Ciclo de Carnot

Teoria Completa

Ciclo de Carnot

O ciclo de Carnot é o ciclo que tem o maior rendimento possível entre duas temperaturas.

Não existe nenhum outro ciclo com rendimento maior do que o rendimento do ciclo de Carnot nesse intervalo de temperaturas.

O ciclo é composto por duas isotermas e duas adiabáticas, alternadamente.

Todos os processos são reversíveis!

As isotermas são paralelas e menos inclinadas.

E as adiabáticas são, também paralelas, e mais inclinadas

Podemos ver isso na figura:

1-2: compressão adiabática

2-3: expansão isotérmica

3-4: expansão adiabática

4-1: compressão isotérmica

Rendimento do ciclo de Carnot

O rendimento ou eficiência de um ciclo genérico é dado por

ε = 1 - Q F Q Q

Só que no ciclo de Carnot, nós podemos escrever:

Q F T F = Q Q T Q

Ou

Q F Q Q = T F T Q

Então, no ciclo de Carnot, esse valor é igual ao seguinte:

ε Carnot = 1 - T F T Q

Por exemplo: qual é o rendimento de um ciclo de Carnot que opera entre 200   K e 400   K ?

A temperatura que sai é sempre menor do que a temperatura que entra:

T F < T Q

Então basta substituir:

ε Carnot = 1 - T F T Q

⇒ ε Carnot = 1 - 200   K 400   K

⇒ ε Carnot = 1 - 1 2 = 0,5 = 50 %

Entre 200   K e 400   K , nenhum outro ciclo tem eficiência maior do que 50 % !

Refrigerador de Carnot

Analogamente, podemos chamar um refrigerador ideal de refrigerador de Carnot, pois ele possui o maior coeficiente de desempenho trabalhando entre duas temperaturas dadas.

Em um refrigerador de Carnot, o coeficiente de desempenho é dado por:

K C a r n o t = Q F Q Q - Q F

ou

K C a r n o t = T F T Q - T F

Dica para Lembrar a fórmula do rendimento ou do coeficiente de desempenho:

Você pode pensar assim:

τ = ("Energia que eu quero") ("Energia que eu pago")

Onde τ pode ser a eficiência ou coeficiente de desempenho.

Por exemplo: Nas máquinas térmicas, nós queremos que trabalho seja realizado, certo? E, como preço, nós usamos o calor vindo da fonte quente. Assim:

ε = ("Energia que eu quero") ("Energia que eu pago") = W ciclo Q Q

No caso dos refrigeradores, a energia que queremos trabalhar é a energia extraída de uma fonte fria e o preço o trabalho:

K = ("Energia que eu quero") ("Energia que eu pago") = Q F W

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 269. x-y 23

Uma máquina de Carnot tem uma eficiência de 22,0 % . Ela opera entre duas fontes de calor de temperatura constante cuja diferença de temperatura é 75,0 ° C . Qual é a temperatura a da fonte fria e b   da fonte quente?

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Passo 1

A eficiência de um ciclo de Carnot, é dada pela fórmula

ε = 1 - T F T Q

Podemos reescrever isso, assim

ε = T Q - T F T Q

Passo 2

b   Primeiro vamos descobrir a temperatura da fonte quente. Para descobrirmos a temperatura da fonte quente, vamos substituis os valor que temos

ε = 0,22

T Q - T F = 75 ° C = 75   K

Lembre-se que a temperatura deve ser em kelvin, e que a variação em celsius é igual a variação em kelvin

Assim temos que

0,22 = 75 T Q

T Q = 75 0,22

T Q = 341   K

Passando para Celsius

T Q = 341 - 273 = 68 ° C

Passo 3

a     Agora conseguimos facilmente descobrir o valor da temperatura da fonte fria, pois temos que

T Q - T F = 75 ° C = 75   K

Substituindo o valor de T Q

68 - T F = 75

T F = - 7 ° C  

Resposta

a   T F = - 7 ° C  

b T Q = 68 ° C

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 269. x-y 25

Uma máquina de Carnot opera entre 235 ° C   e 115 ° C , absorvendo 6,30.10 4 J por ciclo na temperatura mais alta. a   Qual é a eficiência da máquina? b   Qual é o trabalho por ciclo que essa máquina é capaz de realizar?

