Associação de Molas

Teoria Completa

O que é uma associação entre molas? Nada mais nada menos do que uma união entre elas.

Vamos aprender agora como fazer a associação entre molas de duas formas: em paralelo e em série.

Molas em paralelo

Bom, nós queremos encontrar a constante da mola equivalente. Como faremos isso com molas colocadas em paralelo? Vamos primeiro analisar a figura:

Se tivermos n molas em paralelo ligadas a uma superfície, teremos uma força elástica resultante F r . Essa força pode ser expressa por:

F r = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 + … + F n

Sendo k 1 e x 1 a constante e a elongação da mola 1,   k 2 e x 2 a da mola 2,   k 3 e x 3 a da mola 3, e assim por diante, podemos escrever:

k r x r = k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 + k 4 x 4 + … + k n x n

No entanto, dê uma olhada na figura. Como elas estão postas em paralelo, a elongação de cada mola deve ser a mesma. Logo:

x r = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = … = x n = x

Logo, podemos reescrever a expressão como:

k r x = k 1 x + k 2 x + k 3 x + k 4 x + … + k n x

Cortando x   em ambos os lados:

k r = k 1 + k 2 + k 3 + k 4 + … + k n

E essa é a expressão para se calcular a constante da mola resultante em uma associação em paralelo. (:

Então é isso, nesse caso a gente só soma as constantes mesmo!

Molas em série

Bom, galera, nesse caso, não teremos uma mesma elongação para cada mola. Porém, teremos uma coisa em comum entre elas: a força.

A força é mesma para todas as molas. Podemos escrever o valor de x de em função da força e da constante da mola dessa forma:

F = k x ↔ x = F k

Sendo x r a elongação resultante, podemos escrever:

x r = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + … + x n

Escrevendo em função da força e da constante:

F k r = F k 1   +   F k 2   +   F k 3 +   F k 4 + … + F k n

Cortando F dos dois lados:

1 k r = 1 k 1   +   1 k 2   +   1 k 3 +   1 k 4 + … + 1 k n

E essa é a expressão que a gente usa pra calcular o k r nesse caso.

Obs: Se vocês perceberem, a associação de molas segue a lógica inversa à associação de resistores elétricos.

Bom, isso pode ser um bizu: quando a associação é em paralelo, basta lembrarmos da associação em série dos resistores! O contrário também é válido!

Mas se você não lembra disso, não se preocupe, só seguir a lógica acima.

Resumindo:

Em paralelo: k r = k 1 + k 2 + k 3 + … k n

Em série: 1 k r = 1 k 1 + 1 k 2 + … + 1 k n

Molas cortadas

Agora a situação é um pouco diferente: e se tivéssemos uma mola, de comprimento L , que fosse cortada em duas molas de comprimento L 1 e L 2 ?

A diferença desse caso para o que estávamos vendo é que os comprimentos são diferentes.

Assim, é de se esperar que as constantes de cada pedaço sejam diferentes, né mesmo?

Olhe o esquema acima, após termos cortado a mola. Agora pense... e se uníssemos os dois pedaços de novo, que tipo de associação estaríamos fazendo?

Estaríamos fazendo uma associação em série!!!!

Lembra que, nesse caso, a força será a mesma para todas as molas? Hum, então podemos escrever que:

k 1 L 1 = k 2 L 2

E essa mesma força vai ser igual a força da mola unida (de comprimento total) dada por:

F = k L

Assim:

k 1 L 1 = k 2 L 2 = k L

Calma, estamos quase no fim! Agora já temos tudo o que precisamos. Basta a gente escrever, usando a igualdade acima, que:

k 1 = k L L 1

k 2 = k L L 2

Opa! E qual a conclusão mais legal que podemos tirar dali? É que a mola mais rígida será aquela que tiver o menor comprimento, assim como a mola menos rígida será aquela que tiver o maior comprimento.

Ou seja: a rigidez do pedaço de mola cortada é inversamente proporcional ao seu comprimento.

Beleza?

Partiu exercitar? Simbora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ- Lista para P1- Lista de Oscilações- 9

Na figura, duas molas são ligadas e conectadas a um bloco de massa 0,245   kg que é posto em oscilação sobre um piso sem atrito. Cada uma das molas possui constante elástica k = 6430   N / m . Qual é a frequência das oscilações?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos descobrir a constante da mola resultante da associação em série das molas da figura. Como elas estão em série, usaremos:

1 k r = 1 k 1 + 1 k 2

Com k 1 = k 2 = k = 6430   N / m

1 k r = 1 k + 1 k   = 2 k

k r = k 2 = 6430 2 = 3215   N / m

Passo 2

Agora a gente precisa encontrar a frequência de oscilação! Bom, você lembra qual equação relaciona a constante da mola à velocidade angular? Esta aqui:

ω = k r m

E a frequência angular pode ser escrita como:

ω = 2 π f

Onde f é a frequência de oscilação! Unindo as duas equações:

2 π f = k r m   → f = 1 2 π ⋅ k r m

Substituindo k r = 3215   N / m ,   m = 0,245   kg e calculando, obtemos:

f ≅ 18,2   Hz

Tranquilo, não é verdade? (:

Resposta

f ≅ 18,2   Hz

Exercício Resolvido #2

UNICAMP-Questão 1 - P2.2010 Noturno

Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica k 1 e k 2 . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na figura abaixo.

Este sistema de duas molas da figura acima é equivalente a um sistema composto por apenas uma mola cuja constante elástica vale: k e f = k 1 + k 2

  1. Deduza a expressão k e f = k 1 + k 2 .
  2. Agora, considere k 1 = k 2 / 2 e determine em função de M , m , v :

  3. A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Vamos deduzir partindo da força resultante que as duas molas fazem sobre o bloco:

F R = F 1 + F 2

Sendo:

F 1 = k 1 x 1

F 2 = k 2 x 2

F R = k e f x e f

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

Beleza! Mas será que existe uma relação entre os " x" s?

Bom, como o bloco não tomba nem vai se deslocar torto, o deslocamento de cada mola deve ser igual, lembra? Vamos dar uma olhada na figura:

Caso x 1 > x 2 a caixa tombaria pra frente, por exemplo. Logo:

x 1 = x 2 = x e f = x

O deslocamento da força resultante também deve ser igual. Isso acontece por que o significado da associação de molas nos diz que as duas molas poderiam ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante.

E qual seria o deslocamento dessa mola? Fica claro que deveria ser o mesmo que o das duas molas, não é?

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

k e f x = k 1 x + k 2 x

k e f = k 1 + k 2

Passo 2

b)

Vamos resolver essa parte usando a conservação de momento do sistema. O momento se conserva já que se trata de uma colisão.(:

Antes da colisão, a bala tinha velocidade v e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento inicial é:

Q i = m v + M . 0 = m v

Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala se deslocam com a mesma velocidade v 2 :

M v 2 + m v 2 = Q f

Como Q i = Q f :

v 2 M + m = m v

v 2 = m v M + m

E essa é a velocidade do bloco logo após a colisão!

Resposta

a)

Demonstração.

b)

v 2 = m v M + m

Exercício Resolvido #3

Uma cadeia linear de n blocos de massa m , ligadas com molas de constante elástica k e massa desprezível, precisa de quantas condições iniciais para a completa descrição do sistema?

Considere apenas deslocamentos longitudinais.

  1. 2 n - 2
  2. 2 n + 1
  3. 2 n - 1
  4. n
  5. 2 n
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom galera, pra resolver a equação de um MHS do tipo:

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Nós precisamos geralmente de duas condições:

Uma velocidade inicial e um espaço inicial, certo?

Assim a gente consegue descrever completamente o sistema.

Agora, um sistema composto por n molas, é um sistema complexo formado por n   MHS, ou seja, quantas condições vamos precisar ter pra descrever todo o sistema?

A resposta é 2 n . Duas condições para cada MHS.

Resposta

e)

Exercício Resolvido #4

Considere dois sistemas massa-mola conforme a figura abaixo. A razão entre a frequência natural do sistema 1 e a frequência natural do sistema 2 é:

  1. ω 1 / ω 2 = 2
  2. ω 1 / ω 2 = 2 / 3
  3. ω 1 / ω 2 = 1 / 2
  4. ω 1 / ω 2 = 3 / 2
  5. ω 1 / ω 2 = 2 / 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos olhar primeiro o sistema 1 .

Se deslocarmos o bloco para direita, por exemplo, a mola da direita irá empurrar o bloco com uma força - k Δ x e o bloco da esquerda irá puxar o bloco com uma força - k Δ x também (ambas as forças serão negativas porque estarão no sentido contrário a esse movimento ). Assim a força total será

F = - 2 k Δ x

Que funciona como um sistema massa mola com uma constante de mola 2 k . Como a frequência é dada por ω = k r / m

ω 1 = 2 k 2 m = k m

Passo 2

Agora vamos olhar para o sistema 2 .

Pra esse sistema, nós temos uma associação bonitinha de molas em série tal como vimos na nossa teoria.

Aí ficou fácil! Sabemos que para molas associadas em série:

1 k r = 1 k 1 + 1 k 2 + ⋯

Assim,

1 k r = 1 k 1 + 1 k 2 = 1 k + 1 2 k ∴ k r = 2 k 3

De forma que a frequência nessa situação será dada por

ω 2 = 2 k / 3 m = 2 k 3 m

Passo 3

Assim a razão ω 1 / ω 2 fica

ω 1 ω 2 = k m 2 k 3 m = k m × 3 m 2 k = 3 2