Variações do Fluxo Magnético

Teoria Completa

Introdução

A nossa linda Lei de Faraday nos diz que uma variação no fluxo do campo magnético sobre um circuito produz uma força eletromotriz nele, lembra?

E = - ∂ ϕ B ∂ t

E a gente encontra esse fluxo pela expressão

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

Mas agora eu te pergunto: como podemos variar o fluxo magnético?

É isso que vamos descobrir aqui

Formas de variar o fluxo

Devemos perceber que para calcular o fluxo temos que resolver um produto escalar, que é dado pela seguinte expressão:

B → ∙ d A → = B d A c o s ( θ )

Então, se variarmos o módulo do campo, ou variarmos a área do circuito em questão, ou variarmos o ângulo θ entre os dois vetores B → e d A → , nós estaremos variando o fluxo magnético.

Vamos ver aqui as formas de fazer isso que mais caem em prova.

Espiras de Área Fixa e Campo Magnético Variável

Vamos considerar primeiro o caso em que a área da espira e o ângulo entre os vetores são mantidos fixos, mas o campo magnético está variando.

Existem dois jeitos de variar o campo magnético: variando ele com a posição ou com o tempo.

Vamos imaginar que temos primeiro um campo magnético que não varia com a posição, ou seja, ele é uniforme, mas varia com o tempo.

Como o campo magnético não varia com a posição, podemos tirá-lo da integral e o fluxo magnético pode ser simplificado:

ϕ B = ∬ S   B t d A c o s ( θ ) = B t cos ⁡ θ   ∬ S   d A = B t A cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre o vetor campo magnético e o vetor área (perpendicular ao plano da espira).

Se considerarmos que o campo e o vetor área são paralelos, ou seja, θ = 0 ° o fluxo é ainda mais simplificado, pois cos ⁡ 0 ° = 1  

ϕ B = B t A

Daí, quando jogarmos isso na Lei de Faraday, vamos ter o seguinte:

E = - ∂ B A ∂ t

Como a área é constante, podemos simplesmente tirá-la dessa derivada. Então a f e m induzida será dada por:

E = - A ∂ B ∂ t

Podemos ter um campo com essa cara:

O primeiro passo é dividir o gráfico para analisarmos cada região separadamente:

Nas regiões i e i i i , por exemplo, vemos que o campo magnético está aumentando com o tempo. Logo:

d B d t > 0

E < 0

E aí fazemos o mesmo pras outras regiões. Sacou?

Outra situação de campo variável com o tempo é essa aqui:

Note que conforme aproximamos a espira maior da menor o campo magnético sobre a espira maior vai aumentar com o tempo porque ela estará se aproximando da fonte do campo

d B d t > 0

E < 0

Quando afastamos as duas espiras, nós vamos diminuir o campo magnético na espira maior com o tempo, logo:

d B d t < 0

E > 0

E agora se tivermos um campo que não varia com o tempo, mas sim com a posição?

No caso de campo magnético não-uniforme, o enunciado tem que te informar como é que o campo magnético varia através da espira.

Isso vai ter impacto no calculo do fluxo magnético, que agora será dado por:

ϕ B = ∬ S   B   d A

É aqui que mora o perigo... então é tomar bastante cuidado na forma como vamos integrar esse cara. Nos exercícios de fixação vamos ver melhor o tamanho do problema.

Uma vez calculado o fluxo magnético, aí é só alegria! Joga isso na Lei de Faraday e vá ser feliz.

Espiras de Área Variável e Campo Magnético Constante

Vamos considerar uma espira que possui uma haste deslizante como mostra a figura

Primeiro vamos assumir que o vetor d A → está apontando para fora, assim como o campo magnético, de modo que eles são paralelos e o fluxo pode ser escrito como

ϕ B = ∬ S   B   d A

O campo magnético é uniforme e constante, ou seja, não varia nem com o tempo e nem com a posição, então

ϕ B = B ∬ S     d A = B A

A área da espira pode ser reescrita como:

A = l x

E desse modo o fluxo pode ser também reescrito

ϕ B = B l x

Mas presta bastante atenção!!! A área da espira aumenta com o tempo porque a haste de comprimento L desliza para direita. O comprimento L da haste é mantido constante, o que vai aumentando com o tempo é o tamanho x

Vamos colocar isso na Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t =   -   ∂ B l x ∂ t =   -   B l ∂ x ∂ t

Como a velocidade é definida como

v = ∂ x ∂ t

Temos que

E = -   B l v

Variação do ângulo entre os vetores

IMPORTANTE!! Costumamos achar que se módulo do campo nem a área da espira variam, então o fluxo também não varia. Toma bastante cuidado com isso

Observe a seguinte situação

Conforme a espira vai girando o ângulo entre os vetores B → e d A → vai variando e assim o fluxo também varia mesmo o campo e a área da espira sendo constantes

Espiras Próximas a um Fio

A ideia agora é aplicar a Lei de Faraday em espiras que se encontram próximas a um fio, como mostra a figura abaixo.