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Passo 1

Em questões de ciclo de Carnot vamos usar as fórmulas para calcular eficiência

ε Carnot = 1 - T F T Q

E

ε c a r n o t = W ciclo Q Q

Passo 2

a   Vamos usar a primeira fórmula, para calcular a eficiência do ciclo de Carnot, pois o enunciado nos forneceu as duas temperaturas

ε c a r n o t = 1 - 273 + 115 273 + 235

Lembre-se que a temperatura deve ser em kelvin

ε c a r n o t = 1 - 0,764

ε c a r n o t = 0,236

Passo 3

b   O problema nos diz que a máquina absorve 6,3 . 10 4   J na temperatura mais alta, isso é o calor absorvido pela fonte quente, logo

Q Q = 6,3.10 4   J

Sendo assim, agora vamos usar a segunda fómula que mostrei no “passo 1”

ε c a r n o t = W ciclo Q Q

W ciclo = 0,236   .   6,3.10 4

W ciclo = 14,9   k J

Resposta

a   ε c a r n o t = 0,236

b   W ciclo = 14,9   k J

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 270. x-y 40

Qual deve ser o trabalho realizado por um refrigerador de Carnot para transferir 1,0   J em forma de calor a de uma fonte de calor a 7,0 ° C para uma a 27 ° C , b de uma fonte a - 73 ° C para uma a 27 ° C , c de uma fonte a - 173 ° C para uma a 27 ° C e d   de uma fonte a - 223 ° C para uma a 27 ° C ?

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Passo 1

A questão quer que calculemos o trabalho de um ciclo de Carnot, sendo que temos apenas as temperaturas das fontes e o valor de Q F = 1,0   J

Então vamos achar uma relação entre elas, pela fórmula de eficiência de um refrigerador de Carnot

K C a r n o t = Q F W

E

K C a r n o t = T F T Q - T F

Igualando elas temos

Q F W = T F T Q - T F

Isolando o trabalho agora

W = Q F . T Q - T F T F

Agora já temos a equação que vamos usar para resolver todos os itens.

Passo 2

a   Já vamos passar para kelvin, nesse item temos

T F = 7 ° C = 280   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na fórmula que acabamos de encontrar, temos

W = 1,0.20 280

W = 0,071   J

Passo 3

b Agora, temos

T F = - 7 3 ° C = 200   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na mesma fórmula, temos

W = 1,0.10 0 20 0

W = 0,5   J

Passo 4

c Bom, vamos continuar fazenos o mesmo

T F = - 1 73 ° C = 1 00   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na mesma fórmula, temos

W = 1,0.2 00 1 00

W = 2   J

Passo 5

d   Por útimos, temos

T F = - 22 3 ° C = 5 0   K

T Q = 27 ° C = 300   K

Substituindo na mesma fórmula, temos

W = 1,0.2 5 0 5 0

W = 5   J

Resposta

a   W = 0,071   J

b   W = 0,5   J

c   W = 2   J

d   W = 5   J

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 270. x-y 41

A figura abaixo mostra uma máquina de Carnot que trabalha entre as temperaturas T 1 = 400   K e T 2 = 150   K e alimenta um refrigerador de Carnot que trabalha entre as temperaturas T 3 = 325   K e T 4 = 225   K . Qual é a razão Q 3 / Q 1 ?

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Passo 1

Vamos relacionar a eficiência de uma máquina térmica de Carnot, para descobrir alguns dados dela como Q 1 e W e depois telacionar esses dados com o refrigerador e sua eficiência para descobrir o Q 3 do refrigerador.

Para isso vamos usar

  • Máquina térmica:
  • ε Carnot = 1 - T F T Q

    ε c a r n o t = W ciclo Q Q

  • Refrigerador

K C a r n o t = T F T Q - T F

K c a r n o t = Q F W

E lembrar que

W = Q Q - Q F

Passo 2

Bom, vamos começar analisando a máquina térmica, dela queremos descobrir Q Q e para isso vamos achar sua eficiência, e depois relacionar o trabalho com Q Q

Para achar a eficiência é mole, certo? Temos as temperaturas das fontes, assim é só aplicar a fórmula

ε Carnot = 1 - T F T Q

Lembrando que as temperaturas devem estar em kelvin,

ε Carnot = 1 - 150 400

ε Carnot = 1 - 0,375

ε Carnot = 0,625

Agora, para relacionar Q Q com o trabalho W , temos

ε c a r n o t = W ciclo Q 1

Assim,

Q 1 =   W 0,625

Passo 3

Agora vamos analisar o refrigerador,

Primeiro calculando seu coeficiente de dempenho

K C a r n o t = T F T Q - T F

K C a r n o t = 225 325 - 225

K C a r n o t = 2,25

Agora podemos relacionar o trabalho recebido com o Q Q do refrigerador

Pela fórmula a seguir descobrimos que

K c a r n o t = Q 4 W

W = Q 4 2,25    

Como

W = Q 3 - Q 4

Podemos escrever que

Q 4 = Q 3 - W

Substiuindo na fórmula acima

W . 2,25 = Q 3 - W

3,25   W = Q 3

Q 3 = 3,25   .   W

Passo 4

Vamos fazer a razão Q 3 / Q 1  

Q 3 Q 1 = 3,25 .   W W 0,625

Q 3 Q 1 = 2,03

Resposta

Q 3 Q 1 = 2,03

Exercício Resolvido #5

UFRJ – 1ª Prova -2015

A respeito de máquinas térmicas e refrigeradores assinale a alternativa INCORRETA.

