Pêndulo Físico

Teoria Completa

Introdução

A gente já viu pêndulo simples e sabe mais ou menos como ele funciona, lembra dele?

Mas e se por acaso o nosso pêndulo for desse jeito aqui?

Nesse caso teremos um pêndulo físico! Mas qual é a principal diferença entre eles?

No caso do pêndulo simples a concentração de massa era em um ponto único, no caso da figura na bolinha.

Já no pêndulo físico a barra tem massa distribuída ao longo do corpo, temos um corpo de massa m e momento de inércia I , preso a um eixo em um ponto cuja distância ao centro de massa é d .

Aqui consideraremos toda a massa distribuída como uma massa resultante que colocaremos no centro de massa. Nas barras homogêneas o centro de massa está localizado no centro da barra nos outros casos a posição será dada ou calculada.

Beleza, entrou toda essa galera, mas e agora como eu calculo o período de um pêndulo físico com toda essa gente?

Ah, moleza né é só usar a equação:

T = 2 π L g

Não mesmo! Essa equação era do pêndulo simples precisaremos encontrar outra pro caso do pêndulo físico!

Período do Pêndulo Físico

O nosso objetivo aqui é encontrar a equação do período do pêndulo Físico.

Vamos ao passo-a-passo:

Passo 1: diagrama de corpos livres e forças atuantes.

E pra cá a gente vai usar a segunda lei de newton pra rotação:

τ R = I α

Onde I é o momento de inércia da barra e α é a aceleração angular dela no sentido do movimento oscilatório.

Vamos calcular o torque em relação ao ponto do eixo, ou seja, o ponto que não se move. Mas antes vamos decompor o peso em duas direções pois apenas em uma delas o peso vai gerar algum torque.

Vamos definir como x a direção perpendicular a barra e y a direção da barra:

Passo 2: encontrar torque resultante:

A força normal está atuando em cima do eixo de rotação portanto pra ela a distância do eixo é 0, e por isso não gera torque.

A força P y está na direção da barra, e acaba fazendo um ângulo de 0 ° com a distância do centro de massa. Portanto o torque da força P y é zero.

E a única força que gera algum torque é o P x que faz 90 ° em relação a barra, e é dado por:

P x = - P s e n θ

O sinal negativo é dado pelo nosso referencial adotado.

Enfim podemos dizer que o torque gerado pela força peso em x é:

τ R = - P d sen ⁡ θ

Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton da rotação.

τ R = I α

Como α = θ ¨

⇒ - P d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + P d θ = 0

θ ¨ + P d I θ = 0

Pronto! Já está no formato da equação do MHS (Lembra dela?)

θ ¨ + ω 2 θ = 0

E como o sinal deu positivo, acertamos de primeira.

Comparando com a equação do MHS, a gente pode ver que:

ω = P d I

Como a frequência angular que a gente conhece é dada por:

ω = 2 π T

E enfim isolamos o período:

T = 2 π I P d

Algumas faculdades não cobram o desenvolvimento dessas equações, mas você vai precisar pelo menos saber quem são elas e quando usá-las.

Vamos então guardar com carinho a equação da frequência angular:

ω = P d I

E a equação do período.

T = 2 π I P d

E também é possível calcular a frequência da oscilação do pêndulo, de dois jeitos:

f = 1 T

f = ω 2 π

Na Prática

Bom a gente aprendeu como calcular o período e a frequência angular do pêndulo físico, vamos ver se aprendemos mesmo?

Se a nossa querida barra do exemplo for homogênea, possuir massa M = 5 k g e comprimento L = 3 m , qual será a frequência angular e o período de oscilação dela?

Bom, aqui a gente já analisou a situação e vimos que a frequência angular é dada por:

ω = P d I

Mas quem é d ? Como a barra é homogênea, a distância do centro de massa até o eixo de rotação fica no meio dela.

d = L 2 = 3 2 m

E o peso sabemos que é:

P = m g = 5 × 9,81 = 49,05 N

Enfim falta pra nós o momento de inércia que para uma barra é dado por:

I c m = M L 2 12

Porém no nosso caso o eixo do centro de massa está deslocado do eixo de rotação de uma distância d .

