Associação de Molas

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre associação de molas e como adaptar a lei de Hooke para molas em série ou em paralelo. A ideia é você sair daqui sabendo resolver um problemão desse tipo aqui:

Associação com molas em série e em paralelo.
Associação com molas em série e em paralelo.

Tá preparado? Então vem comigo!

Ah, vou deixar aqui embaixo alguns links de conteúdos prévios a esse aqui que são importantes pra você chegar arrasando. O primeiro trata da força elástica e da lei de Hooke com um pouco mais de detalhes do que vou abordar aqui!

Veja também

Lei de Hooke

A lei de Hooke estabelece uma proporção entre a força elástica () e a deformação () sofrida por uma mola. A fórmula mais comum é essa aqui:

Aquele k que aparece ali é a constante elástica. Esse cara vai ser o personagem principal aqui quando começarmos a tratar de associações.

Associação de Molas em Paralelo

Quando posicionamos molas lado a lado conectadas ao mesmo objeto, dizemos que elas estão associadas em paralelo.

Molas associadas em paralelo.
Molas associadas em paralelo.

Nessa imagem eu coloquei só duas molas, mas poderíamos associar muito mais, beleza?

O que eu quero que você repare é como ambas as molas sofrerão a mesma deformação quando uma força for aplicada ali naquela caixa.

As molas associadas em paralelo sofrem a mesma deformação.
As molas associadas em paralelo sofrem a mesma deformação.

Importante: embora pareça intuitivo, a força elástica de cada mola não é a mesma. Pois, se elas tiverem constantes elásticas diferentes, exercerão resistências à deformação também diferentes!

Vamos chamar a mola de cima de mola 1 e a de baixo de mola 2. Com isso, podemos equacionar a lei de Hooke para cada uma:

Se somarmos as duas equações, podemos encontrar a força elástica total:

Só que, ali na imagem anterior, a gente percebeu que a deformação é a mesma para ambas as molas, não foi? Então vamos chamar e de uma coisa só: .

E a força total também pode ser dada pelo produto de constante elástica equivalente e da deformação total:

Então:

Agora a gente pode cortar aquele , já que ele é comum para todas as parcelas.

E assim a gente conclui que, para molas associadas em paralelo, a constante elástica equivalente é a soma das constantes individuais de cada mola.

E novamente, isso vale para qualquer número de molas!

Molas Associadas em Série

Agora, para associarmos molas em série, devemos posicioná-las em sequência, como nesse exemplo aqui:

A sacada aqui é outra: a deformação sofrida por cada mola não é a mesma, mas a força aplicada sobre elas, é!

Ao aplicar uma força, seja puxando ou empurrando a caixa, a primeira mola (conectada à caixa) começa a deformar e exerce uma força elástica puxando ou pressionando a segunda mola. E assim por diante, para quantas molas estiverem associadas!

A gente ainda pode chamar a soma das deformações de uma deformação total .

E a força exercida sobre cada mola é a mesma, como descobrimos ali pela análise da figura. Então, a gente pode fazer assim:

Aí a gente pode escrever aquela relação anterior (das somas das deformações) em termos da força e da constante:

Como as forças são todas iguais e comuns para todas as parcelas, podemos cortá-la.

E assim a gente consegue encontrar a constante equivalente para molas associadas em série!

Novamente, vale lembrar que isso vale para qualquer número de molas.

Associação de Molas em Série e em Paralelo

Se tivermos uma situação com um conjunto de molas associadas tanto em série quanto em paralelo, devemos fazer uma análise mais cuidadosa. O segredo é começar sempre pelo menor número de associações.

Por exemplo, se tivermos uma situação como aquela que te mostrei lá no início da página, começamos a análise pelas molas associadas em paralelo para obter as resultantes. Depois disso, fazemos a análise das molas associadas em série com essas resultantes!

Belezinha? Agora é a hora de praticar com alguns dos nossos exercícios resolvidos passo a passo!

Molas Associadas em Série

Associação de Molas em Série e em Paralelo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Na figura, duas molas são ligadas e conectadas a um bloco de massa 0,245   kg que é posto em oscilação sobre um piso sem atrito. Cada uma das molas possui constante elástica k = 6430   N / m . Qual é a frequência das oscilações?

Passo 1

Primeiramente, vamos descobrir a constante da mola resultante da associação em série das molas da figura. Como elas estão em série, usaremos:

1 k r = 1 k 1 + 1 k 2

Com k 1 = k 2 = k = 6430   N / m

1 k r = 1 k + 1 k   = 2 k

k r = k 2 = 6430 2 = 3215   N / m

Passo 2

Agora a gente precisa encontrar a frequência de oscilação! Bom, você lembra qual equação relaciona a constante da mola à velocidade angular? Esta aqui:

ω = k r m

E a frequência angular pode ser escrita como:

ω = 2 π f

Onde f é a frequência de oscilação! Unindo as duas equações:

2 π f = k r m   → f = 1 2 π ⋅ k r m

Substituindo k r = 3215   N / m ,   m = 0,245   kg e calculando, obtemos:

f ≅ 18,2   Hz

Tranquilo, não é verdade? (:

Resposta

f ≅ 18,2   Hz

Exercício Resolvido #2

Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica k 1 e k 2 . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na figura abaixo.

Este sistema de duas molas da figura acima é equivalente a um sistema composto por apenas uma mola cuja constante elástica vale: k e f = k 1 + k 2

  1. Deduza a expressão k e f = k 1 + k 2 .
  2. Agora, considere k 1 = k 2 / 2 e determine em função de M , m , v :

  3. A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.

Passo 1

a)

Vamos deduzir partindo da força resultante que as duas molas fazem sobre o bloco:

F R = F 1 + F 2

Sendo:

F 1 = k 1 x 1

F 2 = k 2 x 2

F R = k e f x e f

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

Beleza! Mas será que existe uma relação entre os " x" s?

Bom, como o bloco não tomba nem vai se deslocar torto, o deslocamento de cada mola deve ser igual, lembra? Vamos dar uma olhada na figura:

Caso x 1 > x 2 a caixa tombaria pra frente, por exemplo. Logo:

x 1 = x 2 = x e f = x

O deslocamento da força resultante também deve ser igual. Isso acontece por que o significado da associação de molas nos diz que as duas molas poderiam ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante.

E qual seria o deslocamento dessa mola? Fica claro que deveria ser o mesmo que o das duas molas, não é?

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

k e f x = k 1 x + k 2 x

k e f = k 1 + k 2

Passo 2

b)

Vamos resolver essa parte usando a conservação de momento do sistema. O momento se conserva já que se trata de uma colisão.(:

Antes da colisão, a bala tinha velocidade v e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento inicial é:

Q i = m v + M . 0 = m v

Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala se deslocam com a mesma velocidade v 2 :

M v 2 + m v 2 = Q f

Como Q i = Q f :

v 2 M + m = m v

v 2 = m v M + m

E essa é a velocidade do bloco logo após a colisão!

Resposta

a)

Demonstração.

b)

v 2 = m v M + m

Exercício Resolvido #3

Uma cadeia linear de n blocos de massa m , ligadas com molas de constante elástica k e massa desprezível, precisa de quantas condições iniciais para a completa descrição do sistema?

Considere apenas deslocamentos longitudinais.

  1. 2 n - 2
  2. 2 n + 1
  3. 2 n - 1
  4. n
  5. 2 n

Passo 1

Bom galera, pra resolver a equação de um MHS do tipo:

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Nós precisamos geralmente de duas condições:

Uma velocidade inicial e um espaço inicial, certo?

Assim a gente consegue descrever completamente o sistema.

Agora, um sistema composto por n molas, é um sistema complexo formado por n   MHS, ou seja, quantas condições vamos precisar ter pra descrever todo o sistema?

A resposta é 2 n . Duas condições para cada MHS.

Resposta

e)

Exercício Resolvido #4

Considere dois sistemas massa-mola conforme a figura abaixo. A razão entre a frequência natural do sistema 1 e a frequência natural do sistema 2 é:

  1. ω 1 / ω 2 = 2
  2. ω 1 / ω 2 = 2 / 3
  3. ω 1 / ω 2 = 1 / 2
  4. ω 1 / ω 2 = 3 / 2
  5. ω 1 / ω 2 = 2 / 2

Passo 1

Vamos olhar primeiro o sistema 1 .