a   Em um refrigerador sempre se joga mais calor na fonte quente do que se retirou da fria.

b   Um refrigerador perfeito (no qual o trabalho realizado é zero) pode ser pensado como uma máquina perfeita (para a qual a eficiência é de 100 % ) operando reversamente.

c   Pela segunda lei da termodinâmica podemos afirmar que não existem nem refrigeradores perfeitos nem máquinas perfeitas.

d   Quanto maior a diferença entre as temperaturas da fonte fria e da fonte quente tanto maior é a eficiência que uma máquina térmica pode ter.

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Passo 1

Vamos analisar uma por uma:

a Sim! Pois basta a gente lembrar daquela relação dos ciclos:

Q q = Q F + W

Ou seja, o calor da fonte quente é igual ao calor da fonte fria mais o trabalho. Você também pode pensar assim: A energia do trabalho que eu realizo pra retirar calor da fonte fria acaba sendo despejado junto, com o calor da fonte fria, na fonte quente.

b   Não! Se tivermos o trabalho igual à zero, a nossa relação vai ficar:

Q q = Q F + W

W = 0   → Q q = Q F

Agora imagine uma máquina térmica nessas condições....como podemos dizer que ela estará operando com uma eficiência de 100 % se ela não estará realizando nenhum trabalho? Não tem lógica, certo? Uma máquina térmica é muito eficiente quando recebe pouco calor e consegue converter quase todo esse calor em trabalho, não que despeja todo o calor que recebe na fonte fria ( Q q = Q F ) .

Passo 2

c Verdade. Essa é bem fácil, né? É, inclusive, um dos enunciados da segunda lei:

“É impossível construir um dispositivo que opere, segundo um ciclo, e que não produza outros efeitos, além da transferência de calor de um corpo frio para um corpo quente

d Verdade. Basta a gente se lembrar da fórmula:

e = 1 - T f T q

Se T q ≫ T f , ou seja, se for muito maior, a eficiência tenderá a 1, ou seja, 100 %

Resposta

b

Exercício Resolvido #6

UERJ – Lista para 2ª

Para fazer gelo, um refrigerador, que é o inverso de uma máquina de Carnot, extrai 42   kJ sob a forma de calor, trabalhando a - 15   ° C durante cada ciclo, com coeficiente de desempenho igual a 5,7 . A temperatura ambiente é   30,3   ° C .Determine:

a   Quanta energia por ciclo é fornecida na forma de calor para o ambiente.

b   Quanto trabalho por ciclo é necessário para funcionar o refrigerador.

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Passo 1

Bom galera, nessa questão vamos usar basicamente o conceito de rendimento de um refrigerador. As relações que precisamos usar pra resolver essa questão são as seguintes:

K = Q F W

W = Q Q - Q F

K Carnot = Q F Q Q - Q F

K Carnot = T F T Q - T F

Sendo que as últimas duas são aplicáveis apenas a ciclos de Carnot. Podemos nos perguntar, será que esse é um ciclo de Carnot? Posso usar essas relações? Como saber?

Fácil! Temos as temperaturas da fonte fria e da fonte quente e temos o coeficiente de rendimento. Vamos aplicar essas temperaturas na expressão do K C a r n o t e se obtivermos o mesmo coeficiente, esse é um ciclo de Carnot!

Sendo:

T F = - 15 ° C → T F = - 15 + 273 = 258   K

T Q = 30,3 ° → T Q = 30,3 + 273 = 303,3   K

Aplicando na fórmula:

K Carnot = T F T Q - T F

K C a r n o t = 258 303,3 - 258

K C a r n o t = 5,7

Opa, então é mesmo um ciclo de Carnot!

Passo 2

Fica mais fácil começarmos pela b , pois, conhecendo o trabalho, descobriremos o calor que é fornecido para o ambiente. Bom, sabemos o calor que é extraído do sistema, o Q F , então podemos usar a relação abaixo pra achar o trabalho do ciclo:

K = Q F W

Com:

Q F = 42   k J K = 5,7  

Logo:

K = Q F W

5,7 = 42 x 10 3 W

W = 7,4   kJ  

Passo 3

Agora vamos resolver a

Queremos saber o calor que é liberado no ambiente, ou seja, o Q Q . Vamos usar a relação:

W = Q Q - Q F

Com:

W = 7,4   k J Q F = 42   k J

Logo:

W = Q Q - Q F

Q Q = W + Q F

Q Q = 7,4 + 42

Q Q = 49,4   kJ

Resposta

a   49,4   kJ  

b   7,4   kJ 

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