Vetor de Poynting e Intensidade

Teoria Completa

Vetor de Poynting

A onda eletromagnética é uma onda progressiva, onde E → e B → se deslocam para posições onde não havia campos elétrico e magnético anteriormente.

Sabemos, que nesse deslocamento, a onda carrega consigo uma densidade de energia u .

Agora, vamos trabalhar com o transporte dessa energia.

A taxa com a qual essa energia transportada pela onda eletromagnética atravessa uma superfície é chamada de fluxo de energia.

A forma de representar esse fluxo é por um vetor chamado de vetor de Poynting S → . Vem aqui jovem, vamos conversar um pouco sobre ele.

Usando a densidade u de energia transportada por uma onda eletromagnética, podemos dizer que a energia em uma região com volume V é:

U = u ∙ V

Quando a onda eletromagnética atravessa uma área A , ela transfere uma energia Δ U (variação da energia naquele lugar). Podemos escrever essa variação usando a variação de volume que a luz atravessa (usando que a luz tem velocidade c ).

Δ U = u ∙ Δ V = ϵ 0 E 2 ∙ ( A c   Δ t )

1 A Δ U Δ t = ϵ 0 c E 2

Esse é o fluxo de energia médio. Fazendo o tempo tender a zero, o fluxo de energia é:

S = 1 A d U d t = ϵ 0 c E 2  

Que é a energia por unidade de tempo (potência) por unidade de área. Assim, S é a magnitude do vetor de Poynting.

Podemos utilizar as relações que falamos anteriormente para acharmos outras formas de escrevermos o Poynting como:

S = ϵ 0 μ 0 E 2 = E B μ 0

Relaxa! Você não precisa decorar todas as formas de escrever a fórmula! Basta saber apenas uma dessas formas, e lembrar da relação E = c B .

Mas afinal, ainda não temos um vetor! Como a onda se propaga no sentido de E → × B → , o vetor de Poynting vai ter esse sentido. Mas esse produto vetorial tem exatamente o módulo que queremos (Como E → e B → são perpendiculares, E → × B → = E B ).

Então podemos escrever o vetor de Poynting S → como:

S → = E → × B → μ 0

Esse vetor é muito importante porque ele tem dentro dele a direção, o sentido e a magnitude do fluxo de energia transportada.

Intensidade de radiação

Como os campos elétrico E → e magnético B → variam com o tempo em qualquer posição, o vetor de Poynting S → também varia da mesma forma. E como essas frequências geralmente são muito altas, é mais simples trabalharmos com o valor médio do vetor de Poynting no tempo.

E é justamente esse valor médio do vetor de Poynting que chamamos de intensidade de radiação, ou intensidade da onda, dado por

I = S médio = 1 2 E máx B máx μ 0

O fator 1 / 2 vem do fato de que o S m é d i o é a média temporal do vetor de Poynting e na conta aparece uma média temporal de cos 2 ⁡ ω t que dá 1 / 2 .

Podemos utilizar o fato de que E = c B para encontrar outras formas de escrever a equação.

I = c B máx 2 2 μ 0 = E máx 2 2 μ 0 c

Se você quiser escrever em função de ϵ 0 , é só lembrar que

c = 1 μ 0 ϵ 0 → μ 0 = 1 c 2 ϵ 0

Aí as expressões ficam

I = c 3 B máx 2 ϵ 0 2 = E máx 2 ϵ 0 c 2

Relaxa! Você não precisa decorar todas as formas de escrever a fórmula! O ideal é tentar lembrar apenas da primeira I = 1 2 E m á x B m á x μ 0 e da relação E = c B , que é mais importante.

Já falamos duas vezes ao longo do texto, mas vale comentar de novo. Se você quiser decorar as fórmulas que demos aqui, é melhor gravar 3 fórmulas:

S = E B μ 0 ; I = 1 2 E m á x B m á x μ 0 e E = c B

do que tentar gravar todas as variações que já falamos, que são umas 7 a 8 fórmulas.

Potência da Luz

O fluxo de energia transportado pela luz é dado pelo vetor de Poynting S → .

S → = E → × B → μ 0

Mas o fluxo é a potência (energia por tempo) da luz por unidade de área. Para sabermos a potência da luz em uma dada área, nós vemos quanta energia atravessou perpendicular à superfície.

A potência P que atravessa a superfície é o fluxo perpendicular ( S x = S cos ⁡ θ ) multiplicado pela área.

P = S A cos ⁡ θ = S → ∙ A →

Isso é o produto escalar entre o fluxo e o “vetor Área” (vetor normal à superfície e cujo módulo é a área). Mas e no caso da nossa esfera?

A gente divide ela em pequenas areazinhas.

d P = S → ∙ d A →

E integramos todas.

P = ∮ S → ∙ d A →

Só por curiosidade! Os painéis de energia solar são inclinados de forma a ficarem perpendiculares ao vetor de Poynting justamente para maximizar a potência que vem da energia solar. O cos ⁡ θ faz com que em outros ângulos a potência seja sempre menor.

Intensidade da radiação varia com a área

Em exercícios e provas, em geral o vetor de Poynting vai ser sempre paralelo ao “vetor área”. Isso faz com que não precisemos nos preocupar com o ângulo θ entre eles.

Se considerarmos, além disso, o fluxo médio na nossa integral, temos:

P = S m é d ∮ d A = S m é d ∙ A

Onde A é a área total da superfície e P é a potência da luz. Pela definição, S m é d = I é a intensidade! A intensidade ao longo da nossa área é:

I = P A

No caso de uma superfície esférica, nós recaímos na nossa lâmpada de LED!

I = P 4 π r 2

Com r sendo a distância que a luz percorreu.

Em exercícios e provas, essa fórmula final é a mais importante.

Pra parte anterior, é importante entender o conceito de que o ângulo da luz afeta quanta potência a gente recebe, mas não precisa se preocupar tanto com cada fórmula.

Agora, vamos pros exercícios fixar as idéias!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 29-10

Em uma onda de rádio plana o valor máximo do campo elétrico é 5,00   V / m .

Calcule:

  1. O valor máximo do campo magnético.
  2. A intensidade da onda.
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Passo 1

Letra a)

O valor máximo do campo magnético é a sua amplitude.

Com a amplitude do campo elétrico, podemos encontrar a de B → a partir da equação:

E = c B

Temos pelo enunciado que E = 5,00   V / m e sabemos que a velocidade da luz é de c ≅ 3 ∙ 10 8   m / s .

B m á x = E m á x c = 5 3 ∙ 10 8 ≅ 1,67 ∙ 10 - 8 T

Passo 2

Letra b)

Sabemos que a intensidade da onda é o fluxo médio. Assim:

I = S m é d = E m 2 2 μ 0 c = 5 2 2 ∙ 4 π ∙ 10 - 7 ∙ ( 3 ∙ 10 8 ) ≅ 3,31 ∙ 10 - 2 W / m 2

Resposta

Letra a)

B m á x ≅ 1,67 ∙ 10 - 8 T

Letra b)

I ≅ 3,31 ∙ 10 - 2 W / m 2

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2011.2

Uma onda eletromagnética plana tem o vetor campo magnético dado por

B → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ;

  1. Determine: a direção e sentido de propagação da onda.
  2. Determine o vetor campo elétrico associado a esta onda.
  3. Calcule o vetor de Poynting.
  4. Calcule a intensidade da onda.
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Passo 1

Letra a)

O problema nos pede para descobrir a direção e sentido de propagação da onda.

Esta questão é diferente das outras pelo fato do campo magnético B → ter componentes em duas direções.

Mas fica tranquilo, não é um bicho de 7 cabeças! Vamos seguir o mesmo raciocínio de antes.

Vamos analisar o argumento das funções senoidais

π 2 z - ω t

Para que o argumento permaneça constante, conforme o tempo t aumenta, é necessário que o valor de z também aumente.

Logo, a onda se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Passo 2

Letra b)

O problema nos pede para calcular o vetor de campo elétrico E → .

