Teoria

Bora aprender tudo sobre o Ciclo de Carnot e arrasar nas provas de termodinâmica!

O ciclo de carnot foi desenvolvido pelo engenheiro Sadi Carnot, em 1824, em seus estudos sobre as máquinas térmicas.

No ciclo de Carnot, um gás ideal passa por quatro transformações termodinâmicas, descritas a seguir:

  • Expansão isotérmica - O gás sofre uma expansão, mantendo sua temperatura constante, e absorve calor de uma fonte quente à temperatura (Representado pela curva 2-3 na figura abaixo);
  • Expansão adiabática - O gás se expande adiabaticamente, ou seja, sem ocorrer troca de calor com o meio, e por isso sua temperatura cai para um valor (Representado pela curva 3-4 na figura);
  • Compressão isotérmica - O gás sofre uma compressão e libera calor para uma fonte fria à tempratura (Representado pela curva 4-1 na figura);
  • Compressão adiabática - O gás retorna a condição inicial ao comprimir adiabaticamente, voltando para a tempratura (Representado pela curva 1-2 na figura)

Transformações que ocorrem no Ciclo de Carnot
Transformações que ocorrem no Ciclo de Carnot

A principal característica do ciclo de Carnot e que faz ele ser tão famoso é que ele é o ciclo que tem o MAIOR rendimento possível entre duas temperaturas. Ou seja, para um mesmo intervalo de temperatura , não existe nenhum outro ciclo com rendimento maior que o rendimento do ciclo de Carnot.

E é daí que vem o Teorema de Carnot:

Enunciado do Teorema de Carnot
Enunciado do Teorema de Carnot

Rendimento no Ciclo de Carnot

No ciclo de Carnot, o rendimento é dado pela seguinte fórmula:

Onde:

  • é a eficiência do ciclo de Carnot;
  • é a temperatura da fonte fria, que também pode ser chamada de , e;
  • é a temperatura da fonte quente, que também pode ser chamada de .

Vamos fazer um exemplo aqui: Qual o rendimento de um ciclo de Carnot que opera entre as temperaturas e ?

RESOLUÇÃO:

A temperatura da fonte fria é sempre menor que a da fonte quente: $T_F

Desse modo, o rendimento será:

Isso quer dizer que, entre e , nenhum outro ciclo tem eficiência maior que !

Maneiro, não é?

É isso que temos para te falar sobre o Ciclo de Carnot.

Vamos fazer um acordo? Você assiste esse vídeo aqui em seguida, só para revisar e fixar mais tudo o que vimos aqui e depois partiu exercícios. Estamos combinados?

Rendimento no Ciclo de Carnot

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma máquina de Carnot tem uma eficiência de 22,0 % . Ela opera entre duas fontes de calor de temperatura constante cuja diferença de temperatura é 75,0 ° C . Qual é a temperatura a da fonte fria e b   da fonte quente?

Passo 1

A eficiência de um ciclo de Carnot, é dada pela fórmula

ε = 1 - T F T Q

Podemos reescrever isso, assim

ε = T Q - T F T Q

Passo 2

b   Primeiro vamos descobrir a temperatura da fonte quente. Para descobrirmos a temperatura da fonte quente, vamos substituis os valor que temos

ε = 0,22

T Q - T F = 75 ° C = 75   K

Lembre-se que a temperatura deve ser em kelvin, e que a variação em celsius é igual a variação em kelvin

Assim temos que

0,22 = 75 T Q

T Q = 75 0,22

T Q = 341   K

Passando para Celsius

T Q = 341 - 273 = 68 ° C

Passo 3

a     Agora conseguimos facilmente descobrir o valor da temperatura da fonte fria, pois temos que

T Q - T F = 75 ° C = 75   K

Substituindo o valor de T Q

68 - T F = 75

T F = - 7 ° C  

Resposta

a   T F = - 7 ° C  

b T Q = 68 ° C

Exercício Resolvido #2

Uma máquina de Carnot opera entre 235 ° C   e 115 ° C , absorvendo 6,30.10 4 J por ciclo na temperatura mais alta. a   Qual é a eficiência da máquina? b   Qual é o trabalho por ciclo que essa máquina é capaz de realizar?

Passo 1

Em questões de ciclo de Carnot vamos usar as fórmulas para calcular eficiência

ε Carnot = 1 - T F T Q

E

ε c a r n o t = W ciclo Q Q

Passo 2

a   Vamos usar a primeira fórmula, para calcular a eficiência do ciclo de Carnot, pois o enunciado nos forneceu as duas temperaturas

ε c a r n o t = 1 - 273 + 115 273 + 235

Lembre-se que a temperatura deve ser em kelvin

ε c a r n o t = 1 - 0,764

ε c a r n o t = 0,236

Passo 3

b   O problema nos diz que a máquina absorve 6,3 . 10 4   J na temperatura mais alta, isso é o calor absorvido pela fonte quente, logo

Q Q = 6,3.10 4   J

Sendo assim, agora vamos usar a segunda fómula que mostrei no “passo 1”

ε c a r n o t = W ciclo Q Q

W ciclo = 0,236   .   6,3.10 4

W ciclo = 14,9   k J

Resposta

a   ε c a r n o t = 0,236

b   W ciclo = 14,9   k J

Exercício Resolvido #3

Qual deve ser o trabalho realizado por um refrigerador de Carnot para transferir 1,0   J em forma de calor a de uma fonte de calor a 7,0 ° C para uma a 27 ° C , b de uma fonte a - 73 ° C para uma a 27 ° C , c de uma fonte a - 173 ° C para uma a 27 ° C e d   de uma fonte a - 223 ° C para uma a 27 ° C ?

Passo 1

A questão quer que calculemos o trabalho de um ciclo de Carnot, sendo que temos apenas as temperaturas das fontes e o valor de Q F = 1,0   J

Então vamos achar uma relação entre elas, pela fórmula de eficiência de um refrigerador de Carnot

K C a r n o t = Q F W

E

K C a r n o t = T F T Q - T F

Igualando elas temos

Q F W = T F T Q - T F

Isolando o trabalho agora

W = Q F . T Q - T F T F

Agora já temos a equação que vamos usar para resolver todos os itens.

Passo 2

a   Já vamos passar para kelvin, nesse item temos

T F = 7 ° C = 280   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na fórmula que acabamos de encontrar, temos

W = 1,0.20 280

W = 0,071   J

Passo 3

b Agora, temos

T F = - 7 3 ° C = 200   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na mesma fórmula, temos

W = 1,0.10 0 20 0

W = 0,5   J

Passo 4

c Bom, vamos continuar fazenos o mesmo

T F = - 1 73 ° C = 1 00   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na mesma fórmula, temos

W = 1,0.2 00 1 00

W = 2   J

Passo 5

d   Por útimos, temos

T F = - 22 3 ° C = 5 0   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na mesma fórmula, temos

W = 1,0.2 5 0 5 0

W = 5   J

Resposta

a   W = 0,071   J

b   W = 0,5   J

c   W = 2   J

d   W = 5   J

Exercício Resolvido #4

A figura abaixo mostra uma máquina de Carnot que trabalha entre as temperaturas T 1 = 400   K e T 2 = 150   K e alimenta um refrigerador de Carnot que trabalha entre as temperaturas T 3 = 325   K e T 4 = 225   K . Qual é a razão Q 3 / Q 1 ?

Passo 1

Vamos relacionar a eficiência de uma máquina térmica de Carnot, para descobrir alguns dados dela como Q 1 e W e depois telacionar esses dados com o refrigerador e sua eficiência para descobrir o Q 3 do refrigerador.

Para isso vamos usar

  • Máquina térmica:
  • ε Carnot = 1 - T F T Q

    ε c a r n o t = W ciclo Q Q

  • Refrigerador

K C a r n o t = T F T Q - T F

K c a r n o t = Q F W

E lembrar que

W = Q Q - Q F

Passo 2

Bom, vamos começar analisando a máquina térmica, dela queremos descobrir Q Q e para isso vamos achar sua eficiência, e depois relacionar o trabalho com Q Q

Para achar a eficiência é mole, certo? Temos as temperaturas das fontes, assim é só aplicar a fórmula

ε Carnot = 1 - T F T Q

Lembrando que as temperaturas devem estar em kelvin,

ε Carnot = 1 - 150 400

ε Carnot = 1 - 0,375

ε Carnot = 0,625

Agora, para relacionar Q Q com o trabalho W , temos

ε c a r n o t = W ciclo Q 1

Assim,

Q 1 =   W 0,625

Passo 3

Agora vamos analisar o refrigerador,

Primeiro calculando seu coeficiente de dempenho

K C a r n o t = T F T Q - T F

K C a r n o t = 225 325 - 225

K C a r n o t = 2,25

Agora podemos relacionar o trabalho recebido com o Q Q do refrigerador

Pela fórmula a seguir descobrimos que

K c a r n o t = Q 4 W

W = Q 4 2,25    

Como

W = Q 3 - Q 4

Podemos escrever que

Q 4 = Q 3 - W

Substiuindo na fórmula acima

W . 2,25 = Q 3 - W

3,25   W = Q 3

Q 3 = 3,25   .   W

Passo 4

Vamos fazer a razão Q 3 / Q 1  

Q 3 Q 1 = 3,25 .   W W 0,625

Q 3 Q 1 = 2,03

Resposta

Q 3 Q 1 = 2,03

Exercício Resolvido #5

A respeito de máquinas térmicas e refrigeradores assinale a alternativa INCORRETA.

a   Em um refrigerador sempre se joga mais calor na fonte quente do que se retirou da fria.

b   Um refrigerador perfeito (no qual o trabalho realizado é zero) pode ser pensado como uma máquina perfeita (para a qual a eficiência é de 100 % ) operando reversamente.

c   Pela segunda lei da termodinâmica podemos afirmar que não existem nem refrigeradores perfeitos nem máquinas perfeitas.

d   Quanto maior a diferença entre as temperaturas da fonte fria e da fonte quente tanto maior é a eficiência que uma máquina térmica pode ter.

Passo 1

Vamos analisar uma por uma:

a Sim! Pois basta a gente lembrar daquela relação dos ciclos:

Q q = Q F + W

Ou seja, o calor da fonte quente é igual ao calor da fonte fria mais o trabalho. Você também pode pensar assim: A energia do trabalho que eu realizo pra retirar calor da fonte fria acaba sendo despejado junto, com o calor da fonte fria, na fonte quente.

b   Não! Se tivermos o trabalho igual à zero, a nossa relação vai ficar:

Q q = Q F + W

W = 0   → Q q = Q F

Agora imagine uma máquina térmica nessas condições....como podemos dizer que ela estará operando com uma eficiência de 100 % se ela não estará realizando nenhum trabalho? Não tem lógica, certo? Uma máquina térmica é muito eficiente quando recebe pouco calor e consegue converter quase todo esse calor em trabalho, não que despeja todo o calor que recebe na fonte fria ( Q q = Q F ) .

Passo 2

c Verdade. Essa é bem fácil, né? É, inclusive, um dos enunciados da segunda lei:

“É impossível construir um dispositivo que opere, segundo um ciclo, e que não produza outros efeitos, além da transferência de calor de um corpo frio para um corpo quente

d Verdade. Basta a gente se lembrar da fórmula:

e = 1 - T f T q

Se T q ≫ T f , ou seja, se for muito maior, a eficiência tenderá a 1, ou seja, 100 %

Resposta

b

Exercício Resolvido #6

Para fazer gelo, um refrigerador, que é o inverso de uma máquina de Carnot, extrai 42   kJ sob a forma de calor, trabalhando a - 15   ° C durante cada ciclo, com coeficiente de desempenho igual a 5,7 . A temperatura ambiente é   30,3   ° C .Determine:

a   Quanta energia por ciclo é fornecida na forma de calor para o ambiente.

b   Quanto trabalho por ciclo é necessário para funcionar o refrigerador.

Passo 1

Bom galera, nessa questão vamos usar basicamente o conceito de rendimento de um refrigerador. As relações que precisamos usar pra resolver essa questão são as seguintes:

K = Q F W

W = Q Q - Q F

K Carnot = Q F Q Q - Q F

K Carnot = T F T Q - T F

Sendo que as últimas duas são aplicáveis apenas a ciclos de Carnot. Podemos nos perguntar, será que esse é um ciclo de Carnot? Posso usar essas relações? Como saber?

Fácil! Temos as temperaturas da fonte fria e da fonte quente e temos o coeficiente de rendimento. Vamos aplicar essas temperaturas na expressão do K C a r n o t e se obtivermos o mesmo coeficiente, esse é um ciclo de Carnot!

Sendo:

T F = - 15 ° C → T F = - 15 + 273 = 258   K

T Q = 30,3 ° → T Q = 30,3 + 273 = 303,3   K

Aplicando na fórmula:

K Carnot = T F T Q - T F

K C a r n o t = 258 303,3 - 258

K C a r n o t = 5,7

Opa, então é mesmo um ciclo de Carnot!

Passo 2

Fica mais fácil começarmos pela b , pois, conhecendo o trabalho, descobriremos o calor que é fornecido para o ambiente. Bom, sabemos o calor que é extraído do sistema, o Q F , então podemos usar a relação abaixo pra achar o trabalho do ciclo:

K = Q F W

Com:

Q F = 42   k J K = 5,7  

Logo:

K = Q F W

5,7 = 42 x 10 3 W

W = 7,4   kJ  

Passo 3

Agora vamos resolver a

Queremos saber o calor que é liberado no ambiente, ou seja, o Q Q . Vamos usar a relação:

W = Q Q - Q F

Com:

W = 7,4   k J Q F = 42   k J

Logo:

W = Q Q - Q F

Q Q = W + Q F

Q Q = 7,4 + 42

Q Q = 49,4   kJ

Resposta

a   49,4   kJ  

b   7,4   kJ 

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