Oscilador Linear Massa-Mola

Teoria Completa

Bom, como seria um oscilador linear massa-mola? Seria um esquema desse tipo:

Então, temos um bloco preso a uma mola e realizando um movimento oscilatório, que pode ser descrito como um movimento harmônico simples (opa, uma boa aplicação do MHS) 😊 Logo, vale a seguinte equação pra descrever seu movimento:

x t = A cos ⁡ ( ω t + φ )

E em um oscilador massa-mola conseguimos usar algumas fórmulas para relacionar a constante de uma mola, k , com as características do movimento, como a frequência angular, a massa do bloco, etc.

Vamos ver como chegar nessas fórmulas, mas relaxa que é sempre o mesmo passo a passo e em boa parte dos exercícios você acaba só usando as fórmulas decoradas. Fica aqui comigo que vai dar tudo certo! Heheh

Mas antes disso, vamos dar uma olhada no conceito de força elástica.

Força Elástica

A força elástica é dada por:

F e l = - k x

Por que o " - " ?

Porque a força elástica sempre vai ser contrária a elongação. Exemplo: se você tiver puxando a mola pra direita, surgirá uma força elástica apontando pra esquerda.

Continuando...

EDO do MHS

A EDO do MHS é a seguinte:

x ¨ + ω 2 x = 0

Como chegamos a essa equação?

Lembra que vimos que a aceleração no MHS é dada por - ω 2 x ?

Então, usando a definição de aceleração instantânea:

  a = x ¨ = - ω 2 x →   x ¨ + ω 2 x = 0

No caso do sistema massa-mola, veremos que essa equação também pode ser escrita por:

x ¨ + k m x = 0

Mas e agora? Como é que chegamos a essa segunda equação?

Vamos considerar um sistema massa-mola oscilando em torno da posição de equilíbrio:

Vamos sempre analisar as forças atuantes no bloco em um instante genérico:

Só temos a força elástica (normal e peso se anulam). Então a força resultante, que é horizontal, é dada por:

F R = F e l

⇒ F R = k x

Pronto!

Agora é só substituir na Segunda Lei de Newton:

F R = m a

Só que a aceleração é a derivada segunda da posição:

a = x ¨

Substituindo:

F R = m a

⇒ k x = m x ¨

⇒ m x ¨ - k x = 0

⇒ x ¨ - k m x = 0

Opa! O que é que deu errado aqui?

Deveria ter um sinal de + ali pra ficar igual à equação do MHS, não é?

Isso aconteceu porque não colocamos o sinal correto na força elástica!

Assim, colocando o sinal negativo:

F e l = - k x

Substituindo corretamente, agora:

F R = m a

⇒ - k x = m x ¨

⇒ m x ¨ + k x = 0

⇒ x ¨ + k m x = 0

Agora sim, chegamos à equação diferencial do movimento harmônico simples do sistema massa-mola!

Comparando a equação que achamos com a equação do MHS:

x ¨ + k m x = 0

x ¨ + ω 2 x = 0

Podemos notar que:

ω 2 = k m

Logo:

ω = k m

Show? É esse passo a passo que você vai usar caso seja pedido a EDO que descreve o movimento: analisar as forças atuantes e jogar na segunda Lei de Newton. E além dessa fórmula que chegamos, você vai usar a do período e da frequência:

ω = 2 π T = k m → T = 2 π m k

f = 1 T → f = 1 2 π k m

Por exemplo, se tivermos um sistema massa-mola com um bloco de 20   k g , num movimento que se repete a cada 2   s e quiséssemos saber a constante da mola, k , como seria?