Sabemos que E → é perpendicular a B →

O vetor possui B → possui duas componentes, nos sentidos x ^ e ( - y ^ ) .

Então vamos fazer o seguinte, vamos dividir esse problema em duas partes, trabalhando como cada componente separadamente, ok?

B x → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ T ; ( i )

B y → = - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ; ( i i )

Passo 3

( i )

B x → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ T ;

Sabemos que a onda se propaga no sentido + z ^ , então temos que encontrar o componente E 1 → tal que o produto vetorial E → 1 × B → x tenha o resultado no sentido + z ^ .

Sabemos também que E → 1 é perpendicular a B → x e a z ^ . Assim, E → 1 só pode estar no eixo y .

Usando a regra da mão direita descobrimos que E → 1 tem o sentido do vetor - y ^ .

- y ^ × x ^ = z ^

Para determinar o módulo de E → 1 , basta usar a relação:

E 1 = c B x

Onde c = 3,0 × 10 8   m / s . Logo:

E 1 = 3,0 × 10 8 × 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E 1 = 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Por fim:

E → 1 = - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Passo 4

i i B y → = - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T

O raciocínio é o mesmo do caso anterior.

Agora, E → 2 é perpendicular a B → y e a z ^ . Portanto, E → 2 só pode estar no eixo x .

Usando a regra da mão direita descobrimos que E → 2 tem o sentido do vetor - x ^ .

- x ^ × - y ^ = z ^

Para determinar o módulo de E → 2 , basta usar a relação:

E 2 = c B y

Onde c = 3,0 × 10 8   m / s . Logo:

E 2 = 3,0 × 10 8 × 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

E 2 = 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t

Por fim:

E → 2 = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^

Logo:

E → = E → 1 + E → 2

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Passo 5

Letra c)

O problema nos pede para calcular o vetro de Poynting S → .

O vetor de Poynting S → é dado por

S → = E → × B → μ 0

Onde:

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^ V m ;

B → = 4 π cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 4 π sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^   T ;

μ 0 = 4 π × 10 - 7 N / A 2 ;

E → × B → = 48 π 2 × 10 8 sen 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t + 48 π 2 × 10 8 cos 2 ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t z ^ ;

E → × B → = 48 π 2 × 10 8 z ^ ;

Logo:

S → = 48 π 2 × 10 8 4 π × 10 - 7   z ^

S → = 1,2   π × 10 16   z ^         W / m 2

Passo 6

Letra d)

O problema nos pede para descobrir a intensidade I da onda.

Quando estudamos o vetor de Poynting, vimos que

I = S médio

Mas como o módulo do vetor de Poynting, neste caso, não varia com o tempo, podemos dizer que

I = S = 1,2   π × 10 16       W / m 2

Resposta

Letra a)

A onda se propaga no sentido do vetor + z ^ .

Letra b)

E → = - 12 π × 10 8 sen ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t x ^ - 12 π × 10 8 cos ⁡ π 2 z - 1,5 π × 10 8 t y ^

Letra c)

S → = 1,2   π × 10 16   z ^         W / m 2

Letra d)

I = 1,2   π × 10 16       W / m 2

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2008.2

Uma onda eletromagnética monocromática plana possui um campo magnético dado por

B → x , t = B 0 y j ^ sen ⁡ ( ω t + k x ) + B 0 z k ^ sen ⁡ ( ω t + k x )

  1. Escreva as equações vetoriais para E → e S → .
  2. Calcule a intensidade da onda no ponto P = 1,2 , 0 .
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Passo 1

Letra (a): Escreva as equações vetoriais para E → e S → .

Para começar, temos que descobrir o sentido em que a onda está se deslocando e, para isso, analisaremos o argumento da função senoidal

ω t + k x

Para que o argumento permaneça constante, conforme o valor do tempo t aumenta, é necessário que o valor de x diminua. Assim, a onda eletromagnética se propaga no sentido do vetor - i ^ .