Agora as coisas são um pouco diferentes, porque o campo magnético gerado pelo fio condutor não é uniforme e, de acordo com a Lei de Ampère, vai variar com x ' dessa forma:

B x = μ 0 i 2 π x '

Onde x ' é a distância entre o fio e um ponto qualquer do espaço.

O elemento d A nesse caso será:

d A = l d x '

Considerando que o vetor vetores d A → aponta para fora assim como o campo gerado pelo fio na região onde está a espira, o fluxo magnético será:

ϕ B = ∫ x x + a μ 0 i 2 π x ' l d x '

Tirando os termos constantes da integral e a resolvendo, teremos o seguinte:

ϕ B = μ 0 l i 2 π ln ⁡ x + a x

Aparentemente o fluxo parece constante não é mesmo? Logo, não teria uma força eletromotriz sendo gerada na espira, mas fique atento porque ainda existem alguns jeitos de complicar nossa vida aqui.

Um jeito de fazer isso é colocando a corrente como variável com o tempo e aí o fluxo passa a variar

ϕ B = μ 0 l i t 2 π ln ⁡ x + a x

Ou então movendo a espira, e nesse caso, x variaria com o tempo.

ϕ B = μ 0 l i 2 π ln ⁡ x ( t ) + a x ( t )

Enfim, vamos ver mais a fundo nos exercícios, não se preocupe.

Espiras de Área Fixa se Deslocando em Relação a um Campo Magnético

Eu sei, tá ficando chato. Esse vai ser o último caso, prometo.

A situação é basicamente esta: temos uma espira de área constante, que se move no espaço. O que acontece com a f e m induzida quando a espira se move através de uma região com campo magnético constante e uniforme?

Obs: Essa região azul da figura é onde tem campo magnético uniforme, heim!

Nos instantes 1, 3 e 5 não há variação de fluxo magnético porque, ou a espira está fora da região com o campo magnético, ou totalmente imersa na região com o campo magnético.

Durante o processo de entrada e saída da espira da região com o campo magnético, a área por onde passa campo magnético através da espira é dada por:

A = l x

Visto que a área varia conforme a espira entra na região.

Assumindo novamente que os vetores B → e d A → sã paralelos

ϕ B = B l x

Assim, a f e m induzida será dada por:

E = - ∂ ϕ B ∂ t = - B l d x d t

Durante a entrada, d x d t > 0 , logo:

E = - B l v

Durante a saída, d x d t < 0 , logo:

E = B l v

Obs.: Nem sempre a velocidade será constante, mas o princípio é o mesmo.

É isso! Bora agora praticar nos exercícios? =)

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 293-2

Uma espira de 12   c m de raio e uma resistência de 8,5   Ω é submetida a um campo magnético uniforme B → cujo módulo varia de acordo com a figura abaixo.

A escala do eixo vertical é definida por B s = 0,50   T , e a escada do eixo horizontal é definida por t s = 6,0   s .

O plano da espira é perpendicular a B → . Determine a força eletromotriz induzida na espira durante os intervalos de tempo:

a 0 < t < 2,0   s ;

b 2 , 0 s < t < 4 , 0   s ;

c 4 , 0 s < t < 6 , 0   s ;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A espira tem área fixa e o seu plano é perpendicular ao campo magnético B → . Nesse caso, a f e m induzida será dada por:

E = - A ∂ B ∂ t

Onde:

A = π r 2

Além disso, nesse gráfico, podemos ver que em alguns trechos, o campo magnético varia linearmente. Dessa forma, podemos dizer que:

∂ B ∂ t = Δ B Δ t

Logo:

E = - π r 2 Δ B Δ t

Beleza, agora só temos que aplicar isso em cada caso.

Passo 2

a 0 < t < 2,0   s ;

Aplicando a relação acima a esse caso, teremos:

E = - π 0,12 2 0,5 - 0 2 - 0

E = - 1,1 × 10 - 2 V

Passo 3

b 2,0 s < t < 4,0   s ;

Nesse intervalo, o campo magnético é constante, logo:

Δ B = 0

E = 0

Passo 4

c 4,0 s < t < 6,0   s ;

E = - π 0,12 2 0 - 0 , 5 6 - 4

E = 1,1 × 10 - 2 V

Resposta

a

E = - 1,1 × 10 - 2 V

b

E = 0

c

E = 1,1 × 10 - 2 V

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 293-6

Um campo magnético uniforme B → é perpendicular ao plano de uma espira circular com 10   c m