Sendo assim precisaremos usar o teorema dos eixos paralelos que diz o seguinte:

I = I c m + M d 2

Então o momento de inércia fica:

I = M L 2 12 + M L 2 2

I = M L 2 12 + M L 2 4 = 4 M L 2 12

Simplificando temos:

I = M L 2 3 = 5 × 3 2 3 = 15 k g m 2

Substituindo na equação da frequência temos:

ω = P d I = 49,05 × 1,5 15 = 2,21 r a d / s

E como o período é dado por:

T = 2 π ω = 2 π 2,21 = 2,84 s

Encontramos o período de oscilação.

Poderíamos também fazer também com as equações e desenvolver mais um pouco para achar uma solução que não dependa da massa, saca só:

ω = P d I = M g L 2 M L 2 3

E enfim temos, pra esse caso a frequência angular independente da massa:

ω = 3 g 2 L

E o período também é independe da massa, basta usarmos:

T = 2 π ω

T = 2 π 2 L 3 g    

Lembrando que essas equações independentes da massa foram deduzidas a partir do momento de inércia desse tipo de barra com o centro de massa no meio da largura L .

Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-43.

Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 c m e 500 g de massa preso a uma barra uniforme de comprimento L = 500 m m e massa m = 270 g .

  1. Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão.
  2. Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo?
  3. Calcule o período de oscilação.

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de um disco de massa M :

I C M = M R 2 2

Momento de inércia de centro de massa de uma barra de massa M :

I c m = M L 2 12

Gravidade:

g = 10   m / s 2

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Passo 1

a):

Vamos olhar o esquema abaixo:

Como você pode ver, o C M vai estar mais deslocado pro circulo.

Passo 2

Bora calcular o momento de inércia do conjunto em relação ao ponto de rotação. O momento de inércia vai ser a soma dos momentos de inércia da barra e do círculo:

I = I b a r r a + I c í r c u l o

Como o eixo de rotação não passa por cima de nenhum dos centros de massa, teremos que usar o teorema dos eixos paralelos em cada caso.

Primeiro a barra:

I b a r r a = M L 2 12 + M L 2 2 = M L 2 3 = 270.10 - 3 . 500.10 - 3 2 3 = 22,5 . 10 - 3   k g . m 2

Perceba que a distância do centro de massa da barra até o eixo de rotação é L 2 .

Agora o do círculo:

I c i r c u l o = M R 2 2 + M L + r 2

Sacou? Percebeu que a distância do centro do disco até o eixo é o comprimento da barra mais o raio do círculo?

Beleza, então:

I c í r c u l o = 500.10 - 3 . 10.10 - 2 2 2 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 2 = 182,5.10 - 3   k g . m 2

Assim:

I = 22,5 . 10 - 3 + 182,5.10 - 3 = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Passo 3

b):

Vamos calcular agora a posição do centro de massa do pêndulo. Se você não lembra muito bem desse assunto, dê uma olhada no nosso conteúdo de Física 1 (:

O centro de massa será dado por:

x C M = ( M b a r r a . x b a r r a + M c i r c u l o . x c i r c u l o ) M b a r r a + M c i r c u l o

A gente tá tomando a origem como sendo o ponto de rotação. Se liga nisso (:

Além disso, cada x de cada objeto é a posição do centro de massa do mesmo em relação ao ponto de rotação.

Assim:

x C M = 270.10 - 3 . 250.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 270.10 - 3 + 500.10 - 3 = 47,7 c m = 470 m m

Como a gente tinha visto, a posição do centro de massa está bem deslocado pra posição do círculo.

Passo 4

c):

Agora que a gente já calculou tudo que tínhamos que calcular, fica fácil calcular o período de oscilação. Só a gente aplicar a fórmula:

T = 2 π I P d

Onde P é o peso do corpo todo e d a distância do centro de massa do corpo até o ponto de rotação.

No caso, como calculamos o centro de massa em relação ao centro de rotação, o d vai ser o próprio valor da posição x :

d = x C M = 47,7.10 - 2 m

E o peso vai ser dado por:

P = M + m g = 270.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10 = 7,7   N

E como:

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Podemos aplicar todos os valores na equação do período:

T = 2 π I P d = 2 π 205 . 10 - 3 7,7   . 47,7.10 - 2 = 1,50   s

Resposta

a):

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

b):

x C M = 47,7 c m = 470 m m

c):

T = 1,50   s

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-44

Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50   c m . O período de oscilação é 2,5 s . Determine o valor de d .

