Teoria Completa
O que é uma associação entre molas? Nada mais nada menos do que uma união entre elas.
Vamos aprender agora como fazer a associação entre molas de duas formas: em paralelo e em série.
Molas em paralelo
Bom, nós queremos encontrar a constante da mola equivalente. Como faremos isso com molas colocadas em paralelo? Vamos primeiro analisar a figura:
Se tivermos molas em paralelo ligadas a uma superfície, teremos uma força elástica resultante . Essa força pode ser expressa por:
Sendo e a constante e a elongação da mola 1, e a da mola 2, e a da mola 3, e assim por diante, podemos escrever:
No entanto, dê uma olhada na figura. Como elas estão postas em paralelo, a elongação de cada mola deve ser a mesma. Logo:
Logo, podemos reescrever a expressão como:
Cortando em ambos os lados:
E essa é a expressão para se calcular a constante da mola resultante em uma associação em paralelo. (:
Então é isso, nesse caso a gente só soma as constantes mesmo!
Molas em série
Bom, galera, nesse caso, não teremos uma mesma elongação para cada mola. Porém, teremos uma coisa em comum entre elas: a força.
A força é mesma para todas as molas. Podemos escrever o valor de de em função da força e da constante da mola dessa forma:
Sendo a elongação resultante, podemos escrever:
Escrevendo em função da força e da constante:
Cortando dos dois lados:
E essa é a expressão que a gente usa pra calcular o nesse caso.
Obs: Se vocês perceberem, a associação de molas segue a lógica inversa à associação de resistores elétricos.
Bom, isso pode ser um bizu: quando a associação é em paralelo, basta lembrarmos da associação em série dos resistores! O contrário também é válido!
Mas se você não lembra disso, não se preocupe, só seguir a lógica acima.
Resumindo:
Em paralelo:
Em série:
Molas cortadas
Agora a situação é um pouco diferente: e se tivéssemos uma mola, de comprimento , que fosse cortada em duas molas de comprimento e
A diferença desse caso para o que estávamos vendo é que os comprimentos são diferentes.
Assim, é de se esperar que as constantes de cada pedaço sejam diferentes, né mesmo?
Olhe o esquema acima, após termos cortado a mola. Agora pense... e se uníssemos os dois pedaços de novo, que tipo de associação estaríamos fazendo?
Estaríamos fazendo uma associação em série!!!!
Lembra que, nesse caso, a força será a mesma para todas as molas? Hum, então podemos escrever que:
E essa mesma força vai ser igual a força da mola unida (de comprimento total) dada por:
Assim:
Calma, estamos quase no fim! Agora já temos tudo o que precisamos. Basta a gente escrever, usando a igualdade acima, que:
Opa! E qual a conclusão mais legal que podemos tirar dali? É que a mola mais rígida será aquela que tiver o menor comprimento, assim como a mola menos rígida será aquela que tiver o maior comprimento.
Ou seja: a rigidez do pedaço de mola cortada é inversamente proporcional ao seu comprimento.
Beleza?
Partiu exercitar? Simbora!
Exercício Resolvido #1
Na figura, duas molas são ligadas e conectadas a um bloco de massa que é posto em oscilação sobre um piso sem atrito. Cada uma das molas possui constante elástica . Qual é a frequência das oscilações?
Passo 1
Primeiramente, vamos descobrir a constante da mola resultante da associação em série das molas da figura. Como elas estão em série, usaremos:
Com
Passo 2
Agora a gente precisa encontrar a frequência de oscilação! Bom, você lembra qual equação relaciona a constante da mola à velocidade angular? Esta aqui:
E a frequência angular pode ser escrita como:
Onde é a frequência de oscilação! Unindo as duas equações:
Substituindo , e calculando, obtemos:
Tranquilo, não é verdade? (:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um bloco de massa , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica e . Uma bala de massa e velocidade atinge o bloco como mostrado na figura abaixo.
Este sistema de duas molas da figura acima é equivalente a um sistema composto por apenas uma mola cuja constante elástica vale:
- Deduza a expressão .