Primeiro, podemos ver que, se o movimento se repete a cada 2   s , o período T seria igual a 2   s . Além disso, vimos que:

T = 2 π m k

k = m 2 π T 2

Com isso:

k = 20 4 π 2 4 = 20 π 2 ≈ 197,4   N / m

Bora fazer uns exercícios disso aí! (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Um sistema massa-mola consiste em um bloco de massa 5 00   g preso a uma dada mola. Sabe-se que o sistema oscila com amplitude de 20 , 0   c m e que ele repete seu movimento a cada 0 , 5   s . Suponha que a posição seja dada por x t = A . cos ⁡ ( ω . t + ϕ ) . Se a posição do bloco em t = 0,120   s é a maior possível, determine:

a ) O período T e a frequência angular do movimento;

b ) A constante da mola;

c ) A velocidade máxima;

d ) A constante de fase ϕ ;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

O período é o tempo necessário para que um ciclo se complete, pelo enunciado, temos que:

T = 0 , 5   s

Agora que sabemos o período, fica molezinha determinar a frequência angular:

ω = 2 . π T

ω = 2 . π 0 , 5 = 4 . π ≈ 12,57   r a d / s

Passo 2

b )

Agora que já calculamos a frequência angular, vamos determinar a constante elástica da mola...basta lembrar que:

ω = k m

Substituindo, temos

k = m . ω 2

k = 0 , 5 . 12,57 2

k ≈ 79,00   N / m

Passo 3

c )

Para determinar a velocidade máxima do oscilador, precisamos lembrar como funciona esse negócio! O sistema, quando em posição de mínimo ou máximo, tem que sua energia mecânica é puramente elástica:

E m e c = E e l = k . x 2 2

E valerá:

E m e c = E e l = k . A 2 2 = 79 . 0 , 2 2 2

E m e c = 1 , 58   J

Quando o oscilador estive passando por x = 0 , temos que a energia mecânica será puramente energia cinética, e valerá:

K = m . v 2 2 = E m e c

Substituindo, temos:

0 , 5 . v 2 2 = 1 , 58

v = 2 , 51   m / s

Passo 4

d )

Para determinar a constante de fase, vamos olhar pra cara da função x ( t ) . Das informações que já temos, fica:

x t = A . cos ⁡ ω . t + ϕ

x t = 0 , 2 . cos ⁡ 4 π . t + ϕ

O enunciado nos diz que para t = 0,120   s , x é máximo, ou seja:

x t = 0,12 = 0 , 2

x t = 0,12 = 0 , 2 . cos ⁡ 4 π . 0,12 + ϕ = 0 , 2

cos ⁡ 0,48 π + ϕ = 1 → 0,48 π + ϕ = 0

ϕ = - 0,48 π

Resposta

a )   T = 0 , 5   s ;     ω = 4 π ≈ 1 2 , 57   r a d / s

b )   k = 79   N / m

c )   v = 2 , 51   m / s

d )   ϕ = - 0,48 π

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 105-7

Um oscilador é formado por um bloco com uma massa de   0,500   k g ligado a uma mola. Quando é posto em oscilação com uma amplitude de 35,0   c m o oscilador repete o movimento a cada 0,500   s . Determine:

(a) o período

(b) a frequência

(c) a frequência angular

(d) a constante elástica

(e) a velocidade máxima

(f) o módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Se o movimento se repete a cada 0,5   s , esse é o período:

T = 0,5 s

Passo 2

b)

A frequência será o inverso do período:

f = 1 T = 1 0,5 = 2   H z

Passo 3

c)

Com o valor do período, basta fazer:

ω = 2 π T = 2 π 0,5 = 4 π   r a d / s

Passo 4

d)

A constante elástica será dada por:

ω = k m → k = ω 2 m = 4 π 2 0,5 = 78,9   N / m

Passo 5

e)

A velocidade máxima é dada por:

v m á x = ω A = 4 π . 35.10 - 2 = 4,39   m / s

Passo 6

f)

Pra achar a força máxima, precisamos achar a aceleração máxima:

a m á x = ω 2 A = 4 π 2 35.10 - 2 = 55,26   m / s 2

Isso vezes a massa nos dá a força máxima:

F m á x = m a = 0,5.55,26 = 27,63   N

Obs.: Reparem que poderíamos ter calculado a força máxima exercida pela mola pela definição de força de uma mola elástica para a sua deformação máxima, que no caso é o valor da amplitude. Dessa forma, teríamos F m á x = k   .   A = 78,9   .   0,35 = 27,63   N .