Passo 2

Sabendo que a onda se propaga no sentido do vetor - i ^ e que E → e B → são perpendiculares, temos que:

B → = 1 c ( - i ^ × E → )

B 0 y j ^ + B 0 z k ^ = 1 c i ^ j ^ k ^ - 1 0 0 0 E 0 y E 0 z = E 0 z c j ^ - E 0 y c k ^

E 0 y = - c B 0 z

E 0 z = c B 0 y

Logo:

E → x , t = - c B 0 z j ^ sen ⁡ ω t + k x + c B 0 y k ^ sen ⁡ ( ω t + k x )

Passo 3

S → x , t = E → × B → μ 0

S → x , t = 1 μ 0 i ^ j ^ k ^ 0 - c B 0 z c B 0 y 0 B 0 y B 0 z sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

S → x , t = - B 0 z 2 + B 0 y 2 c μ 0 i ^ sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

S → x , t = - B 0 2 c μ 0 i ^ sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

Passo 4

Letra (b): Calcule a intensidade da onda no ponto P = 1,2 , 0 .

A intensidade é igual ao valor médio do vetor de Poynting, logo:

I = S - = B 0 2 c 2 μ 0

Logo, a intensidade independe da posição.

Resposta

Letra (a):

E → x , t = - c B 0 z j ^ sen ⁡ ω t + k x + c B 0 y k ^ sen ⁡ ( ω t + k x )

S → x , t = - B 0 2 c μ 0 i ^ sen 2 ⁡ ( ω t + k x )

Letra (b):

I = B 0 2 c 2 μ 0

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 30-30

A intensidade I da luz emitida por uma fonte pontual e isotrópica é medida em função da distância r da fonte. A Fig. 33-40 mostra a intensidade I em função do inverso do quadrado da distância, r - 2 .

A escala do eixo vertical é definida por I s = 200   W / m 2 , e a escala do eixo horizontal é definida por r s - 2 = 8,0   m - 2 .

Qual é a potência da fonte?

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Passo 1

Primeiramente, precisamos compreender o que significa esse gráfico.

Vamos começar pela relação que sabemos ter a intensidade e a potência. Dessa vez, vamos começar já considerando todas as aproximações necessárias que nos dá:

I = P A

Como a fonte é pontual e isotrópica, podemos dizer que a luz se espalha em superfícies esféricas ao redor dela. Podemos então substituir a área da esfera:

I = P 4 π r 2 = P 4 π   r - 2

Eu reescrevi a fórmula de forma a facilitar um insight. Se considerarmos que a intensidade varia linearmente com r - 2 , então o gráfico é dado por:

I = α r - 2

Comparando essa equação com a de cima, temos:

α = P 4 π

Ou seja, a potência dividida por 4 π é o coeficiente angular da reta apresentada no gráfico.

Passo 2

Agora, para achar a potência, nós calculamos o coeficiente angular da reta e multiplicamos por 4 π .

P = 4 π α

Pela escala do enunciado, r s - 2 = 8,0   m - 2 corresponde a 4 unidades do eixo horizontal (4 quadradinhos). Logo, cada unidade é dada por u = 2,0   m - 2 .

Com isso, o último ponto apresentado no gráfico corresponde a r - 2 = 10,0   m - 2 , que corresponde à intensidade I = I s = 200   W / m 2 .

Usando esse ponto, o coeficiente angular vai ser:

α = 200 - 0 10 - 0 = 200 10 = 20   W

Assim, a potência será de

P = 4 π ∙ 20 ≅ 251,33   W

Resposta

A potência da fonte é de P ≅ 251,33   W .

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 29-17

Um avião que se encontra a uma distância de 10   k m de um transmissor de rádio recebe um sinal com uma intensidade de 10   μ W / m 2 .

Determine a amplitude:

  1. Do campo elétrico associado ao sinal na posição do avião.
  2. Do campo magnético associado ao sinal na posição do avião.
  3. Se o transmissor irradia uniformemente ao longo de um hemisfério, qual é a potência da transmissão?
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Passo 1

Letra a)

Para calcular o campo elétrico associado ao sinal, podemos usar a Intensidade do mesmo. A intensidade é dada por:

I = 1 2 E m á x B m á x μ 0