- A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
Agora, considere e determine em função de , , :
Passo 1
a)
Vamos deduzir partindo da força resultante que as duas molas fazem sobre o bloco:
Sendo:
Logo:
Beleza! Mas será que existe uma relação entre os s?
Bom, como o bloco não tomba nem vai se deslocar torto, o deslocamento de cada mola deve ser igual, lembra? Vamos dar uma olhada na figura:
Caso a caixa tombaria pra frente, por exemplo. Logo:
O deslocamento da força resultante também deve ser igual. Isso acontece por que o significado da associação de molas nos diz que as duas molas poderiam ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante.
E qual seria o deslocamento dessa mola? Fica claro que deveria ser o mesmo que o das duas molas, não é?
Logo:
Passo 2
b)
Vamos resolver essa parte usando a conservação de momento do sistema. O momento se conserva já que se trata de uma colisão.(:
Antes da colisão, a bala tinha velocidade e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento inicial é:
Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala se deslocam com a mesma velocidade
Como :
E essa é a velocidade do bloco logo após a colisão!
Resposta
a)
Demonstração.
b)
Exercício Resolvido #3
Uma cadeia linear de blocos de massa , ligadas com molas de constante elástica e massa desprezível, precisa de quantas condições iniciais para a completa descrição do sistema?
Considere apenas deslocamentos longitudinais.
Passo 1
Bom galera, pra resolver a equação de um MHS do tipo:
Nós precisamos geralmente de duas condições:
Uma velocidade inicial e um espaço inicial, certo?
Assim a gente consegue descrever completamente o sistema.
Agora, um sistema composto por molas, é um sistema complexo formado por MHS, ou seja, quantas condições vamos precisar ter pra descrever todo o sistema?
A resposta é . Duas condições para cada MHS.
Resposta
e)
Exercício Resolvido #4
Considere dois sistemas massa-mola conforme a figura abaixo. A razão entre a frequência natural do sistema 1 e a frequência natural do sistema 2 é:
Passo 1
Vamos olhar primeiro o sistema .
Se deslocarmos o bloco para direita, por exemplo, a mola da direita irá empurrar o bloco com uma força e o bloco da esquerda irá puxar o bloco com uma força também (ambas as forças serão negativas porque estarão no sentido contrário a esse movimento ). Assim a força total será
Que funciona como um sistema massa mola com uma constante de mola . Como a frequência é dada por
Passo 2
Agora vamos olhar para o sistema .
Pra esse sistema, nós temos uma associação bonitinha de molas em série tal como vimos na nossa teoria.
Aí ficou fácil! Sabemos que para molas associadas em série:
Assim,
De forma que a frequência nessa situação será dada por
Passo 3
Assim a razão fica
Resposta
Letra (D)
Exercício Resolvido #5
Uma mola uniforme com é cortada em dois pedaços, 1 e 2, cujos comprimentos no estado relaxado são e . Qual é o valor:
(a) de ?
(b) de ?
Um bloco preso na mola original oscila com uma frequência de . Qual é a frequência de oscilação se o bloco for preso:
(c) no pedaço 1?
(d) no pedaço 2?
Passo 1
Bom, como vimos na teoria, a constante vai ser inversamente proporcional ao comprimento da mola: a mais rígida será a mais curta, a menos rígida será a mais longa.
Passo 2
Assim:
a)
Observe que usamos , ou seja, o comprimento total da mola é a soma das duas partes cortadas.
Sacou? (:
Passo 3
b)
Vamos seguir o mesmo raciocínio:
Show?
Passo 4
c)
Beleza, aqui o enunciado te deu duas informações: a frequência de oscilação e a constante da mola original. Com isso, podemos determinar a massa do bloco e depois aplicar a equação pro pedaço de mola que o item (c) menciona.
A frequência da mola original vale:
Assim, usando a relação:
Achamos a massa!!!
Agora vamos imaginar que esse bloco, com essa massa, esteja oscilando com a mola de comprimento Só a gente reaplicar a equação:
A frequência de oscilação é dada por:
Passo 5
d)
Bom, agora é só fazer a mesma coisa com o pedaço 2:
A frequência de oscilação é dada por:
Resposta
a)
b)
c)
d)