Se deslocarmos o bloco para direita, por exemplo, a mola da direita irá empurrar o bloco com uma força - k Δ x e o bloco da esquerda irá puxar o bloco com uma força - k Δ x também (ambas as forças serão negativas porque estarão no sentido contrário a esse movimento ). Assim a força total será

F = - 2 k Δ x

Que funciona como um sistema massa mola com uma constante de mola 2 k . Como a frequência é dada por ω = k r / m

ω 1 = 2 k 2 m = k m

Passo 2

Agora vamos olhar para o sistema 2 .

Pra esse sistema, nós temos uma associação bonitinha de molas em série tal como vimos na nossa teoria.

Aí ficou fácil! Sabemos que para molas associadas em série:

1 k r = 1 k 1 + 1 k 2 + ⋯

Assim,

1 k r = 1 k 1 + 1 k 2 = 1 k + 1 2 k ∴ k r = 2 k 3

De forma que a frequência nessa situação será dada por

ω 2 = 2 k / 3 m = 2 k 3 m

Passo 3

Assim a razão ω 1 / ω 2 fica

ω 1 ω 2 = k m 2 k 3 m = k m × 3 m 2 k = 3 2

Resposta

Letra (D)

Exercício Resolvido #5

Uma mola uniforme com k = 8600   N / m é cortada em dois pedaços, 1 e 2, cujos comprimentos no estado relaxado são L 1 = 7,0   c m   e L 2 = 10   c m . Qual é o valor:

(a) de k 1 ?

(b) de k 2 ?

Um bloco preso na mola original oscila com uma frequência de 220   H z . Qual é a frequência de oscilação se o bloco for preso:

(c) no pedaço 1?

(d) no pedaço 2?

Passo 1

Bom, como vimos na teoria, a constante vai ser inversamente proporcional ao comprimento da mola: a mais rígida será a mais curta, a menos rígida será a mais longa.

Passo 2

Assim:

a)

k 1 = k L L 1 = 8600 . 7,0.10 - 2 + 10.10 - 2 7,0.10 - 2 = 8600.1 7 . 10 - 2 7 . 10 - 2 ≅ 20886   N / m

Observe que usamos L = 7 c m + 10 c m = 17 c m , ou seja, o comprimento total da mola é a soma das duas partes cortadas.

Sacou? (:

Passo 3

b)

Vamos seguir o mesmo raciocínio:

k 2 = k L L 2 = 8600 . 7,0.10 - 2 + 10.10 - 2 10.10 - 2 = 8600.1,7 1,0 = 14620   N / m

Show?

Passo 4

c)

Beleza, aqui o enunciado te deu duas informações: a frequência de oscilação e a constante da mola original. Com isso, podemos determinar a massa do bloco e depois aplicar a equação pro pedaço de mola que o item (c) menciona.

A frequência da mola original vale:

f = 220 H z → ω = 2 π f → ω = 2 π . 220 = 1382,3   r a d / s

Assim, usando a relação:

ω = k m → m = k ω 2 = 8600 1382,3 2 = 4,5.10 - 3   k g

Achamos a massa!!!

Agora vamos imaginar que esse bloco, com essa massa, esteja oscilando com a mola de comprimento 7 c m . Só a gente reaplicar a equação:

ω 1 = k 1 m = 20886 4,5.10 - 3 = 2154,2   r a d / s

A frequência de oscilação é dada por:

f 1 = ω 1 2 π = 2154,2 2 π = 342,8 H z

Passo 5

d)

Bom, agora é só fazer a mesma coisa com o pedaço 2:

ω 2 = k 2 m = 14620 4,5.10 - 3 = 1802,5   r a d / s

A frequência de oscilação é dada por:

f 2 = ω 2 2 π = 1802,5 2 π = 286,9 H z

Resposta

a)

20886   N / m

b)

14620   N / m

c)

342,8   H z

d)

286,9   H z

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