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de uma barra:

I = M L 2 12

g = 10   m / s 2

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Passo 1

O período vai ser dado por:

T = 2 π I P d

Nós queremos descobrir esse d . Porém, pra isso, teremos que calcular antes o peso P e o momento de inércia I .

Passo 2

O momento de inércia I pode ser dado pelo teorema dos eixos paralelos:

I = M L 2 12 + M d 2 = M L 2 12 + d 2 = M 1 2 12 + d 2 = M 1 12 + d 2

E o peso? O peso será dado por:

P = M g = 10 M

Assim:

T = 2 π I P d

T = 2 π M 1 12 + d 2 10 M d

T = 2 π 1 12 + d 2 10 d

Agora basta substituir o valor do período: 2,5 s :

2,5 = 2 π 1 12 + d 2 10 d

2,5 2 π 2 = 1 12 + d 2 10 d

0,158.10 d = d 2 + 1 12

d 2 - 1,58 d + 0,083 = 0

Vamos resolver essa equação do segundo grau pra achar d :

∆ = 2,164

Assim:

d = 1,58 ∓ 2,164 2 → d = 0,05 m

Assim:

d = 0,05 m

Resposta

d = 0,05 m

Exercício Resolvido #3

USP-P1-2014-Q4

Um pêndulo físico de massa m e momento de inércia I , está preso em uma de suas extremidades. O pêndulo sofre então uma leve perturbação externa, tal que ele começa a oscilar em pequenos ângulos devido a um campo gravitacional g . Assuma também que o centro de massa do pêndulo está a uma distância d do ponto fixo. Qual a frequência angular de oscilação?

  1. d m g I
  2. m g d I
  3. d g I m
  4. m d I g
  5. m g I d
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Passo 1

Essa é simples! Foi resolvida em nossa teoria. Mas vamos relembrar:

Essa é a figura de nosso pêndulo físico. Ele está submetido a um torque realizado pela força gravitacional com braço de alavanca d . A segunda lei de Newton para rotações fica:

τ R = I α

τ = - P d sen ⁡ θ

Que é o torque resultante. Sendo α = θ ¨ :

- P d sen ⁡ θ = I θ ¨

θ ¨ + P d s e n θ I = 0

Passo 2

Como θ ≪ 1   → s e n θ ≈ θ :

θ ¨ + P d s e n θ I = 0

θ ¨ + P d I θ = 0

Comparando essa equação com uma equação de MHS, temos que:

θ ¨ + P d I θ = 0             →                   N o s s a   e q u a ç ã o

θ ¨ + ω 0 2 θ = 0               →             E q u a ç ã o   d o   M H S

ω 0 2 = P d I

Sendo P = m g :

ω 0 2 = m g d I   → ω 0 = m g d I

Resposta

b)

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-Questão 1 - P2.2010

O pêndulo da figura abaixo é formado por uma haste de comprimento L e uma chapa quadrada também de lado L , presos no ponto O de maneira que o conjunto possa se movimentar. Tanto a haste quanto a chapa são uniformes e possuem massa M . Os momentos de inércia em torno dos centros de massa de uma haste e de uma chapa quadrada são, respectivamente, I H = ( M L 2 ) / 12 e I C = ( M L 2 ) / 6 .

  1. Calcule a distância entre o ponto O e o centro de massa desse conjunto h a s t e + c h a p a .
  2. Se o pêndulo é posto para oscilar em torno do ponto O com ângulo pequeno, qual será o período de oscilação?

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Passo 1

Vamos primeiro achar o centro de massa de cada peça. O centro de massa das peças fica no centro das peças, já que ambas são homogêneas. Então, em relação ao ponto O, os centros de massas são:

C M 1 = L 2

C M 2 = L + L 2 = 3 L 2

O centro de massa dois tem esse valor pois é essa a distância do ponto O até o centro da placa quadrada.

Pronto! Agora pra gente achar o centro de massa total a gente usa:

C M = M 1 C M 1 + M 2 C M 2 M 1 + M 2 = M . L 2 + M . 3 L 2 2 M = L

Essa é a distância procurada!

Passo 2

b)

Nesse item, a gente vai precisar primeiro achar o momento de inércia total de toda a peça em relação ao ponto O.

