Fluxo Magnético

Teoria Completa

Fala aí, bem vindo ao RespondeAí! Ta aprendendo tudo direitinho de Física III? Já sabe o que é Campo Magnético e Força Magnética? Lei de Biot-Savart? Lei de Ampére? Caramba quanto nome estranho, mas relaxa que aqui no nosso site temos todos esse tópicos ensinados de maneira didática pensados especialmente para você mandar bem na sua prova.

Nessa página estaremos interessados nas variações de fluxo magnético que está totalmente relacionado com a Lei de Faraday:

Lei de Faraday

$$\varepsilon=-\frac{\partial\phi[B]}{\partial t}$$

Como podemos nos lembrar, a lei de Faraday define que uma variação no fluxo do campo magnético sobre um circuito produz uma força eletromotriz que pode gerar uma corrente no circuito.

Um bom exemplo são as lanternas a dínamo, não sei se você já viu uma dessas:

Ta vendo aquela parte lateral cinza ali dela, aquilo funciona como uma alavanca que movimenta um imã dentro da lanterna. Conforme esse imã se movimenta o fluxo do campo magnético varia o que gera uma força eletromotriz no circuito da lanterna e com a força eletromotriz surge uma corrente que acende e recarrega a lanterna.

Show... Vamos ver isso conceitualmente então, preparem-se!! Rsrs

Para encontrar o fluxo, usaríamos a seguinte expressão:

$$\phi[B]=\iint_S\vec{B}\cdot\text{ }\vec{dA} $$

Podemos perceber que o fluxo é calculado a partir de um produto escalar entre dois vetores, lembrando de produto escalar podemos escrever:

$$\vec{B}\cdot\text{ }\vec{dA} =B.dA.cos(\theta)$$

Então para alterarmos o fluxo, ou variamos o módulo do campo, ou variamos a área do circuito, ou variamos o ângulo $\theta$ entre os vetores $\vec{B}$ e $\vec{dA}$.

Na lanterninha de exemplo ali em cima, o que você acha que está acontecendo? A área do circuito é sempre a mesma, o módulo do campo magnético é sempre o mesmo (ele só mudaria caso mudássemos a potência do imã).

Portanto o que estamos fazendo ao acionar a alavanca da lanterna é girar o imã interno o que provoca uma variação na orientação dos vetores, o que altera o ângulo $\theta$ entre eles, fazendo surgir a força eletromotriz, e assim gerando corrente no circuito.

No nosso site você encontra as formas mais comuns em que isso aparece em provas como em espiras de área fixa e campo magnético variável, ou espiras de área variável com campo magnético fixo, ou espiras próximas a um fio.

Mas para você não ficar perdido, da uma olhada em um dos nossos exercícios com resolução Passo a Passo.

Exercício

Nesse vídeo você confere uma resolução de um exercício do nosso tópico de Variações do Fluxo Magnético, onde temos uma espira com área fixa e campo variável:

Uma espira de $12cm$ de raio e uma resistência de $8,5\Omega$ é submetida a um campo magnético uniforme $\vec{B}$ cujo módulo varia de acordo com a figura abaixo.

A escala do eixo vertical é definida por $B_s=0,50T$, e a escada do eixo horizontal é definida por $t_s=6,0s$.

O plano da espira é perpendicular a $\vec{B}$. Determine a força eletromotriz induzida na espira durante os intervalos de tempo:

a) $0\lt t \lt 2,0s$

b) $2,0s \lt t \lt 4,0s$

c)$4,0s \lt t \lt 6,0s$

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 293-2

Uma espira de 12   c m de raio e uma resistência de 8,5   Ω é submetida a um campo magnético uniforme B → cujo módulo varia de acordo com a figura abaixo.

A escala do eixo vertical é definida por B s = 0,50   T , e a escada do eixo horizontal é definida por t s = 6,0   s .

O plano da espira é perpendicular a B → . Determine a força eletromotriz induzida na espira durante os intervalos de tempo:

a 0 < t < 2,0   s ;

b 2 , 0 s < t < 4 , 0   s ;

c 4 , 0 s < t < 6 , 0   s ;

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Passo 1

A espira tem área fixa e o seu plano é perpendicular ao campo magnético B → . Nesse caso, a f e m induzida será dada por:

E = - A ∂ B ∂ t

Onde:

A = π r 2

Além disso, nesse gráfico, podemos ver que em alguns trechos, o campo magnético varia linearmente. Dessa forma, podemos dizer que:

∂ B ∂ t = Δ B Δ t

Logo:

E = - π r 2 Δ B Δ t

Beleza, agora só temos que aplicar isso em cada caso.

Passo 2

a 0 < t < 2,0   s ;

Aplicando a relação acima a esse caso, teremos:

E = - π 0,12 2 0,5 - 0 2 - 0

E = - 1,1 × 10 - 2 V

Passo 3

b 2,0 s < t < 4,0   s ;

Nesse intervalo, o campo magnético é constante, logo:

Δ B = 0

E = 0

Passo 4

c 4,0 s < t < 6,0   s ;

E = - π 0,12 2 0 - 0 , 5 6 - 4

E = 1,1 × 10 - 2 V

Resposta

a

E = - 1,1 × 10 - 2 V

b

E = 0

c

E = 1,1 × 10 - 2 V

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 293-6

Um campo magnético uniforme B → é perpendicular ao plano de uma espira circular com 10   c m de diâmetro, formada por um fio com 2,5   m m de diâmetro e uma resistividade de 1,69 × 10 - 8   Ω . m .

Qual deve ser a taxa de variação de B → para que uma corrente de 10   A seja induzida na espira?

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Passo 1

Vamos começar calculando a f e m induzida na espira. Como a área é constante e o campo magnético perpendicular ao plano da espira, a f e m é dada por:

E = - A e s p ∂ B ∂ t

Onde:

A e s p = π d e s p 2 4

Logo:

E = - π d e s p 2 4 ∂ B ∂ t

Passo 2

Através da Lei de Ohm, temos que:

E = R I i n d

Tá legal que o problema não nos deu exatamente a resistência, mas podemos calculá-la pela expressão:

R = ρ L f i o A f i o

Onde:

L f i o = π d e s p

A f i o = π d f i o 2 4

Jogando isso na expressão da resistência, teremos:

R = ρ π d e s p π d f i o 2 4

R = 4 ρ . d e s p d f i o 2

Assim, a f e m induzida será:

E = 4 ρ . d e s p d f i o 2 I i n d

Onde:

ρ = 1,69 × 10 - 8   Ω . m

d e s p = 0,1   m

d f i o = 2,5 × 10 - 3   m

I i n d = 10   A

Logo:

E = 4 × 1,69 × 10 - 8 × 0,1 × 10 2,5 × 10 - 3 2

E = 1,1 × 10 - 2   V

Passo 3

Jogando o valor da f e m induzida na expressão que encontramos no Passo 1, teremos:

- π d e s p 2 4 ∂ B ∂ t = 1,1 × 10 - 2

Organizando um pouco a bagunça, teremos:

∂ B ∂ t = 4,4 × 10 - 2 π d e s p 2

Onde:

d e s p = 0,1   m

Substituindo o valor, teremos:

∂ B ∂ t = 4,4 × 10 - 2 π 0,1 2

Finalmente:

∂ B ∂ t = 1,4   T / s

Resposta

∂ B ∂ t = 1,4   T / s

Exercício Resolvido #3

UNICAMP – Prova 3 – 2012.1 – Manhã – Questão 2

Uma espira retangular tem comprimento a , largura b e resistência R .

Suponha que numa região do espaço exista um campo magnético que cresce linearmente com y , isto é, aumenta à medida que se afasta de y a partir da origem, e é dado por B y = C y , onde C é uma constante. Este campo magnético está na direção de - z ^ (”entrando no plano da página”).

A espira é então imersa nessa região, como mostra a figura abaixo, onde y é a distância do centro da espira até o eixo x .

Determine:

  1. O fluxo do campo magnético através da espira.
  2. A corrente induzida na espira à medida que esta se afasta do eixo x com velocidade constante v ao longo de y .
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Passo 1

  1. O fluxo do campo magnético através da espira.
  2. Por definição, o fluxo magnético é dado por:

    ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

    Podemos dizer que d A = a d y ' . Onde y ' vai variar de y - b / 2   até y + b / 2

    Substituindo a expressão pro campo magnético que o problema nos deu:

    ϕ B = C a ∫ y - b / 2 y + b / 2 y ' d y '

    ϕ B = C a y ' 2 2 y - b / 2 y + b / 2

    ϕ B = C a 2 y + b 2 2 - y - b 2 2

    ϕ B = C a 2 2 y b

    ϕ B = C y a b

    Passo 2

  3. A corrente induzida na espira à medida que esta se afasta do eixo x com velocidade constante v ao longo de y .

Vamos lá... para encontrar a corrente induzida, precisamos calcular primeiro a fem induzida, para que possamos utilizar a fórmula:

I = ε R

Para calcular a fem induzida, podemos usar a lei de Faraday:

ε = - ∂ ϕ [ B ] ∂ t

Conforme a espira se afasta do eixo x , o valor de y varia. Já que a velocidade é constante, podemos dizer que:

y = v t

Então podemos reescrever o fluxo do campo magnético como:

ϕ B = C v a b t

A fem induzida, por sua vez, será, em módulo:

ε = ∂ ϕ B ∂ t

ε = C v a b

Agora sim podemos encontrar uma expressão para a corrente induzida:

I = ε R

I = C v a b R

Resposta

a.

ϕ B = C y a b

b.

I = C v a b R

Exercício Resolvido #4

UFRJ – Prova 2 – 2013.1 – Questão Discursiva nº2 – letras a,b – Modificada.

Um bastão retilíneo, de comprimento a , massa m e resistência R , desliza, sem atrito, sobre um fio (rígido) condutor ideal (sem resistência), em forma de U . O sistema todo está completamente imerso em uma região de campo magnético constante (estacionário e uniforme), perpendicular ao plano que contém o sistema. Inicialmente, uma força externa é aplicada e o bastão move-se com uma velocidade constante v → 0 para a direita. A partir do instante t = 0 , essa força externa deixa de agir e o bastão passa a mover-se apenas sob a ação da força magnética, com velocidade v → t . Despreza a capacitância e a autoindutância do sistema, assim como a corrente de deslocamento.

  1. Qual é o módulo da força eletromotriz induzida no circuito (fio + bastão)?
  2. Qual é o módulo da (intensidade de) corrente elétrica que passa pelo bastão?
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Passo 1

A força eletromotriz pode ser calculada pela Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Precisamos calcular a taxa de variação do fluxo magnético. O fluxo é dado pela fórmula:

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

O campo pode ser escrito, de acordo com o enunciado, pela expressão:

B → = B - z ^

Onde B é uma constante positiva. Arbitremos nossa área no sentido positivo de z ^ . Portanto, o produto escalar fica:

B → ∙ d A → = - B d A

Substituindo da fórmula, puxamos a constante para fora:

ϕ B = - B ∬ S d A

Que resulta na área do retângulo de dimensões:

Portanto, o fluxo é:

ϕ B = - B a x

Onde x é uma função do tempo, pois a barra se move.

Passo 2

Substituindo na Lei de Faraday:

E = - ∂ - B a x ∂ t

Puxando as constantes pra fora derivamos x com respeito ao tempo:

E = B a ∂ x ∂ t

Que é a conhecida expressão do módulo da velocidade:

E = B a v t

Passo 3

Em seguida, gostaríamos de calcular a intensidade da corrente. Como sabemos que o circuito tem resistência R , pela Lei de Ohm:

E = R I

B a v t = R I

Logo:

I = B a v t R

Resposta

a)

E = B a v t

b)

I = B a v t R

Exercício Resolvido #5

PUCRIO – Prova 3 – 2014.1 – Questão nº1

Uma barra condutora de comprimento L = 40   c m é apoiada sobre trilhos condutores fixos e indeformáveis, definindo um circuito retangular, mostrado na figura. A resistência equivalente do circuito é constante e vale R = 0,002 Ω . Parte da superfície deste circuito é penetrada perpendicularmente por um campo magnético constante e uniforme de módulo B = 0,2   T , entrando na página.

Por um mecanismo não mostrado na figura, a barra é forçada a oscilar, de modo que sua posição descreve um MHS (movimento harmônico simples), com equação dada por:

x t = 100 + 10 . cos ⁡ π 10 . t     [ c m ,   s ]

a ) Calcule a fem induzida no circuito como uma função do tempo, ε i n d ( t ) .

b ) Calcule o valor máximo da corrente induzida, i m á x .

c ) Em uma nova situação, a barra é deixada em repouso na posição x = 100   c m e o campo magnético, sem mudar sua orientação, varia no tempo de acordo com a função:

B t = 0,3 . e - 10 t   [ T , s ]

Encontre o valor máximo da corrente induzida.

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Passo 1

a )    

Para determinar a fem induzida, vamos utilizar a Lei de Faraday, ela dos diz:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B . L . x ) ∂ t

ε = - B . L . ∂ x ∂ t

Sabemos como x varia em função de t , pela equação que foi dada no enunciado:

x t = 100 + 10 . cos ⁡ π 10 . t     [ c m ,   s ]

Calculando a derivada, temos:

∂ x ∂ t = - 10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

Substituindo na Lei de Faraday:

ε = - B . L . - 10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

Vamos agora substituir os valores do campo e do comprimento da barra!

ε = 0,2 10 4 . 40 .   10 . π 10 . sen ⁡ π 10 . t

ε ( t ) = π . 8 × 10 - 4 . sen ⁡ π 10 . t

De onde surgiu aquele 10 - 4 na fórmula acima?

Bom, o campo é dado em Tesla, ou seja, V . s . m - 2 , no entanto, estamos utilizando a unidade centímetros e não metros. Por isso devemos dividir por 10 4 , para que a unidade do campo vire V . s . c m 2 ! Show??

Passo 2

b )

Vamos determinar a corrente em função do tempo. Temos a nossa velha e conhecida fórmula:

i = ε R

Substituindo a função da fem, temos;

i = π . 8 × 10 - 4 0,002 . sen ⁡ π 10 . t

i = 0,4 . π . sen ⁡ π 10 . t

A corrente máxima ocorre quando sen ⁡ π 10 . t = 1 , portanto:

i m á x = 0,4 . π   A

Passo 3

c )

Para resolver esse item, vamos fazer o mesmo mimimi que fizemos no item a só que agora, temos x como valor fixo e quem varia é o campo B .

Vamos começar com a Lei de Faraday:

E = - ∂ ϕ B ∂ t

Vamos primeiro calcular o fluxo ϕ [ B ] , se liga!

ϕ B = ∬ S B → ∙ d A →

Arbitrando o vetor área no mesmo sentido do campo magnético, temos:

ϕ B = B . A

Sendo a área A = L . x , substituindo o fluxo na equação da Lei de Faraday, temos:

ε = - ∂ ( B . L . x ) ∂ t

ε = - L . x ∂ B ∂ t

Vamos agora calcular a derivada do campo magnético, se liga:

∂ B ∂ t =   0,3 . - 10 . e - 10 t