Efeito Fotoelétrico

Teoria Completa

Introdução

Imagina que você tem uma placa metálica e incide luz sobre ela. E se eu te disser que, dependendo da luz que você utilizar, você poderá arrancar alguns elétrons dessa placa? Muito louco, não?

Esse fenômeno é chamado de efeito fotoelétrico e é muito importante para o funcionamento de vários equipamentos que a gente usa no dia-a-dia, como a TV.

Vamos ver no desenho abaixo, uma placa perdendo alguns elétrons após uma luz incidir sobre ela:

Mas como isso acontece??

Quando a luz incide sobre a superfície metálica os fótons da luz colidem com os elétrons e são absorvidos, provocando a emissão dos elétrons pela superfície.

Função Trabalho

A energia cedida pelo fóton precisa ser maior que a energia de ligação dos elétrons para conseguir ejetá-los.

Essa energia de ligação dos elétrons a superfície é chamada Função Trabalho do Material.

Cada material possui uma função trabalho definida, e nas continhas vai aparecer como Φ .

Independente da intensidade da luz, um elétron ejetado absorve a energia de apenas um fóton!

Podemos igualar a energia do fóton com a função trabalho, para ver qual frequência ou comprimento de onda seriam necessários para remover o elétron. Φ = E = h f = h c λ

A gente pode dizer então que a função trabalho é a energia mínima que o fóton precisa ter pra fazer com que aconteça o efeito fotoelétrico.

Φ = E m í n

E Para essa energia mínima a gente vai ter uma frequência relacionada, chamada frequência de corte f T , que será também a menor frequência que um fóton deve ter para arrancar um elétron.

Além da frequência um outro limite é o comprimento de onda, também teremos um comprimento de onda de corte λ T que diferente da frequência, será o máximo para ocorrer o efeito pois é inversamente proporcional a energia.

Vamos reescrever então a equação de cima em função desses limites:

ϕ = E m í n = h f T = h c λ T

Vamos colocar isso em prática, qual seria a frequência de corte e o comprimento de onda de corte necessários pro fóton ser capaz de arrancar elétrons de uma placa de alumínio?

Dados: Φ = 4,2 e V , h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V . s .

Bora lá, primeiro é bom lembrar que a função trabalho é a energia mínima pro efeito fotoelétrico acontecer:

Φ = E m í n = 4,2 e V

E então a energia mínima do fóton depende da frequência de corte:

h f t = Φ

f T = Φ h

Substituindo temos:

f T = 4,2 h

Substituindo a constante de Planck em e V . s

f T = 4,2 4,136 × 10 - 15 = 1,015 × 10 15 H z

E agora o cálculo do λ T podemos fazer usando a relação da onda:

f T = c λ T

Onde c = 3 × 10 8 m / s

λ T = c f T = 3 × 10 8 1,015 × 10 15 =   2,96 × 10 - 7 m

λ T = 296 n m

Um jeito mais conhecido de encontrarmos o comprimento de corte λ T é a partir da relação:

Φ = h c λ T

Invertendo temos:

λ T = Φ h c

Então o efeito fotoelétrico vai acontecer para:

f > 1,015 × 10 15 H z

λ < 296

Se você não acreditou basta pegar um λ qualquer maior que λ T   ou uma f qualquer menor do que f T e testar, por exemplo λ = 600 n m .

E = h c λ = 4,136 ∙ 10 - 15 × 3 × 10 8 600 × 10 - 9 = 2,07 e V

E < E m í n

Não ocorre efeito fotoelétrico!

Pra facilitar ainda mais a sua vida h   e c são constantes e você pode usar pro caso da energia em e V a seguinte equação:

E e V = 1242 λ n m

Onde o número 1242 é o produto da constante de Planck com a velocidade da luz, e se a gente substituir o nosso λ teremos:

E = 1242 600 = 2,07 e V

Curtiu o bizu?

E se a energia do fóton que incide na superfície for maior que a mínima?

E se por acaso no exemplo do alumínio a gente fornecesse uma energia de 5 e V ?

Bom, nesse caso, uma parte dessa energia será usada para remover o elétron da superfície e o restante de energia pode virar energia cinética do elétron.

E = Φ + K m á x

Onde K é a energia cinética do elétron. Se toda a energia extra do fóton for aproveitada, a energia cinética do elétron é a maior possível K m á x .

Então no caso do alumínio, a energia cinética seria:

K m á x = E - Φ = 5 - 4,2 = 0,8 e V

É raro, mas pode acontecer de te pedirem pra calcular a velocidade do elétron ejetado e nesse caso você vai usar:

K m á x = 1 2 m v 2

Onde m é a massa do elétron e v é a velocidade que ele atinge.

