Vetor de Poynting e Intensidade

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Teoria

Seja bem vindo ao RespondeAí! Você veio ao lugar certo pra aprender sobre o Vetor de Poynting!

vetor de Poynting,  , serve para representar a densidade direcional do fluxo de energia eletromagnética no espaço.

Mas lendo assim isso não parece significar muita coisa né? Calma! Segura na minha mão que o RespondeAí! vai te ajudar nessa saga!

Vamos começar imaginando uma onda eletromagnética percorrendo o espaço!

Representação de uma onda eletromagnética.
Representação de uma onda eletromagnética.

A onda eletromagnética transporta uma quantidade de energia e quantidade de energia transportada por área é o fluxo de energia, inclusive sua unidade é .

Então a gente precisa olhar pra a área onde essa onda eletromagnética passa.

Onda eletromagnética percorrendo uma área.
Onda eletromagnética percorrendo uma área.

Na figura acima temos uma onda eletromagnética percorrendo uma área . Após um tempo ela percorre uma distância, que é dada pelo produto da velocidade da luz com o tempo .

Usando a densidade de energia transportada por uma onda eletromagnética, podemos dizer que a energia em uma região com volume  é:

Quando a onda eletromagnética atravessa uma área , ela transfere uma energia (variação da energia). Podemos dizer que isso é igual a variação de volume que a luz atravessa vezes a densidade de energia:

Esse é o fluxo de energia médio. Fazendo o tempo tender a zero, o fluxo de energia é:

Assim, chegamos a magnitude do vetor de Poynting ! Que é a energia, por unidade de tempo, por unidade de área. Ou potência por unidade de área para ficar mais agradável!

Podemos utilizar as relações que falamos anteriormente para acharmos outras formas de escrevermos Poynting, como:

Mas afinal, ainda não temos um vetor!

Como a onda se propaga no sentido de , o vetor de Poynting vai ter esse sentido, beleza?

 e  são perpendiculares, , Então esse produto vetorial tem exatamente o módulo que queremos, logo podemos escrever Vetor de Poynting   como:

Esse vetor é muito importante porque ele tem dentro dele a direção, o sentido e a magnitude do fluxo de energia transportada!

Intensidade de radiação

Como os campos elétrico  e magnético variam com o tempo em qualquer posição, o vetor de Poynting  também varia da mesma forma. E como essas frequências geralmente são muito altas, é mais simples trabalharmos com o valor médio do vetor de Poynting no tempo.

E é justamente esse valor médio do vetor de Poynting que chamamos de intensidade de radiação eletromagnética, ou intensidade da onda, dado por:

éáá

O fator  vem do fato de que o é  é a média temporal do vetor de Poynting e na conta aparece uma média temporal de  que dá .

Podemos utilizar o fato de que  para encontrar outras formas de escrever a equação.

áá

Podemos escrever em função de , é só lembrar que:

Aí as expressões ficam:

áá

Potência da Luz

Para sabermos a potência da luz em uma dada área, nós vemos quanta energia atravessou perpendicular à superfície.

Lembrando que, o fluxo é a potência (energia por tempo) da luz por unidade de área! E o fluxo de energia transportado pela luz é dado pelo vetor de Poynting..

A potência  que atravessa a superfície é o fluxo perpendicular ( ) multiplicado pela área.

Isso é o produto escalar entre o fluxo e o “vetor Área” (vetor normal à superfície e cujo módulo é a área). Mas e no caso da nossa esfera?

Esfera com área A.
Esfera com área A.

A gente divide ela em pequenas áreas.

E integramos todas:

CURIOSIDADE! Os painéis de energia solar são inclinados de forma a ficarem perpendiculares ao vetor de Poynting justamente para maximizar a potência que vem da energia solar. O  faz com que em outros ângulos a potência seja sempre menor!

A Intensidade da radiação varia com a área

Em exercícios e provas, em geral o vetor de Poynting vai ser sempre paralelo ao “vetor área”. Isso faz com que não precisemos nos preocupar com o ângulo  entre eles.

Se considerarmos, além disso, o fluxo médio na nossa integral, temos:

éé

Onde  é a área total da superfície e  é a potência da luz. Pela definição, é  é a intensidade! A intensidade ao longo da nossa área é:

No caso de uma superfície esférica, nós recaímos na nossa lâmpada de LED! 💡

Com  sendo a distância que a luz percorreu.

Em exercícios e provas, essa fórmula final é a mais importante!

Ficou com alguma dúvida?! Clica abaixo para ver nosso conteúdo em vídeo também!

Agora, vamos pros exercícios fixar as ideias!

Intensidade de radiação

Potência da Luz

A Intensidade da radiação varia com a área

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Em uma onda de rádio plana o valor máximo do campo elétrico é 5,00   V / m .

Calcule:

  1. O valor máximo do campo magnético.
  2. A intensidade da onda.

Passo 1

Letra a)

O valor máximo do campo magnético é a sua amplitude.

Com a amplitude do campo elétrico, podemos encontrar a de B → a partir da equação:

E = c B

Temos pelo enunciado que E = 5,00   V / m e sabemos que a velocidade da luz é de c ≅ 3 ∙ 10 8   m / s .

B m á x = E m á x c = 5 3 ∙ 10 8 ≅ 1,67 ∙ 10 - 8 T

Passo 2

Letra b)

Sabemos que a intensidade da onda é o fluxo médio. Assim:

I = S m é d = E m 2 2 μ 0 c = 5 2 2 ∙ 4 π ∙ 10 - 7 ∙ ( 3 ∙ 10 8 ) ≅ 3,31 ∙ 10 - 2 W / m 2

Resposta

Letra a)

B m á x ≅ 1,67 ∙ 10 - 8 T

Letra b)

I ≅ 3,31 ∙ 10 - 2 W / m 2

Exercício Resolvido #2

Uma onda eletromagnética plana tem o vetor campo magnético dado por

B → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ;

  1. Determine: a direção e sentido de propagação da onda.
  2. Determine o vetor campo elétrico associado a esta onda.
  3. Calcule o vetor de Poynting.
  4. Calcule a intensidade da onda.

Passo 1

Letra a)

O problema nos pede para descobrir a direção e sentido de propagação da onda.

Esta questão é diferente das outras pelo fato do campo magnético B → ter componentes em duas direções.

Mas fica tranquilo, não é um bicho de 7 cabeças! Vamos seguir o mesmo raciocínio de antes.

Vamos analisar o argumento das funções senoidais

π 2 z - ω t

Para que o argumento permaneça constante, conforme o tempo t aumenta, é necessário que o valor de z também aumente.

Logo, a onda se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Passo 2

Letra b)

O problema nos pede para calcular o vetor de campo elétrico E → .

Sabemos que E → é perpendicular a B →

O vetor possui B → possui duas componentes, nos sentidos x ^ e ( - y ^ ) .

Então vamos fazer o seguinte, vamos dividir esse problema em duas partes, trabalhando como cada componente separadamente, ok?

B x → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ T ; ( i )

B y → = - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ; ( i i )

Passo 3

( i )

B x → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ T ;

Sabemos que a onda se propaga no sentido + z ^ , então temos que encontrar o componente E 1 → tal que o produto vetorial E → 1 × B → x tenha o resultado no sentido + z ^ .

Sabemos também que E → 1 é perpendicular a B → x e a z ^ . Assim, E → 1 só pode estar no eixo y .

Usando a regra da mão direita descobrimos que E → 1 tem o sentido do vetor - y ^ .

- y ^ × x ^ = z ^

Para determinar o módulo de E → 1 , basta usar a relação:

E 1 = c B x

Onde c = 3,0 × 10 8   m / s . Logo:

E 1 = 3,0 × 10 8 × 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E 1 = 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Por fim:

E → 1 = - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Passo 4

i i B y → = - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T

O raciocínio é o mesmo do caso anterior.

Agora, E → 2 é perpendicular a B → y e a z ^ . Portanto, E → 2 só pode estar no eixo x .

Usando a regra da mão direita descobrimos que E → 2 tem o sentido do vetor - x ^ .

- x ^ × - y ^ = z ^

Para determinar o módulo de E → 2 , basta usar a relação:

E 2 = c B y

Onde c = 3,0 × 10 8   m / s . Logo:

E 2 = 3,0 × 10 8 × 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E 2 = 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Por fim:

E → 2 = 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^

Logo:

E → = E → 1 + E → 2

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Passo 5

Letra c)

O problema nos pede para calcular o vetro de Poynting S → .

O vetor de Poynting S → é dado por

S → = E → × B → μ 0

Onde:

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^ V m ;

B → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ;

μ 0 = 4 π × 10 - 7 N / A 2 ;

E → × B → = 48 π 2 × 10 8 sen 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t + 48 π 2 × 10 8 cos 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t z ^ ;

E → × B → = 48 π 2 × 10 8 z ^ ;

Logo:

S → = 48 π 2 × 10 8 4 π × 10 - 7   z ^

S → = 1,2   π × 10 16   z ^         W / m 2

Passo 6

Letra d)

O problema nos pede para descobrir a intensidade I da onda.

Quando estudamos o vetor de Poynting, vimos que

I = S médio

Mas como o módulo do vetor de Poynting, neste caso, não varia com o tempo, podemos dizer que

I = S = 1,2   π × 10 16       W / m 2

Resposta

Letra a)

A onda se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Letra b)

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Letra c)

S → = 1,2   π × 10 16   z ^         W / m 2

Letra d)

I = 1,2   π × 10 16       W / m 2

Exercício Resolvido #3

Uma onda eletromagnética monocromática plana possui um campo magnético dado por

B → x , t = B 0 y j ^ sen ⁡ ( ω t + k x ) + B 0 z k ^ sen ⁡ ( ω t + k x )

  1. Escreva as equações vetoriais para E → e S → .
  2. Calcule a intensidade da onda no ponto P = 1,2 , 0 .

Passo 1

Letra (a): Escreva as equações vetoriais para E → e S → .

Para começar, temos que descobrir o sentido em que a onda está se deslocando e, para isso, analisaremos o argumento da função senoidal

ω t + k x

Para que o argumento permaneça constante, conforme o valor do tempo t aumenta, é necessário que o valor de x diminua. Assim, a onda eletromagnética se propaga no sentido do vetor - i ^ .

Passo 2

Sabendo que a onda se propaga no sentido do vetor - i ^ e que E → e B → são perpendiculares, temos que:

B → = 1 c ( - i ^ × E → )

B 0 y j ^ + B 0 z k ^ = 1 c i ^ j ^ k ^ - 1 0 0 0 E 0 y E 0 z = E 0 z c j ^ - E 0 y c k ^

E 0 y = - c B 0 z

E 0 z = c B 0 y

Logo:

E → x , t = - c B 0 z j ^ sen ⁡ ω t + k x + c B 0 y k ^ sen ⁡ ( ω t + k x )

Passo 3

S → x , t = E → × B → μ 0

S → x , t = 1 μ 0 i ^ j ^ k ^ 0 - c B 0 z c B 0 y 0 B 0 y B 0 z sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

S → x , t = - B 0 z 2 + B 0 y 2 c μ 0 i ^ sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

S → x , t = - B 0 2 c μ 0 i ^ sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

Passo 4

Letra (b): Calcule a intensidade da onda no ponto P = 1,2 , 0 .

A intensidade é igual ao valor médio do vetor de Poynting, logo:

I = S - = B 0 2 c 2 μ 0

Logo, a intensidade independe da posição.

Resposta

Letra (a):

E → x , t = - c B 0 z j ^ sen ⁡ ω t + k x + c B 0 y k ^ sen ⁡ ( ω t + k x )

S → x , t = - B 0 2 c μ 0 i ^ sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

Letra (b):

I = B 0 2 c 2 μ 0

Exercício Resolvido #4

A intensidade I da luz emitida por uma fonte pontual e isotrópica é medida em função da distância r da fonte. A Fig. 33-40 mostra a intensidade I em função do inverso do quadrado da distância, r - 2 .

A escala do eixo vertical é definida por I s = 200   W / m 2 , e a escala do eixo horizontal é definida por r s - 2 = 8,0   m - 2 .

Qual é a potência da fonte?

Passo 1

Primeiramente, precisamos compreender o que significa esse gráfico.

Vamos começar pela relação que sabemos ter a intensidade e a potência. Dessa vez, vamos começar já considerando todas as aproximações necessárias que nos dá:

I = P A

Como a fonte é pontual e isotrópica, podemos dizer que a luz se espalha em superfícies esféricas ao redor dela. Podemos então substituir a área da esfera:

I = P 4 π r 2 = P 4 π   r - 2

Eu reescrevi a fórmula de forma a facilitar um insight. Se considerarmos que a intensidade varia linearmente com r - 2 , então o gráfico é dado por:

I = α r - 2

Comparando essa equação com a de cima, temos:

α = P 4 π

Ou seja, a potência dividida por 4 π é o coeficiente angular da reta apresentada no gráfico.

Passo 2

Agora, para achar a potência, nós calculamos o coeficiente angular da reta e multiplicamos por 4 π .

P = 4 π α

Pela escala do enunciado, r s - 2 = 8,0   m - 2 corresponde a 4 unidades do eixo horizontal (4 quadradinhos). Logo, cada unidade é dada por u = 2,0   m - 2 .

Com isso, o último ponto apresentado no gráfico corresponde a r - 2 = 10,0   m - 2 , que corresponde à intensidade I = I s = 200   W / m 2 .

Usando esse ponto, o coeficiente angular vai ser:

α = 200 - 0 10 - 0 = 200 10 = 20   W

Assim, a potência será de

P = 4 π ∙ 20 ≅ 251,33   W

Resposta

A potência da fonte é de P ≅ 251,33   W .

Exercício Resolvido #5

Um avião que se encontra a uma distância de 10   k m de um transmissor de rádio recebe um sinal com uma intensidade de 10   μ W / m 2 .

Determine a amplitude:

  1. Do campo elétrico associado ao sinal na posição do avião.
  2. Do campo magnético associado ao sinal na posição do avião.
  3. Se o transmissor irradia uniformemente ao longo de um hemisfério, qual é a potência da transmissão?

Passo 1

Letra a)

Para calcular o campo elétrico associado ao sinal, podemos usar a Intensidade do mesmo. A intensidade é dada por:

I = 1 2 E m á x B m á x μ 0

Mas como E = c B , podemos reescrever:

I = 1 2 E m á x 2 μ 0 c

E m á x = 2 I ∙ μ 0 ∙ c

μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo, e vale 4 π ∙ 10 - 7 N / A 2 , c é a velocidade da luz 3 ∙ 10 8   m / s e I é a intensidade dada no enunciado 10   μ W / m 2 = 10 ∙ 10 - 6 W / m 2 .

E m á x = 2 ∙ ( 10 ∙ 10 - 6 ) ∙ 4 π ∙ 10 - 7 ∙ 3 ∙ 10 8 ≅ 86,83 ∙ 10 - 3 V / m = 8,683 ∙ 10 - 2 V / m  

Passo 2

Letra b)

Tem duas formas de calcular o campo magnético. Uma é aproveitando a nossa resposta da letra (a), e usando a relação E = c B . A outra, é fazendo exatamente o que fizemos antes, mas escrevendo a intensidade como função do campo magnético.

Vamos seguir a segunda forma.

Já sabemos a fórmula da intensidade (tem na letra anterior), e agora usando a nossa relação mágica E = c B , teremos:

I = 1 2 c B m á x 2 μ 0

B m á x = 2 I ∙ μ 0 c

Novamente, μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo, e vale 4 π ∙ 10 - 7 N / A 2 , c é a velocidade da luz 3 ∙ 10 8   m / s e I é a intensidade dada no enunciado 10   μ W / m 2 = 10 ∙ 10 - 6 W / m 2