Teoria Completa
Vetor de Poynting
A onda eletromagnética é uma onda progressiva, onde e se deslocam para posições onde não havia campos elétrico e magnético anteriormente.
Sabemos, que nesse deslocamento, a onda carrega consigo uma densidade de energia .
Agora, vamos trabalhar com o transporte dessa energia.
A taxa com a qual essa energia transportada pela onda eletromagnética atravessa uma superfície é chamada de fluxo de energia.
A forma de representar esse fluxo é por um vetor chamado de vetor de Poynting . Vem aqui jovem, vamos conversar um pouco sobre ele.
Usando a densidade de energia transportada por uma onda eletromagnética, podemos dizer que a energia em uma região com volume é:
Quando a onda eletromagnética atravessa uma área , ela transfere uma energia (variação da energia naquele lugar). Podemos escrever essa variação usando a variação de volume que a luz atravessa (usando que a luz tem velocidade ).
Esse é o fluxo de energia médio. Fazendo o tempo tender a zero, o fluxo de energia é:
Que é a energia por unidade de tempo (potência) por unidade de área. Assim, é a magnitude do vetor de Poynting.
Podemos utilizar as relações que falamos anteriormente para acharmos outras formas de escrevermos o Poynting como:
Relaxa! Você não precisa decorar todas as formas de escrever a fórmula! Basta saber apenas uma dessas formas, e lembrar da relação .
Mas afinal, ainda não temos um vetor! Como a onda se propaga no sentido de , o vetor de Poynting vai ter esse sentido. Mas esse produto vetorial tem exatamente o módulo que queremos (Como e são perpendiculares, ).
Então podemos escrever o vetor de Poynting como:
Esse vetor é muito importante porque ele tem dentro dele a direção, o sentido e a magnitude do fluxo de energia transportada.
Intensidade de radiação
Como os campos elétrico e magnético variam com o tempo em qualquer posição, o vetor de Poynting também varia da mesma forma. E como essas frequências geralmente são muito altas, é mais simples trabalharmos com o valor médio do vetor de Poynting no tempo.
E é justamente esse valor médio do vetor de Poynting que chamamos de intensidade de radiação, ou intensidade da onda, dado por
O fator vem do fato de que o é a média temporal do vetor de Poynting e na conta aparece uma média temporal de que dá .
Podemos utilizar o fato de que para encontrar outras formas de escrever a equação.
Se você quiser escrever em função de , é só lembrar que
Aí as expressões ficam
Relaxa! Você não precisa decorar todas as formas de escrever a fórmula! O ideal é tentar lembrar apenas da primeira e da relação , que é mais importante.
Já falamos duas vezes ao longo do texto, mas vale comentar de novo. Se você quiser decorar as fórmulas que demos aqui, é melhor gravar 3 fórmulas:
; e
do que tentar gravar todas as variações que já falamos, que são umas 7 a 8 fórmulas.
Potência da Luz
O fluxo de energia transportado pela luz é dado pelo vetor de Poynting .
Mas o fluxo é a potência (energia por tempo) da luz por unidade de área. Para sabermos a potência da luz em uma dada área, nós vemos quanta energia atravessou perpendicular à superfície.
A potência que atravessa a superfície é o fluxo perpendicular () multiplicado pela área.
Isso é o produto escalar entre o fluxo e o “vetor Área” (vetor normal à superfície e cujo módulo é a área). Mas e no caso da nossa esfera?
A gente divide ela em pequenas areazinhas.
E integramos todas.
Só por curiosidade! Os painéis de energia solar são inclinados de forma a ficarem perpendiculares ao vetor de Poynting justamente para maximizar a potência que vem da energia solar. O faz com que em outros ângulos a potência seja sempre menor.
Intensidade da radiação varia com a área
Em exercícios e provas, em geral o vetor de Poynting vai ser sempre paralelo ao “vetor área”. Isso faz com que não precisemos nos preocupar com o ângulo entre eles.
Se considerarmos, além disso, o fluxo médio na nossa integral, temos:
Onde é a área total da superfície e é a potência da luz. Pela definição, é a intensidade! A intensidade ao longo da nossa área é:
No caso de uma superfície esférica, nós recaímos na nossa lâmpada de LED!
Com sendo a distância que a luz percorreu.
Em exercícios e provas, essa fórmula final é a mais importante.
Pra parte anterior, é importante entender o conceito de que o ângulo da luz afeta quanta potência a gente recebe, mas não precisa se preocupar tanto com cada fórmula.
Agora, vamos pros exercícios fixar as idéias!
Exercício Resolvido #1
Em uma onda de rádio plana o valor máximo do campo elétrico é .
Calcule:
- O valor máximo do campo magnético.
- A intensidade da onda.
Passo 1
Letra a)
O valor máximo do campo magnético é a sua amplitude.
Com a amplitude do campo elétrico, podemos encontrar a de a partir da equação:
Temos pelo enunciado que e sabemos que a velocidade da luz é de .
Passo 2
Letra b)
Sabemos que a intensidade da onda é o fluxo médio. Assim:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #2
Uma onda eletromagnética plana tem o vetor campo magnético dado por
- Determine: a direção e sentido de propagação da onda.
- Determine o vetor campo elétrico associado a esta onda.
- Calcule o vetor de Poynting.
- Calcule a intensidade da onda.
Passo 1
Letra a)
O problema nos pede para descobrir a direção e sentido de propagação da onda.
Esta questão é diferente das outras pelo fato do campo magnético ter componentes em duas direções.
Mas fica tranquilo, não é um bicho de 7 cabeças! Vamos seguir o mesmo raciocínio de antes.
Vamos analisar o argumento das funções senoidais
Para que o argumento permaneça constante, conforme o tempo aumenta, é necessário que o valor de também aumente.
Logo, a onda se propaga no sentido do vetor .
Passo 2
Letra b)
O problema nos pede para calcular o vetor de campo elétrico .
Sabemos que é perpendicular a
O vetor possui possui duas componentes, nos sentidos e .
Então vamos fazer o seguinte, vamos dividir esse problema em duas partes, trabalhando como cada componente separadamente, ok?
Passo 3
Sabemos que a onda se propaga no sentido , então temos que encontrar o componente tal que o produto vetorial tenha o resultado no sentido .
Sabemos também que é perpendicular a e a . Assim, só pode estar no eixo .
Usando a regra da mão direita descobrimos que tem o sentido do vetor .
Para determinar o módulo de , basta usar a relação:
Onde . Logo:
Por fim:
Passo 4
O raciocínio é o mesmo do caso anterior.
Agora, é perpendicular a e a . Portanto, só pode estar no eixo .
Usando a regra da mão direita descobrimos que tem o sentido do vetor .
Para determinar o módulo de , basta usar a relação:
Onde . Logo:
Por fim:
Logo:
Passo 5
Letra c)
O problema nos pede para calcular o vetro de Poynting .
O vetor de Poynting é dado por
Onde:
;
;
;
;
;
Logo:
Passo 6
Letra d)
O problema nos pede para descobrir a intensidade da onda.
Quando estudamos o vetor de Poynting, vimos que
Mas como o módulo do vetor de Poynting, neste caso, não varia com o tempo, podemos dizer que
Resposta
Letra a)
A onda se propaga no sentido do vetor .
Letra b)
Letra c)
Letra d)
Exercício Resolvido #3
Uma onda eletromagnética monocromática plana possui um campo magnético dado por
- Escreva as equações vetoriais para e .
- Calcule a intensidade da onda no ponto
Passo 1
Letra (a): Escreva as equações vetoriais para e .
Para começar, temos que descobrir o sentido em que a onda está se deslocando e, para isso, analisaremos o argumento da função senoidal
Para que o argumento permaneça constante, conforme o valor do tempo aumenta, é necessário que o valor de diminua. Assim, a onda eletromagnética se propaga no sentido do vetor .
Passo 2
Sabendo que a onda se propaga no sentido do vetor e que e são perpendiculares, temos que:
Logo:
Passo 3
Passo 4
Letra (b): Calcule a intensidade da onda no ponto
A intensidade é igual ao valor médio do vetor de Poynting, logo:
Logo, a intensidade independe da posição.
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Exercício Resolvido #4
A intensidade da luz emitida por uma fonte pontual e isotrópica é medida em função da distância da fonte. A Fig. 33-40 mostra a intensidade em função do inverso do quadrado da distância, .
A escala do eixo vertical é definida por , e a escala do eixo horizontal é definida por .
Qual é a potência da fonte?
Passo 1
Primeiramente, precisamos compreender o que significa esse gráfico.
Vamos começar pela relação que sabemos ter a intensidade e a potência. Dessa vez, vamos começar já considerando todas as aproximações necessárias que nos dá:
Como a fonte é pontual e isotrópica, podemos dizer que a luz se espalha em superfícies esféricas ao redor dela. Podemos então substituir a área da esfera:
Eu reescrevi a fórmula de forma a facilitar um insight. Se considerarmos que a intensidade varia linearmente com , então o gráfico é dado por:
Comparando essa equação com a de cima, temos:
Ou seja, a potência dividida por é o coeficiente angular da reta apresentada no gráfico.
Passo 2
Agora, para achar a potência, nós calculamos o coeficiente angular da reta e multiplicamos por .
Pela escala do enunciado, corresponde a 4 unidades do eixo horizontal (4 quadradinhos). Logo, cada unidade é dada por .
Com isso, o último ponto apresentado no gráfico corresponde a , que corresponde à intensidade .
Usando esse ponto, o coeficiente angular vai ser:
Assim, a potência será de
Resposta
A potência da fonte é de .
Exercício Resolvido #5
Um avião que se encontra a uma distância de de um transmissor de rádio recebe um sinal com uma intensidade de .
Determine a amplitude:
- Do campo elétrico associado ao sinal na posição do avião.
- Do campo magnético associado ao sinal na posição do avião.
- Se o transmissor irradia uniformemente ao longo de um hemisfério, qual é a potência da transmissão?
Passo 1
Letra a)
Para calcular o campo elétrico associado ao sinal, podemos usar a Intensidade do mesmo. A intensidade é dada por: