Pêndulo Físico

Teoria Completa

Introdução

A gente já viu pêndulo simples e sabe mais ou menos como ele funciona, lembra dele?

Mas e se por acaso o nosso pêndulo for desse jeito aqui?

Nesse caso teremos um pêndulo físico! Mas qual é a principal diferença entre eles?

No caso do pêndulo simples a concentração de massa era em um ponto único, no caso da figura na bolinha.

Já no pêndulo físico a barra tem massa distribuída ao longo do corpo, temos um corpo de massa m e momento de inércia I , preso a um eixo em um ponto cuja distância ao centro de massa é d .

Aqui consideraremos toda a massa distribuída como uma massa resultante que colocaremos no centro de massa. Nas barras homogêneas o centro de massa está localizado no centro da barra nos outros casos a posição será dada ou calculada.

Beleza, entrou toda essa galera, mas e agora como eu calculo o período de um pêndulo físico com toda essa gente?

Ah, moleza né é só usar a equação:

T = 2 π L g

Não mesmo! Essa equação era do pêndulo simples precisaremos encontrar outra pro caso do pêndulo físico!

Período do Pêndulo Físico

O nosso objetivo aqui é encontrar a equação do período do pêndulo Físico.

Vamos ao passo-a-passo:

Passo 1: diagrama de corpos livres e forças atuantes.

E pra cá a gente vai usar a segunda lei de newton pra rotação:

τ R = I α

Onde I é o momento de inércia da barra e α é a aceleração angular dela no sentido do movimento oscilatório.

Vamos calcular o torque em relação ao ponto do eixo, ou seja, o ponto que não se move. Mas antes vamos decompor o peso em duas direções pois apenas em uma delas o peso vai gerar algum torque.

Vamos definir como x a direção perpendicular a barra e y a direção da barra:

Passo 2: encontrar torque resultante:

A força normal está atuando em cima do eixo de rotação portanto pra ela a distância do eixo é 0, e por isso não gera torque.

A força P y está na direção da barra, e acaba fazendo um ângulo de 0 ° com a distância do centro de massa. Portanto o torque da força P y é zero.

E a única força que gera algum torque é o P x que faz 90 ° em relação a barra, e é dado por:

P x = - P s e n θ

O sinal negativo é dado pelo nosso referencial adotado.

Enfim podemos dizer que o torque gerado pela força peso em x é:

τ R = - P d sen ⁡ θ

Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton da rotação.

τ R = I α

Como α = θ ¨

⇒ - P d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + P d θ = 0

θ ¨ + P d I θ = 0

Pronto! Já está no formato da equação do MHS (Lembra dela?)

θ ¨ + ω 2 θ = 0

E como o sinal deu positivo, acertamos de primeira.

Comparando com a equação do MHS, a gente pode ver que:

ω = P d I

Como a frequência angular que a gente conhece é dada por:

ω = 2 π T

E enfim isolamos o período:

T = 2 π I P d

Algumas faculdades não cobram o desenvolvimento dessas equações, mas você vai precisar pelo menos saber quem são elas e quando usá-las.

Vamos então guardar com carinho a equação da frequência angular:

ω = P d I

E a equação do período.

T = 2 π I P d

E também é possível calcular a frequência da oscilação do pêndulo, de dois jeitos:

f = 1 T

f = ω 2 π

Na Prática

Bom a gente aprendeu como calcular o período e a frequência angular do pêndulo físico, vamos ver se aprendemos mesmo?

Se a nossa querida barra do exemplo for homogênea, possuir massa M = 5 k g e comprimento L = 3 m , qual será a frequência angular e o período de oscilação dela?

Bom, aqui a gente já analisou a situação e vimos que a frequência angular é dada por:

ω = P d I

Mas quem é d ? Como a barra é homogênea, a distância do centro de massa até o eixo de rotação fica no meio dela.

d = L 2 = 3 2 m

E o peso sabemos que é:

P = m g = 5 × 9,81 = 49,05 N

Enfim falta pra nós o momento de inércia que para uma barra é dado por:

I c m = M L 2 12

Porém no nosso caso o eixo do centro de massa está deslocado do eixo de rotação de uma distância d .

Sendo assim precisaremos usar o teorema dos eixos paralelos que diz o seguinte:

I = I c m + M d 2

Então o momento de inércia fica:

I = M L 2 12 + M L 2 2

I = M L 2 12 + M L 2 4 = 4 M L 2 12

Simplificando temos:

I = M L 2 3 = 5 × 3 2 3 = 15 k g m 2

Substituindo na equação da frequência temos:

ω = P d I = 49,05 × 1,5 15 = 2,21 r a d / s

E como o período é dado por:

T = 2 π ω = 2 π 2,21 = 2,84 s

Encontramos o período de oscilação.

Poderíamos também fazer também com as equações e desenvolver mais um pouco para achar uma solução que não dependa da massa, saca só:

ω = P d I = M g L 2 M L 2 3

E enfim temos, pra esse caso a frequência angular independente da massa:

ω = 3 g 2 L

E o período também é independe da massa, basta usarmos:

T = 2 π ω

T = 2 π 2 L 3 g    

Lembrando que essas equações independentes da massa foram deduzidas a partir do momento de inércia desse tipo de barra com o centro de massa no meio da largura L .

Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-43.

Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 c m e 500 g de massa preso a uma barra uniforme de comprimento L = 500 m m e massa m = 270 g .

  1. Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão.
  2. Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo?
  3. Calcule o período de oscilação.

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de um disco de massa M :

I C M = M R 2 2

Momento de inércia de centro de massa de uma barra de massa M :

I c m = M L 2 12

Gravidade:

g = 10   m / s 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a):

Vamos olhar o esquema abaixo:

Como você pode ver, o C M vai estar mais deslocado pro circulo.

Passo 2

Bora calcular o momento de inércia do conjunto em relação ao ponto de rotação. O momento de inércia vai ser a soma dos momentos de inércia da barra e do círculo:

I = I b a r r a + I c í r c u l o

Como o eixo de rotação não passa por cima de nenhum dos centros de massa, teremos que usar o teorema dos eixos paralelos em cada caso.

Primeiro a barra:

I b a r r a = M L 2 12 + M L 2 2 = M L 2 3 = 270.10 - 3 . 500.10 - 3 2 3 = 22,5 . 10 - 3   k g . m 2

Perceba que a distância do centro de massa da barra até o eixo de rotação é L 2 .

Agora o do círculo:

I c i r c u l o = M R 2 2 + M L + r 2

Sacou? Percebeu que a distância do centro do disco até o eixo é o comprimento da barra mais o raio do círculo?

Beleza, então:

I c í r c u l o = 500.10 - 3 . 10.10 - 2 2 2 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 2 = 182,5.10 - 3   k g . m 2

Assim:

I = 22,5 . 10 - 3 + 182,5.10 - 3 = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Passo 3

b):

Vamos calcular agora a posição do centro de massa do pêndulo. Se você não lembra muito bem desse assunto, dê uma olhada no nosso conteúdo de Física 1 (:

O centro de massa será dado por:

x C M = ( M b a r r a . x b a r r a + M c i r c u l o . x c i r c u l o ) M b a r r a + M c i r c u l o

A gente tá tomando a origem como sendo o ponto de rotação. Se liga nisso (:

Além disso, cada x de cada objeto é a posição do centro de massa do mesmo em relação ao ponto de rotação.

Assim:

x C M = 270.10 - 3 . 250.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 270.10 - 3 + 500.10 - 3 = 47,7 c m = 470 m m

Como a gente tinha visto, a posição do centro de massa está bem deslocado pra posição do círculo.

Passo 4

c):

Agora que a gente já calculou tudo que tínhamos que calcular, fica fácil calcular o período de oscilação. Só a gente aplicar a fórmula:

T = 2 π I P d

Onde P é o peso do corpo todo e d a distância do centro de massa do corpo até o ponto de rotação.

No caso, como calculamos o centro de massa em relação ao centro de rotação, o d vai ser o próprio valor da posição x :

d = x C M = 47,7.10 - 2 m

E o peso vai ser dado por:

P = M + m g = 270.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10 = 7,7   N

E como:

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Podemos aplicar todos os valores na equação do período:

T = 2 π I P d = 2 π 205 . 10 - 3 7,7   . 47,7.10 - 2 = 1,50   s

Resposta

a):

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

b):

x C M = 47,7 c m = 470 m m