Efeito Fotoelétrico

Teoria Completa

Imagina que você tem uma placa metálica e incide luz sobre ela. E se eu te disser que, dependendo da luz que você utilizar, você poderá arrancar alguns elétrons dessa placa? Muito louco, não?

Esse fenômeno é chamado de efeito fotoelétrico e é muito importante para o funcionamento de vários equipamentos que a gente usa no dia-a-dia, como a TV.

Vamos ver aqui um experimento que comprovou o efeito fotoelétrico. Veja o desenho abaixo:

Quando incidimos uma luz de certa frequência na placa metálica indicada, podemos observar o aparecimento de uma corrente elétrica.

Mas como isso acontece??

Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa do catodo, os fótons da luz colidem com os elétrons e são absorvidos, provocando a emissão dos elétrons pela superfície.

Estes elétrons estão fortemente ligados ao cátodo, de forma que a energia cedida pelo fóton precisa ser maior que a energia de ligação dos elétrons para conseguir ejetá-los. Essa energia de ligação dos elétrons a superfície é chamada Função Trabalho do Material. Em geral a denotamos por Φ .

O cátodo e o ânodo estão em uma câmara a vácuo e os elétrons ejetados no cátodo acabam seguindo na direção do ânodo.

Se algum dos elétrons ejetados atingir o ânodo, isso vai significar que há corrente no circuito externo. Lembrando que os elétrons se movem no sentido contrário à corrente elétrica.

Independente da intensidade da luz que atinge o catodo, um elétron ejetado absorve a energia de apenas um fóton!

Podemos igualar a energia do fóton com a função trabalho, para ver qual frequência ou comprimento de onda seriam necessários para remover o elétron.

Φ = E = h f = h c λ

Fótons com energia maior que a função trabalho conseguem remover os elétrons do cátodo.

Porém, a energia dos fótons cresce com a frequência e decresce com o comprimento de onda. Assim, podemos definir uma frequência ou comprimento de onda de corte.

Os fótons com frequências menores que a frequência de corte f T não têm energia suficiente para arrancar um elétron da superfície metálica. De outra forma, fótons com comprimento de onda maiores que o comprimento de onda de corte λ T também não terão energia suficiente para arrancar o elétron.

Podemos relacionar f T e λ T com ϕ por:

ϕ = E m í n = h f T = h c λ T

E se a energia do fóton que incide na superfície for maior que a mínima?

Bom, nesse caso, uma parte dessa energia será usada para remover o elétron da superfície e o restante de energia pode virar energia cinética do elétron.

E = Φ + K m á x

Onde K é a energia cinética do elétron. Se toda a energia extra do fóton for aproveitada, a energia cinética do elétron é a maior possível.

É possível também que a energia do fóton não consiga ser aproveitada, se dissipando. Nesses casos, a energia cinética do elétron vai ser:

K < K m á x

Alguma questão pode lhe pedir a velocidade que o elétron vai atingir no caso dele adquirir a energia cinética máxima. Para esse cálculo, é importante lembrar a fórmula da energia cinética:

K = 1 2 m v 2

Onde m é a massa do elétron e v é a velocidade que ele atinge.

Potencial de Corte

Agora dá uma olhada novamente no nosso experimento. Tá vendo aquela bateria ali?

Ela pode gerar uma diferença de potencial que auxilie os elétrons a seguirem para o ânodo ou que os impeçam de chegar até lá.

Seja V a diferença de potencial entre o anodo e o catodo. Quando V é positivo, os elétrons são atraídos para o anodo, quando V é negativo, são repelidos pelo mesmo.

Obs.: É importante lembrar que os elétrons se movem no sentido contrário à corrente elétrica. Assim, quando V é positivo, a corrente fluiria do anodo para o catodo, e os elétrons fazem naturalmente o percurso contrário, sendo atraídos pelo anodo. Quando V é negativo, ocorre o contrário.