Esse momento vai ser dado por:

I o = I c m + 2 M d 2

Onde I c m é o momento do centro de massa resultante das duas peças e d é a distância do centro de massa da peça em relação ao ponto O, ou seja, o resultado de a ) .

O complicado aqui é achar I c m . Mas vamos pensar em como podemos fazer isso:

O centro de massa está na distância L do ponto O. As peças que o cercam são a barra e o quadrado.

Podemos, então, calcular o momento de inercia de cada peça em relação ao centro de massa! Isso quer dizer: Calcular, usando o teorema dos eixos paralelos, o momento das peças em relação à d = L .

Para a barra:

I b a r r a L = I c m + M L 2 2 = M L 2 12 + M L 2 4

Já que a distância do centro de massa da barra ao centro de massa é L 2 .

E o momento do quadrado é:

I p l a c a L = M L 2 6 + M L 2 2 = M L 2 6 + M L 2 4

Logo:

I c m = I b a r r a L + I p l a c a L = M L 2 12 + M L 2 4 + M L 2 6 + M L 2 4 = 9 M L 2 12

E:

I o = I c m + 2 M d 2 = 9 M L 2 12 + 2 M L 2 = 33 M L 2 12

Passo 3

Agora vamos calcular o período! De acordo com a nossa teoria, o cálculo da EDO do pêndulo físico é:

τ R = I α

Como α = θ ¨

⇒ - P d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + P d θ = 0

⇒ θ ¨ + P d I θ = 0

Onde P = 2 M g , no nosso caso. E I = I o . Logo:

ω 0 2 = 2 M g L I 0 = 2 M g L 33 M L 2 12 = 24 g 33 L

ω 0 = 24 g 33 L = 2 π T

T = 2 π 33 L 24 g

Resposta

a) L

b) T = 2 π 33 L 24 g

Exercício Resolvido #5

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-54

Na Figura abaixo, uma placa de metal está montada em um eixo que passa pelo seu centro de massa. Uma mola com k = 200   N / m está ligada a uma parede e a um ponto da borda da placa a uma distância r = 2,5   c m do centro de massa. Inicialmente a mola está relaxada. Se a placa é girada de 7° e liberada, oscila em torno do eixo em um MHS, com sua posição angular dada pela a outra figura. A escala do eixo horizontal é definida por t 1 = 20   m s . Qual é o momento de inércia da placa em relação ao centro de massa?

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Passo 1

A força elástica produzirá um torque que vai ser dado por

τ = F e l r = - k x r s e n 90 = - k x r

Isso porque a força elástica é praticamente horizontal e o vetor posição que sai do centro da catraca até o ponto onde tá a mola é praticamente vertical.

Já esse deslocamento em x vai ser dado por

x = r s e n ( θ )

Para ângulos pequenos s e n θ ≈ θ , assim

τ = - k x r = - k r θ r

τ = - k r 2 θ

Como τ = I θ ¨

I θ ¨ = - k r 2 θ

θ ¨ = - k r 2 I θ = - ω 2 θ

Assim

ω = k r 2 I

Como T = 2 π / ω

T = 2 π I k r 2

Passo 2

Bom, nós temos k e r dados pelo enunciado.

Temos T ?

Na verdade, não diretamente, mas dê uma olhada no gráfico da variação angular: O ciclo se repete em t 1 , certo?

Então, esse tempo será o período:

T = t 1 = 20.10 - 3 s

Passo 3

Assim, poderemos achar I :

I = T 2 4 π 2 . k r 2 = 20.10 - 3 2 4 π 2 . 200 . 2,5.10 - 2 2 = 1,26.10 - 6   k g . m 2

Resposta

1,26.10 - 6   k g . m 2

Exercício Resolvido #6

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 111-84

Uma roda pode girar livremente em torno do seu eixo fixo. Uma mola é presa a um dos raios a uma distância de r do eixo, como mostra a figura. A roda gira em torno de seu centro.

(a) Supondo que a roda é um disco de massa m e o raio R , qual é a frequência angular ω das pequenas oscilações desse sistema em termos de m ,   R ,   r e da constante elástica k ? . Qual é o valor de ω para :

(b) r = R ?

(c) r = 0 ?

Dado:

Momento de inércia de um disco: