Energia Total Relativística

Teoria Completa

Nesse capítulo, vamos nos preocupar mais com os conceitos do que com as deduções, beleza?

Energia de Repouso

Um novo conceito muito importante é o de Energia de repouso E 0 , ou Energia própria, dada quando a velocidade da partícula, ou corpo, que estamos analisando é igual é zero (quando o corpo está em repouso).

Ou seja, a Energia de repouso é a energia associada à massa do corpo e é dada por:

E 0 = m c 2

Energia Total Relativística

Supondo que a energia potencial é nula, a Energia total E é igual à soma da energia cinética K com a energia em repouso E 0 .

Assim, a Energia total relativística é dada por:

E = K + E 0

E = K + m c 2

Pulando as deduções, a energia total também pode ser escrita das seguintes formas:

E = γ m c 2 = m c 2 1 - v 2 / c 2 = m r c 2

E n e r g i a   t o t a l   r e l a t i v í s t i c a

Onde m r é o que chamamos de massa relativística, e é dada por:

m r = γ m = m 1 - v 2 / c 2

M a s s a   r e l a t i v í s t i c a

O interessante desse novo conceito de massa é perceber que, diferente do que acontecia antes, a massa agora não é mais um valor constante, variando de acordo com a velocidade. Portanto, para velocidades comparáveis à da luz, pode acontecer de um objeto mudar de massa.

Analisando a fórmula da Energia total E , podemos ver que, quando a velocidade tende à velocidade da luz, ou seja, quando v → c , a Energia total tende ao infinito, E → ∞ .

Isso significa que, para fazer com que um corpo se mova com a velocidade da luz, é necessária uma quantidade de energia infinita! Enfatizando, assim, o fato de que é não é possível fazer com que um referencial ou um objeto se mova com a velocidade da luz.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, cap 37, pp 174 – 37.31.

Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é

  1. Igual à energia de repouso?
  2. Cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é igual à energia de repouso?

A energia total E é igual à soma da energia cinética K com a energia em repouso m c 2 . Assim:

E = K + m c 2

E = m c 2 1 - v 2 / c 2

Passo 2

De acordo com o enunciado, a energia cinética K é igual à energia em repouso.

K = m c 2

Substituindo na equação da energia, teremos que:

E = K + m c 2

m c 2 1 - v 2 / c 2 = m c 2 + m c 2 = 2 m c 2

Dividindo os dois membros por m c 2 :

1 1 - v 2 / c 2 = 2

1 - v 2 / c 2 = 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - v 2 c 2 = 1 4

Agora só temos que arrumar a equação para encontrar o valor de v :

v 2 c 2 = 1 - 1 4 = 3 4

v 2 = 3 4 c 2

v = 3 2 c = 0,866 c

Passo 3

b) Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?

De acordo com o enunciado, a energia cinética K é cinco vezes maior que a energia em repouso.

K = 5 m c 2

Substituindo na equação da energia, teremos que:

E = K + m c 2

m c 2 1 - v 2 / c 2 = 5 m c 2 + m c 2 = 6 m c 2

Dividindo os dois membros por m c 2 :

1 1 - v 2 / c 2 = 6

1 - v 2 / c 2 = 1 6

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - v 2 c 2 = 1 36

Agora só temos que arrumar a equação para encontrar o valor de v :

v 2 c 2 = 1 - 1 36 = 35 36

v 2 = 35 36 c 2

v = 35 36 c = 0,986 c

Resposta

a)

3 2 c = 0,866 c

b)

35 36 c = 0,986 c

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2013.2-1ª, modificado

a ) um nêutron de 0,05   G e V tem energia cinética maior, menor ou igual à energia total de um elétron de 0,05   G e V ? Justifique.

Obs:

Quando dizemos que se trata de “um elétron de 0,05   G e V ”, isso quer dizer que sua energia cinética é 0,05   G e V .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para determinar se a energia total do elétron é maior, menor ou igual que a energia cinética, vamos então calcular tal energia:

Quando dizemos que se trata de “um elétron de 0,05   G e V ”, isso quer dizer que sua energia cinética é 0,05   G e V .

Passo 2

Agora vamos determinar a energia total desse elétron. A definição de energia total, nos dá:

E = E 0 + K

E = m . c 2 + K

Sabendo que a massa do elétron vezes o quadrado da velocidade da luz é dado por

m e . c 2 = 0,511 M e V

Calma..esse valor não saiu da cartola, ele é geralmente dado na capa da prova.

Passo 3

Podemos agora calcular a energia total:

E = 0,511 × 10 6 + 0,05 × 10 9

E = 0,000511 × 10 9 + 0,05 × 10 9

E = 0,050511 × 10 9 = 0,050511   G e V

Portanto, a energia total do életron é maior do que a energia cinética do nêutron ( 0,05   G e V )

Resposta

E = 0,050511   G e V

Portanto, a energia total do életron é maior do que a energia cinética do nêutron ( 0,05   G e V )

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2012.1-ME07

Um próton e um elétron são acelerados até que suas energias totais sejam o dobro das suas respectivas energias de repouso.

Sendo a energia de repouso do próton M P c 2 = 931   M e V e a do elétron M e c 2 = 0,51   M e V , a razão entre as velocidades do próton e do elétron é:

  1. 0,5
  2. 1,0
  3. 1,5
  4. 2,0
  5. 2,5
  6. Nenhuma das anteriores
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A energia relativística é dada por:

E = γ m c 2

Onde:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Passo 2

O problema diz que as partículas são aceleradas até que suas energias totais sejam o dobro das suas respectivas energias de repouso.

Para o próton:

γ P M P c 2 = 2 M P c 2

Onde M P c 2 = 931   M e V , e γ P é o γ   para o próton . Logo:

γ P = 1 1 - v 2 / c 2 = 2

Ok, podemos ir à frente e calcular a velocidade, mas como podemos ver, a velocidade não vai depender da massa.

Assim, quando fizermos a mesma relação para o elétron, encontraremos:

γ e M e c 2 = 2 M e c 2

γ e = γ p = 1 1 - v 2 / c 2 = 2

No final das contas, acharemos a mesma velocidade para os dois.

Portanto, a razão entre as velocidades será:

v P v e = 1,0

v p = v e

Resposta

Letra (b): 1,0

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