Pêndulo Físico

Teoria Completa

Nós vimos o caso do pêndulo simples. Agora, veremos o caso do pêndulo físico.

Mas qual a diferença entre eles? A diferença está na massa: No pêndulo simples, a massa está toda concentrada em um ponto, na extremidade do pêndulo.

Já no caso do pêndulo físico, a massa está distribuída:

Nesse caso, temos um corpo de massa m e momento de inércia I , preso a um eixo em um ponto cuja distância ao centro de massa é d .

O nosso objetivo aqui é encontrar a equação do período do pêndulo Físico.

Vamos ao passo-a-passo:

Passo 1: diagrama de corpos livres e forças atuantes.

Temos um par de ação e reação nessa massa. Então a força resultante é zero!

E agora?

Agora a gente usa a Segunda Lei de Newton para rotação:

τ R = I α

Vamos calcular o torque em relação ao ponto do eixo, ou seja, o ponto que não se move:

τ = - P d sen ⁡ θ

Passo 2: encontrar torque resultante:

Como o torque que calculamos é o único que atua no corpo, então:

τ R = - P d sen ⁡ θ

Passo 3: aplicar a Segunda Lei de Newton:

τ R = I α

Como α = θ ¨

⇒ - P d sen ⁡ θ = I θ ¨

⇒ I θ ¨ + P d sen ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ : sen ⁡ θ ≈ θ

Então:

I θ ¨ + P d θ = 0

⇒ θ ¨ + P d I θ = 0

Pronto! Já está no formato da equação do MHS (desta vez, acertamos o sinal de primeira!).

Então ótimo. Comparando com a equação do MHS, temos que:

ω = P d I

Assim, o período é dado por:

2 π T = P d I → T = 2 π I P d

Considerações sobre o Momento de inércia

É importante dizer que esse momento de inércia é o momento de inércia do corpo em relação ao ponto O .

Ou seja, você vai ter que usar o teorema dos eixos paralelos, caso o ponto O não esteja em cima do centro de massa do corpo.

Dê uma revisada nesse assunto se você não lembra bem, só olhar o nosso conteúdo de mecânica ( Física 1, Física A, etc).

De qualquer forma, você vai usar a fórmula abaixo:

I = I c m + M d 2

Onde d é a distância do centro de massa do corpo até o eixo de rotação e M é a massa do corpo.

Sacou? #PartiuExercitar (:

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Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-43.

Na figura, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = 10,0 c m e 500 g de massa preso a uma barra uniforme de comprimento L = 500 m m e massa m = 270 g .

  1. Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão.
  2. Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pêndulo?
  3. Calcule o período de oscilação.

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de um disco de massa M :

I C M = M R 2 2

Momento de inércia de centro de massa de uma barra de massa M :

I c m = M L 2 12

Gravidade:

g = 10   m / s 2

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Passo 1

a):

Vamos olhar o esquema abaixo:

Como você pode ver, o C M vai estar mais deslocado pro circulo.

Passo 2

Bora calcular o momento de inércia do conjunto em relação ao ponto de rotação. O momento de inércia vai ser a soma dos momentos de inércia da barra e do círculo:

I = I b a r r a + I c í r c u l o

Como o eixo de rotação não passa por cima de nenhum dos centros de massa, teremos que usar o teorema dos eixos paralelos em cada caso.

Primeiro a barra:

I b a r r a = M L 2 12 + M L 2 2 = M L 2 3 = 270.10 - 3 . 500.10 - 3 2 3 = 22,5 . 10 - 3   k g . m 2

Perceba que a distância do centro de massa da barra até o eixo de rotação é L 2 .

Agora o do círculo:

I c i r c u l o = M R 2 2 + M L + r 2

Sacou? Percebeu que a distância do centro do disco até o eixo é o comprimento da barra mais o raio do círculo?

Beleza, então:

I c í r c u l o = 500.10 - 3 . 10.10 - 2 2 2 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 2 = 182,5.10 - 3   k g . m 2

Assim:

I = 22,5 . 10 - 3 + 182,5.10 - 3 = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Passo 3

b):

Vamos calcular agora a posição do centro de massa do pêndulo. Se você não lembra muito bem desse assunto, dê uma olhada no nosso conteúdo de Física 1 (:

O centro de massa será dado por:

x C M = ( M b a r r a . x b a r r a + M c i r c u l o . x c i r c u l o ) M b a r r a + M c i r c u l o

A gente tá tomando a origem como sendo o ponto de rotação. Se liga nisso (:

Além disso, cada x de cada objeto é a posição do centro de massa do mesmo em relação ao ponto de rotação.

Assim:

x C M = 270.10 - 3 . 250.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10.10 - 2 + 500.10 - 3 270.10 - 3 + 500.10 - 3 = 47,7 c m = 470 m m

Como a gente tinha visto, a posição do centro de massa está bem deslocado pra posição do círculo.

Passo 4

c):

Agora que a gente já calculou tudo que tínhamos que calcular, fica fácil calcular o período de oscilação. Só a gente aplicar a fórmula:

T = 2 π I P d

Onde P é o peso do corpo todo e d a distância do centro de massa do corpo até o ponto de rotação.

No caso, como calculamos o centro de massa em relação ao centro de rotação, o d vai ser o próprio valor da posição x :

d = x C M = 47,7.10 - 2 m

E o peso vai ser dado por:

P = M + m g = 270.10 - 3 + 500.10 - 3 . 10 = 7,7   N

E como:

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

Podemos aplicar todos os valores na equação do período:

T = 2 π I P d = 2 π 205 . 10 - 3 7,7   . 47,7.10 - 2 = 1,50   s

Resposta

a):

I = 205 . 10 - 3 k g . m 2

b):

x C M = 47,7 c m = 470 m m

c):

T = 1,50   s

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 109-44

Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50   c m . O período de oscilação é 2,5 s . Determine o valor de d .

Dados:

Momento de inércia de centro de massa de uma barra:

I = M L 2 12

g = 10   m / s 2

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Passo 1

O período vai ser dado por:

T = 2 π I P d

Nós queremos descobrir esse d . Porém, pra isso, teremos que calcular antes o peso P e o momento de inércia I .

Passo 2

O momento de inércia I pode ser dado pelo teorema dos eixos paralelos:

I = M L 2 12 + M d 2 = M L 2 12 + d 2 = M 1 2 12 + d 2 = M 1 12 + d 2

E o peso? O peso será dado por:

P = M g = 10 M

Assim:

T = 2 π I P d

T = 2 π M 1 12 + d 2 10 M d

T = 2 π 1 12 + d 2 10 d

Agora basta substituir o valor do período: 2,5 s :

2,5 = 2 π 1 12 + d 2 10 d

2,5 2 π 2 = 1 12 + d 2 10 d

0,158.10 d = d 2 + 1 12

d 2 - 1,58 d + 0,083 = 0

Vamos resolver essa equação do segundo grau pra achar d :

∆ = 2,164

Assim:

d = 1,58 ∓ 2,164 2 → d = 0,05 m

Assim:

d = 0,05 m

Resposta

d = 0,05 m

Exercício Resolvido #3

USP-P1-2014-Q4

Um pêndulo físico de massa m e momento de inércia I , está preso em uma de suas extremidades. O pêndulo sofre então uma leve perturbação externa, tal que ele começa a oscilar em pequenos ângulos devido a um campo gravitacional g . Assuma também que o centro de massa do pêndulo está a uma distância d do ponto fixo. Qual a frequência angular de oscilação?

  1. d m g I
  2. m g d I
  3. d g I m
  4. m d I g
  5. m g I d
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Passo 1

Essa é simples! Foi resolvida em nossa teoria. Mas vamos relembrar:

Essa é a figura de nosso pêndulo físico. Ele está submetido a um torque realizado pela força gravitacional com braço de alavanca d . A segunda lei de Newton para rotações fica:

τ R = I α

τ = - P d sen ⁡ θ

Que é o torque resultante. Sendo α = θ ¨ :

- P d sen ⁡ θ = I θ ¨

θ ¨ + P d s e n θ I = 0