A energia elétrica impressa pela bateria é:

E e l = e ∙ V

No lugar da bateria poderíamos usar uma fonte que nos permitisse controlar o potencial no circuito. Nesse caso, poderíamos colocar a diferença de potencial negativa até um ponto onde nenhum elétron consegue chegar no anodo.

Chamamos esse potencial de potencial de corte V c o r t e .

Quando estamos neste ponto, a força elétrica é suficiente para frear completamente o elétron. Neste caso, a energia elétrica usada para frear o elétron vai ser igual ou maior à energia cinética do elétron.

K ≤ E e l

Mas pra parar completamente todos os elétrons, essa energia tem que ser no mínimo igual à energia cinética máxima.

K m á x = E e l

Logo:

1 2 m v 2 m á x = e ∙ V c o r t e

Como a energia cinética vem da energia extra dos fótons em relação à função trabalho do material, podemos escrever também:

K m á x = h f - Φ

E neste caso:

e ∙ V c o r t e = h f - Φ

V c o r t e = h e ∙ f - Φ e

Ou seja, o potencial de corte depende linearmente da frequência dos fótons.

Alguns pontos importantes:

  • O coeficiente angular da reta é α = h / e . Por ser uma reta, podemos usar quaisquer dois pontos para calcular esse coeficiente, α = Δ y / Δ x .
  • A reta corta o eixo horizontal em Φ / h . Pra ver isso, faça V c o r t e = 0 e teremos:
  • h e ∙ f - Φ e = 0 → f = Φ h

  • As retas para dois materiais diferentes são paralelas, apenas cortando o eixo horizontal em pontos diferentes.
  • Se a reta do material 2 encontra-se à direita da do material 1 , então Φ 2 > Φ 1 .
  • Podemos também escrever o potencial de corte em função do comprimento de onda:

    V c o r t e = h c e ∙ 1 λ - Φ e

    Tem duas formas de vermos essa fórmula que são igualmente importantes.

    A primeira é ver que o potencial de corte é inversamente proporcional ao comprimento de onda.

    O ponto mais importante nessa perspectiva é a variação da curva com a função trabalho:

    A função trabalho desloca toda a curva para baixo, por estar sendo subtraída.

    Quanto maior a função trabalho, maior esse deslocamento. No caso da nossa figura:

    Φ 3 > Φ 2 > Φ 1

    A segunda forma de olhar a função é com o potencial de corte variando linearmente com o inverso do comprimento de onda.

    Com essa perspectiva, temos de observar que:

  • O coeficiente angular da reta é α = h c / e . Por ser uma reta, podemos usar quaisquer dois pontos para calcular esse coeficiente, α = Δ y / Δ x .
  • A reta corta o eixo horizontal em Φ / h c . Pra ver isso, faça V c o r t e = 0 e teremos:
  • h c e ∙ 1 λ - Φ e = 0 → 1 λ = Φ h c

  • As retas para dois materiais diferentes são paralelas, apenas cortando o eixo horizontal em pontos diferentes.
  • Se a reta do material 2 encontra-se à direita da do material 1 , então Φ 2 > Φ 1 .

Pode parecer estranho essa segunda forma de ver, mas nos exercícios você vai perceber que às vezes ela é muito útil.

Uma dica para os exercícios:

Em geral, os exercícios não precisam te dar o coeficiente angular das retas, porque ele depende de constantes universais apenas.

h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s ≅ 4,136 ∙ 10 - 15   e V ∙ s

c = 2,998 ∙ 10 8   m / s

e = 1,602 ∙ 10 - 19   C

Chega de papo! Bora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 209-16, modificado.

O leitor precisa escolher um elemento para uma célula fotoelétrica que funcione com luz visível. Quais dos seguintes elementos são apropriados (a função trabalho aparece entre parênteses)?

  • Tântalo ( 4,2   e V )
  • Tungstênio ( 4,5 e V )
  • Alumínio ( 4,2   e V )
  • Bário ( 2,5   e V )
  • Lítio ( 2,3   e V )

Obs: O comprimento de onda da luz visível varia aproximadamente de 390   n m até 700   n m .

