

B → = 4 t - 2 s ^

E uma área fixa da espira de valor:

A = 0,5 m ²

O primeiro passo é derivar o campo em função do tempo t .

∂ B ∂ t = d d t 4 t - 2 = 4

Substituindo os valores na equação a gente vai ter o seguinte:

E = - 0,5 × 4 = - 2 V

Daqui podemos concluir que:

d B d t > 0

E < 0

Outra situação de campo variável com o tempo é essa aqui:

Conforme aproximamos a espira maior da menor o campo magnético sobre a espira maior vai aumentar com o tempo porque ela estará se aproximando da fonte do campo.

d B d t > 0

E < 0

Quando afastamos as duas espiras, nós vamos diminuir o campo magnético na espira maior com o tempo, logo:

d B d t < 0

E > 0

E agora se tivermos um campo que não varia apenas com o tempo, mas também com a posição? Imagina a mesma espira lá de cima com a mesma área A = 0,5 m ² e dimensões dadas:

E que o campo agora tem essa cara aqui:

B x = 2 x - 3 t

Você pode fazer calculando o fluxo do campo que também será uma função de x .

Φ x , t = ∫ B x , t d A

Precisaremos fazer uma mudança de integrante já que o campo agora varia com x .

d A = d x d y

E teremos uma integral dupla.

Φ x , t = ∬ 0     0 y     x B x , y d x d y

Onde x varia de 0 até 1 m que é a dimensão da espira e y varia de 0   até 0,25 m . Substituindo geral temos:

Φ x , t = ∬ 0     0 0,25     1 ( 2 x - 3 t ) d x d y

Integrando em x primeiro temos:

Φ x , t = ∫ 0 0,25 x 2 - 3 t x | 0 1 d y

Substituindo o valor e integrando em y :

Φ x , y = 1 - 3 t y | 0 0,25

Φ x , y = 1 - 3 t × 0,25 = 0,25 - 0,75 t

E aí derivando o fluxo pela equação temos:

E = - ∂ Φ x ∂ t = - - 0,75 = 0,75 V

Enfim a f e m é:

E = 0,75 V

Espiras de Área Variável e Campo Magnético Constante

Vamos considerar uma espira que possui uma haste deslizante como mostra a figura

Primeiro vamos assumir que o vetor d A → está apontando para fora, assim como o campo magnético, de modo que eles são paralelos e o fluxo pode ser escrito como

ϕ B = ∬ S   B   d A

O campo magnético é uniforme e constante, ou seja, não varia nem com o tempo e nem com a posição, então

ϕ B = B ∬ S     d A = B A

A área da espira pode ser reescrita como:

A = L x

E desse modo o fluxo pode ser também reescrito

ϕ B = B L x

Mas presta bastante atenção!!! A área da espira aumenta com o tempo porque a haste de comprimento L desliza para direita. O comprimento L da haste é mantido constante, o que vai aumentando com o tempo é o tamanho x

Vamos colocar isso na Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t =   -   ∂ B L x ∂ t =   -   B L ∂ x ∂ t

Como a velocidade é definida como

v = ∂ x ∂ t

Temos que

E = -   B L v

Variação do ângulo entre os vetores

IMPORTANTE!! Costumamos achar que se módulo do campo nem a área da espira variam, então o fluxo também não varia. Toma bastante cuidado com isso

Observe a seguinte situação

Conforme a espira vai girando o ângulo entre os vetores B → e d A → vai variando e assim o fluxo também varia mesmo o campo e a área da espira sendo constantes.

As questões nesse estilo vão te dar o valor da velocidade angular ω com que a espira rotaciona e pedir a força eletromotriz. Mas e aí, como a gente faz isso?

Vamos pegar a equação do fluxo e nesse caso os vetores B → e A → não são paralelos.

Φ = B A c o s ( θ )

Mas quem é θ ? A posição angular que pode ser relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

θ = ω t

Então a derivada do fluxo vai ficar com essa cara:

E = - ∂ ϕ B ∂ t = - B A d d t cos ⁡ ω t  

Derivando nos dá então a seguinte f e m :

E = ω B A s e n ( ω t )

Espiras Próximas a um Fio

A ideia agora é aplicar a Lei de Faraday em espiras que se encontram próximas a um fio, como mostra a figura abaixo.

Agora as coisas são um pouco diferentes, porque o campo magnético gerado pelo fio condutor não é uniforme e, de acordo com a Lei de Ampère, vai variar com x ' dessa forma:

B x = μ 0 i 2 π x '

Onde x ' é a distância entre o fio e um ponto qualquer do espaço.

O elemento d A nesse caso será:

d A = l d x '

Considerando que o vetor vetores d A → aponta para fora assim como o campo gerado pelo fio na região onde está a espira, o fluxo magnético será:

ϕ B = ∫ x x + a μ 0 i 2 π x ' l d x '

Tirando os termos constantes da integral e a resolvendo, teremos o seguinte:

ϕ B = μ 0 l i 2 π ln ⁡ x + a x

Aparentemente o fluxo parece constante não é mesmo? Logo, não teria uma força eletromotriz sendo gerada na espira, mas fique atento porque ainda existem alguns jeitos de complicar nossa vida aqui.

Um jeito de fazer isso é colocando a corrente como variável com o tempo e aí o fluxo passa a variar

ϕ B = μ 0 l i t 2 π ln ⁡ x + a x

Ou então movendo a espira, e nesse caso, x variaria com o tempo.

ϕ B = μ 0 l i 2 π ln ⁡ x ( t ) + a x ( t )

Enfim, vamos ver mais a fundo nos exercícios, não se preocupe.

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 293-2

Uma espira de 12   c m de raio e uma resistência de 8,5   Ω é submetida a um campo magnético uniforme B → cujo módulo varia de acordo com a figura abaixo.

A escala do eixo vertical é definida por B s = 0,50   T , e a escada do eixo horizontal é definida por t s = 6,0   s .

O plano da espira é perpendicular a B → . Determine a força eletromotriz induzida na espira durante os intervalos de tempo:

a 0 < t < 2,0   s ;

b 2 , 0 s < t < 4 , 0   s ;

c 4 , 0 s < t < 6 , 0   s ;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A espira tem área fixa e o seu plano é perpendicular ao campo magnético B → . Nesse caso, a f e m induzida será dada por:

E = - A ∂ B ∂ t

Onde:

A = π r 2