Resposta

  1. 0,5 s
  2. 2   H z
  3. 4 π   r a d / s
  4. 78,9   N / m
  5. 4,39   m / s
  6. 27,63   N

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 106-7

Uma pedra de 50,0   g   está oscilando na extremidade inferior de uma mola vertical. Se a maior velocidade da pedra é 15,0 cm/s e o período é de 0,500 s , determine:

(a) a constante elástica da mola

(b) a amplitude do movimento

(c) a frequência da oscilação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Usando o período, podemos descobrir a frequência angular:

ω = 2 π T = 2 π 0,5 = 4 π

Assim, usando a relação:

ω 2 = k m → k = m ω 2 = 50.10 - 3 . 4 π 2 = 7,89   N / m

Passo 2

b)

Se a velocidade máxima da pedra é dada por:

v m á s x = ω A

Como já sabemos ω :

A = v m á x ω = 15.10 - 2 4 π = 1,19.10 - 2 m = 1,19 c m

Passo 3

c)

A frequência linear será dada por:

f = 1 T = 1 0,5 = 2 H z

Resposta

a)

7,89   N / m

b)

1,19 c m

c)

f = 2 H z

Exercício Resolvido #4

USP-P1-2014-Q3

As missões Apollo 15, 16 e 17 levaram um jipe para a superfície lunar. Esse jipe quando totalmente carregado possui uma massa M , a mola da suspensão possui uma frequência natural de oscilação de 1   H z medidos na superfície terrestre. Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície lunar equivale a 1 / 6 ao da aceleração na superfície terrestre, pode-se afirmar que a frequência natural de oscilação da suspensão do jipe na superfície lunar é

  1. f 0 = 6   H z
  2. f 0 = 1 / 6   H z
  3. f 0 = 6   H z
  4. Depende da massa do jipe, M
  5. f 0 =   1 / 6   H z
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de fazermos a questão, preste atenção nisso:

f 0 : Frequência natural de oscilação.

ω 0 : Frequência angular natural de oscilação.

Existem outros nomes pra essas frequências, é claro, mas essas são as mais usadas.

A frequência natural que o enunciado faz referência é o f 0 .

A gente sabe que ω 0 pode ser calculado por:

ω 0 = k M

Assim:

ω 0 = 2 π f 0 → f 0 = ω 0 2 π = 1 2 π k M

Logo, a frequência apenas depende da constante da mola e da massa do sistema.

E o que isso quer dizer, meu amigo? Que a frequência de oscilação lá na lua vai ser igual a daqui da Terra.

Então:

f 0 = 1 2 π k M

A frequência só depende da massa do jipe e da constante de mola. =)

Resposta

d)

Exercício Resolvido #5

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 107-14

Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola ( k = 400   N / m ). Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), e a aceleração do bloco são x = 0,100   m , e a = - 123   m / s 2 . Calcule

(a) a frequência de oscilação,

(b) a massa do bloco

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Como a função posição é dada por:

x t = A c o s ω t + φ

E a aceleração é dada por:

a t = - ω 2 A cos ⁡ ω t + φ

Podemos dizer que:

a t = - ω 2 x t

Sacou? Só jogamos x t ali pra baixo, na equação de a t .

Passo 2

Então, vamos usar o valor de x = 0,100 m e o valor da aceleração nesse ponto pra descobrir a frequência angular:

- 123 = - ω 2 . 0.100 → ω 2 = 1230 → ω = 35,07   r a d / s

Essa é a frequência angular. A frequência linear será:

ω = 2 π f → f = ω 2 π = 35,07 2 π = 5,58   H z

Passo 3

b)

A massa do bloco pode ser determinada se a gente usar a relação:

ω = k m → m = k ω 2 = 400 35,07 2 = 0,325   k g

Resposta

a)

ω = 35,07   r a d / s → f = 5,58   H z

b)

0,325   k g

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