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Passo 1

A função trabalho de uma substância é a energia mínima que um fóton deve ceder aos elétrons para que eles se desprendam de sua superfície.

Φ = E m í n

A energia do fóton, em função do seu comprimento de onda, é:

E = h c λ

Vamos comparar a maior energia possível dentro do espectro visível com a função trabalho. Isso vai nos mostrar qual a maior função trabalho com a qual seria possível trabalhar.

Essa energia vai ser dada pelo menor comprimento de onda dentro do espectro.

Φ m á x = E = h c λ m í n

Passo 2

Temos:

  • λ m í n = 390   n m = 3,9 ∙ 10 - 7   m para a luz visível
  • h = 4,135   67 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s  

Φ m á x = h c λ m í n = 4,13567 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 3,9 ∙ 10 - 7 ≅ 3,18   e V

Assim, é impossível trabalhar com materiais cuja função trabalho seja maior que 3,18   e V .

Os únicos materiais que não se enquadram nesse caso são o Bário e o Lítio.

Resposta

Os elementos apropriados são o Bário e o Lítio.

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 212-74, modificado.
  1. Para ejetar um elétron do sódio é preciso uma energia de pelo menos 2,28   e V . O efeito fotoelétrico é observado quando uma placa de sódio é iluminada com luz vermelha de comprimento de onda λ = 680   n m ?
  2. Qual é o comprimento de onda de corte para a emissão fotoelétrica no caso do sódio?
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Passo 1

Letra a)

A energia dos fótons é dada por:

E = h c λ

Onde:

  • h = 4,135   67 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • λ = 680   n m = 6,8 ∙ 10 - 7   m

E = 4,13567 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 6,8 ∙ 10 - 7 ≅ 1,8233   e V

Que é menor que a energia necessária para ejetar os elétrons do sódio. Isso significa que não vamos observar o efeito fotoelétrico.

Passo 2

Letra b)

Quanto menor o comprimento de onda da luz, maior vai ser a energia correspondente aos fótons.

Isso significa que tem um comprimento de onda máximo tal que, abaixo dele, sempre teremos energia suficiente para ejetar os elétrons do sódio e, acima dele, nunca teremos energia suficiente.

Esse comprimento de onda é o comprimento de onda de corte. Ele vai ser tal que a energia do fóton vai corresponder exatamente com a função trabalho (que é a energia necessária para ejetar os elétrons do metal).

Φ = E = h c λ m á x

Rearrumando:

λ m á x = h c Φ

Os valores são:

  • h = 4,135   67 ∙ 10 - 15   e V ∙ s
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s
  • Φ = 2,28   e V

λ m á x = 4,13567 ∙ 10 - 15 ∙ 2,998 ∙ 10 8 2,28 ≅ 5,438 ∙ 10 - 7   m = 543,8   n m

Esse comprimento de onda corresponde ao intervalo da cor verde ( que vai de 495   n m a 570   n m )

Resposta

Letra a)

Não, o efeito fotoelétrico não será observado.

Letra b)

λ m á x ≅ 543,8   n m

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 2, 2011.2.

A função trabalho do Césio é 1,90   e V . Qual a energia cinética máxima dos elétrons emitidos, em e V , se o comprimento de onda da radiação incidente for igual a 310   n m ?

  1. 4
  2. 1,9
  3. 5,9
  4. 2,1
  5. 0
  6. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

Trata-se de um problema de efeito fotoelétrico, onde a energia cinética dos elétrons emitidos é dada por:

K = h f - ϕ

Onde ϕ é a função trabalho.

Passo 2

f = c λ

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

λ = 310   n m = 3,1 × 10 - 7   m ;

Logo:

f = 3 × 10 8 3,1 × 10 - 7 = 9,7 × 10 14   H z

Passo 3

K = h f - ϕ