É possível também que a energia do fóton não consiga ser aproveitada, se dissipando. Nesses casos, a energia cinética do elétron vai ser:

K < K m á x

Potencial de Corte

Pra entendermos o potencial de corte vamos dar uma olhada no experimento do efeito fotoelétrico feito num laboratório.

Seja V a diferença de potencial entre o anodo e o catodo.

Quando V é positivo, os elétrons são atraídos para o anodo, quando V é negativo, são repelidos pelo mesmo.

A energia elétrica impressa pela bateria é:

E e l = e ∙ V

No lugar da bateria poderíamos usar uma fonte que nos permitisse controlar o potencial no circuito. Nesse caso, poderíamos colocar a diferença de potencial negativa até um ponto onde nenhum elétron consegue chegar no anodo.

Chamamos esse potencial de potencial de corte V c o r t e .

Quando estamos neste ponto, a força elétrica é suficiente para frear completamente o elétron. Neste caso, a energia elétrica usada para frear o elétron vai ser igual ou maior à energia cinética do elétron.

K ≤ E e l

Mas pra parar completamente todos os elétrons, essa energia tem que ser no mínimo igual à energia cinética máxima.

K m á x = E e l

E então temos outra relação bem importante pra energia cinética:

K m á x = e V c o r t e

Como a energia cinética vem da energia extra dos fótons em relação à função trabalho do material, podemos escrever também:

K m á x = h f - Φ

E neste caso:

e V c o r t e = h f - Φ

V c o r t e = h e f - Φ e

Ou seja, o potencial de corte depende linearmente da frequência dos fótons e também da função trabalho.

Gráficos do Potencial de Corte

Um gráfico de potencial de corte x frequência é uma reta, seguindo os mesmos padrões das funções lineares onde:

y = a x + b

Onde x é a frequência que varia, a = h / e   e b = - Φ / e .

Pra gente fixar melhor isso vamos construir o gráfico de duas substâncias diferentes pra compará-las.

  1. Ferro Φ = 4,5 e V
  2. Platina Φ = 6,35 e V

Pra comparar os gráficos não precisaremos entrar com os valores das constantes, vamos deixar em função da constante de Planck h e da carga e .

O coeficiente angular da reta a não muda, é sempre h e para qualquer material, só o que vai mudar é o coeficiente linear, porém um ponto mais importante pra nós é onde a função vai tocar o eixo horizontal ou seja V c o r t e = 0 .

0 = h e f - Φ e

f = Φ h

Opa conhecemos esse carinha, lembra do começo da teoria quando vimos a frequência de corte?

f T = Φ h

É justamente ela, se a nossa frequência não for superior á ela não tem efeito fotoelétrico.

Quando f = f T = Φ / h   a função corta o eixo horizontal.

Para o Ferro temos:

f T = 4,5 h

Para a Platina:

f T = 6,35 h

Enfim os gráficos das substâncias ficam com essa cara:

Alguns pontos importantes:

  • O coeficiente angular da reta é a = h / e . Por ser uma reta, podemos usar quaisquer dois pontos para calcular esse coeficiente, a = Δ y / Δ x .
  • As retas são paralelas, apenas cortando o eixo horizontal em pontos diferentes.
  • Se a reta do material 2 encontra-se à direita da do material 1 , então Φ 2 > Φ 1 .

Podemos também escrever o potencial de corte em função do comprimento de onda:

V c o r t e = h c e 1 λ - Φ e

Esse gráfico não tem muito mistério, para ambos quando o comprimento de onda λ → 0 , V c o r t e → + ∞ .

Porém quanto maior for o Φ , menor vai ser o valor de V c o r t e em qualquer ponto do gráfico conforme aumentamos o λ .

λ parte de 0 e vai até o valor que a gente já conhece como comprimento de onda de corte λ T , que acontece quando V c o r t e = 0 .

0 = h c e λ - Φ e

h c λ = Φ

λ T = h c Φ

Então para o ferro teremos:

λ T = h c 4,5 E para a platina teremos: λ T = h c 6,5

E se a gente desenhar juntas as substâncias no gráfico, teremos:

O ponto mais importante nessa perspectiva é a variação da curva com a função trabalho:

A função trabalho desloca toda a curva para baixo, por estar sendo subtraída.

Quanto maior a função trabalho, maior esse deslocamento. No caso da nossa figura:

Φ P l a t i n a > Φ F e r r o

A segunda forma de olhar a função é com o potencial de corte variando linearmente com o inverso do comprimento de onda.

V c o r t e = h c e 1 λ - Φ e

Teremos um gráfico de reta nesse caso e o ponto onde esse gráfico toca o eixo é o inverso do comprimento de onda de corte, sendo assim o gráfico das substâncias fica:

E a análise pra esse gráfico é bem parecida com a do gráfico da frequência, quanto mais a direita maior a função trabalho.

Alguns exercícios vão te dar esse tipo de gráfico, então é bom ter visto ele por aqui.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-16, modificado.

O leitor precisa escolher um elemento para uma célula fotoelétrica que funcione com luz visível. Quais dos seguintes elementos são apropriados (a função trabalho aparece entre parênteses)?

  • Tântalo ( 4,2   e V )
  • Tungstênio ( 4,5 e V )
  • Alumínio ( 4,2   e V )
  • Bário ( 2,5   e V )
  • Lítio ( 2,3   e V )

Obs: O comprimento de onda da luz visível varia aproximadamente de 390   n m até 700   n m .

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Passo 1

A função trabalho de uma substância é a energia mínima que um fóton deve ceder aos elétrons para que eles se desprendam de sua superfície.

Φ = E m í n

A energia do fóton, em função do seu comprimento de onda, é:

E = h c λ

Vamos comparar a maior energia possível dentro do espectro visível com a função trabalho. Isso vai nos mostrar qual a maior função trabalho com a qual seria possível trabalhar.

Essa energia vai ser dada pelo menor comprimento de onda dentro do espectro.

Φ m á x = E = h c λ m í n

Passo 2

Temos:

  • λ m í n = 390   n m = 3,9 ∙ 10 - 7   m para a luz visível
  • h = 4,135   67 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s  

Φ m á x = h c λ m í n = 4,13567 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 3,9 ∙ 10 - 7 ≅ 3,18   e V

Assim, é impossível trabalhar com materiais cuja função trabalho seja maior que 3,18   e V .

Os únicos materiais que não se enquadram nesse caso são o Bário e o Lítio.

Resposta

Os elementos apropriados são o Bário e o Lítio.

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 212-74, modificado.
  1. Para ejetar um elétron do sódio é preciso uma energia de pelo menos 2,28   e V . O efeito fotoelétrico é observado quando uma placa de sódio é iluminada com luz vermelha de comprimento de onda λ = 680   n m ?
  2. Qual é o comprimento de onda de corte para a emissão fotoelétrica no caso do sódio?
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Passo 1

Letra a)

A energia dos fótons é dada por:

E = h c λ

Onde:

  • h = 4,135   67 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 680   n m = 6,8 ∙ 10 - 7   m

E = 4,13567 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 6,8 ∙ 10 - 7 ≅ 1,8233   e V

Que é menor que a energia necessária para ejetar os elétrons do sódio. Isso significa que não vamos observar o efeito fotoelétrico.

Passo 2

Letra b)

Quanto menor o comprimento de onda da luz, maior vai ser a energia correspondente aos fótons.

Isso significa que tem um comprimento de onda máximo tal que, abaixo dele, sempre teremos energia suficiente para ejetar os elétrons do sódio e, acima dele, nunca teremos energia suficiente.

Esse comprimento de onda é o comprimento de onda de corte. Ele vai ser tal que a energia do fóton vai corresponder exatamente com a função trabalho (que é a energia necessária para ejetar os elétrons do metal).

Φ = E = h c λ m á x

Rearrumando:

λ m á x = h c Φ

Os valores são:

  • h = 4,135   67 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • Φ = 2,28   e V

λ m á x = 4,13567 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,28 ≅ 5,438 ∙ 10 - 7   m = 543,8   n m

Esse comprimento de onda corresponde ao intervalo da cor verde ( que vai de 495   n m a 570   n m )

Resposta

Letra a)

Não, o efeito fotoelétrico não será observado.

Letra b)

λ m á x ≅ 543,8   n m

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2.

A função trabalho do Césio é 1,90   e V . Qual a energia cinética máxima dos elétrons emitidos, em e V , se o comprimento de onda da radiação incidente for igual a 310   n m ?

  1. 4
  2. 1,9
  3. 5,9
  4. 2,1
  5. 0
  6. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

Trata-se de um problema de efeito fotoelétrico, onde a energia cinética dos elétrons emitidos é dada por:

K = h f - ϕ

Onde ϕ é a função trabalho.

Passo 2

f = c λ

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

λ = 310   n m = 3,1 × 10 - 7   m ;

Logo:

f = 3 × 10 8 3,1 × 10 - 7 = 9,7 × 10 14   H z

Passo 3

K = h f - ϕ

Onde:

h = 4,136 × 10 - 15   e V   s ;

f = 9,7 × 10 14   H z ;

ϕ = 1,90   e V ;

Logo:

K = 4,136 × 10 - 15 × 9,7 × 10 14 - 1,90

K = 2,1   e V

Resposta

d) 2,1

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-20.

O comprimento de onda correspondente à frequência de corte da prata é 325   n m .

Determine a energia cinética máxima dos elétrons ejetados de uma placa de prata iluminada por luz ultravioleta com um comprimento de onda de 254   n m .

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Passo 1

A função trabalho da prata vai ser igual à energia correspondente ao comprimento de onda de corte da prata.

Esse valor vai ser:

Φ = h c λ m á x

Onde:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ m á x = 325   n m = 3,25 ∙ 10 - 7   m

Φ = 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 3,25 ∙ 10 - 7 ≅ 3,815   e V

Passo 2

A energia cinética máxima dos elétrons ejetados é dada por:

K m á x = h c λ - Φ

Sendo λ = 254   n m = 2,54 ∙ 10 - 7   m , teremos:

K m á x = 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,54 ∙ 10 - 7 - 3,815 ≅ 1,067   e V

Resposta

K m á x ≅ 1,067   e V

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-21, modificado

Uma placa de alumínio é iluminada por luz com um comprimento de onda de 200   n m .

No alumínio uma energia de 4,20   e V é necessária para que um elétron seja ejetado.

Qual é a energia cinética:

  1. Do elétron ejetado mais rápido?
  2. Do elétron ejetado mais lento?
  3. Qual é o comprimento de onda de corte do alumínio?
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Passo 1

Letra a)

O elétron ejetado mais rápido é aquele com a energia cinética máxima possível.

A máxima energia cinética possível vai ser:

K m á x = h f - Φ = h c λ - Φ

Temos:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 200   n m = 2 ∙ 10 - 7   m
  • Φ = 4,20   e V
  • Substituindo:

    K m á x = 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2 ∙ 10 - 7 - 4,20 ≅ 6,2 - 4,2 = 2,0   e V

    Passo 2

    Letra b)

    O elétron mais lento apenas se solta da superfície, e a energia extra que se tornaria energia cinética é dissipada.

    Assim, sua energia cinética é K = 0 .

    Passo 3

    Letra c)

    O comprimento de onda de corte é o maior que ainda permite que os elétrons sejam ejetados da superfície.

    Igualando a energia do fóton à função trabalho, considerando que nenhuma energia é dissipada:

    Φ = E = h c λ

    Rearrumando:

    λ m á x = h c Φ

    Sendo que:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • Φ = 4,20   e V

λ m á x = 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 4,20 ≅ 2,9523 ∙ 10 - 7   m = 295,23   n m

Resposta

Letra a)

K m á x ≅ 2,0   e V

Letra b)

K = 0

Letra c)

λ m á x ≅ 295,23   n m

Exercício Resolvido #6

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-21, modificado.

Uma placa de alumínio é iluminada por luz com um comprimento de onda de 200   n m .

No alumínio uma energia de 4,20   e V é necessária para que um elétron seja ejetado.

Qual é o potencial de corte?

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Passo 1

O potencial de corte é o potencial elétrico que para completamente o movimento dos elétrons. Isso significa que:

e ∙ V c o r t e = K m á x

Assim, precisamos da energia cinética máxima dos elétrons ejetados, e o potencial de corte será:

V c o r t e = K m á x e

Onde e = 1,602 ∙ 10 - 19   C é a carga dos elétrons (carga elementar).

Passo 2

A energia cinética máxima é dada por:

K m á x = h c λ - Φ

Substituindo os valores:

  • h = 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 200   n m = 2 ∙ 10 - 7 m
  • Φ = 4,20   e V

K m á x = 4,136 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2 ∙ 10 - 7 - 4,20 ≅ 6,20 - 4,20 = 2,00   e V

Passo 3

Substituindo a energia cinética máxima no potencial de corte:

V c o r t e = K m á x e

V c o r t e ≅ 2,00   e V e = 2,00   V

Pois a unidade de energia e V corresponde a:

1   e V = e ∙ 1   V ≅ 1,602 ∙ 10 - 19   C ∙ 1   V

Dividindo pela carga elementar:

1   e V e = e ∙ 1   V e = 1   V

Resposta

V c o r t e ≅ 2,00   V

Exercício Resolvido #7

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 207-2.

A Fig.38-18 mostra a tensão de corte V em função do comprimento de onda λ da luz para três materiais diferentes.

Coloque os materiais na ordem da função trabalho, começando pela maior.

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Passo 1

A dependência da tensão de corte (ou potencial de corte) com o comprimento de onda é dado por:

V c o r t e = h c e ∙ 1 λ - Φ e

Onde: