Máquinas Térmicas

Teoria Completa

Fala aí! Bem vindo ao RespondeAí! Nessa página tentaremos entender o que são máquinas térmicas!

Uma máquina térmica é um aparato capaz de utilizar algum combustível para produzir calor ($Q$) com o objetivo de produzir trabalho, o melhor exemplo de uma máquina térmica que todos conhecem é o motor de um carro, que através da combustão da gasolina produz trabalho o suficiente para movimentar pistões que fazem com que a roda do veículo entre em movimento.

Se isolarmos as peças de uma máquina térmica e tratarmos ela especialmente com olhar de um físico que estuda termodinâmica, podemos fazer o seguinte esquema:

Voltando ao exemplo do motor, a gasolina provê a fonte quente, os pistões com o calor, movimentam as rodas e realizam trabalho, e o motor libera pelo escapamento o calor sobressalente.

Em um ciclo de uma máquina térmica podemos calcular o rendimento que ela possuí com a fórmula:

$$\epsilon = \frac{|W_{\text{ciclo}}|}{|Q_1|}$$

O trabalho do ciclo vale $W_{\text{ciclo}}=Q_1-Q_2$, temos:

$$\epsilon = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$

E dessa forma podemos calcular o rendimento de uma máquina térmica.

O processo inverso também pode ser aplicado. As geladeiras por exemplo utilizam o trabalho gerado pela corrente elétrica no circuito, para manter ligado um compressor de ar. Dessa forma o gás fica comprimido e armazenado a uma alta pressão dentro da geladeira. Como o volume do sistema se mantém constante, a temperatura do gás diminui, e assim as geladeiras mantém os alimentos refrigerados.

Então as máquinas térmicas são equipamentos utilizados para realizar trabalho, e por isso em um motor temos que:

$$W_{\text{Máquina}}>0$$

Porém no caso do refrigerador, temos que tirar o calor da fonte, por tanto precisamos que:

$$W_{Refrigerador}<0$$

Exercício

Vamos ver como nosso Experts resolveriam um exercício do nosso tópico de Máquinas Térmicas e Refrigeradores:

Um gás ideal ($1,0mol$) é a substância de trabalho em uma máquina térmica que descreve o ciclo mostrado na figura abaixo. Os processos $BC$ e $DA$ são reversíveis e adiabáticos.

  • O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômica?
  • Qual a eficiência da máquina?
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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2. Rio de Janeiro: LTC , 2008. x-y 13

Quais são a   W s a í d a e Q F , e ( b ) o rendimento térmico da máquina térmica mostrada na figura?

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Passo 1

a   Quando estamos trabalhando com um ciclo, temos que o trabalho será a área interna ao ciclo, ou seja a área do triangulo:

W s a í d a = 400 × 10 3 - 200 × 10 3 . 200 × 10 - 6 - 100 × 10 - 6 2

Repare que temos que passar tudo para o sistema internacional!

W s a í d a = 10   J

Se liga que como o ciclo funciona no sentido horário, temos que o trabalho é positivo!

Passo 2

Agora que temos o trabalho, podemos determinar Q F , pois sabemos que:

W = Q Q - Q F

Substituindo os valores, temos:

10 = 30 + 84 - Q F

Q F = 104   J

Passo 3

b   O rendimento de uma máquina térmica pode ser determinado da seguinte forma:

ε = W c i c l o Q Q

É só substituir e correr pro abraço!

ε = 10 114

ε ≈ 0,0877

Show!

Resposta

a W s a í d a = 10   J ; Q F = 104   J

b ε ≈ 0,0877

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2. Rio de Janeiro: LTC , 2008,x-y 54

A figura mostra o ciclo de uma máquina térmica que usa gás com γ = 1,25 . A temperatura inicial é T 1 = 300   K , e a máquina opera a 20 ciclos por segundo.

a Qual é a potência de saída da máquina?

b Qual é o rendimento térmico da máquina?

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Passo 1

a   Para determinar a potência de saída da máquina, precisamos determinar o trabalho W c i c l o . Para determinar o trabalho, precisamos determinar Q e W para cada um dos processos.

Para começar, precisamos determinar o número de mols do gás que temos, para isso, basta usar a clássica P . V = n . R . T no ponto 1 , pois conhecemos todos os dados para esse ponto, se liga:

n = P 1 . V 1 R . T 1

n = 1.01 × 10 5 . ( 600 × 10 - 6 ) 8,31 .     300

Lembre-se de usar o S . I !

n = 0,024   m o l

agora que sabemos quantos mols estão envolvidos, podemos analisar cada processo do ciclo, começando pelo processo isotérmico:

Processo 1 → 2 (isotérmico)

p 1 . V 1 = p 2 . V 2

p 2 = p 1 . V 1 V 2

p 2 = 1.01 × 10 5 . ( 600 × 10 - 6 ) 200 × 10 - 6

p 2 = 3,03 × 10 5   P a

Processo 2 → 3 (isobárico):

V 2 T 2 = V 3 T 3

T 3 = 300 .   600 × 10 - 6 200 × 10 - 6

T 3 = 900   K

A gora que temos todas as informações do ciclo, podemos determinar Q e W em cada processo, se liga no próximo passo!

Passo 2

Para o processo 1 → 2 , temos:

W 1 → 2   = n . R . T . ln ⁡ V 2 V 1

Substituindo os valores, temos:

W 1 → 2   = 0,024 .   8,31 .   300 . ln ⁡ 200 × 10 - 6 600 × 10 - 6

W 1 → 2   = - 65,73   J

No processo isotérmico, temos:

Q = W

Q 1 → 2   = - 65,73   J

Para o processo 2 → 3 , temos:

W 2 → 3   = p 2 . Δ V

Substituindo os valores, temos:

W 2 → 3   = 3,03 × 10 5 .   ( 600 × 10 - 6 - 200 × 10 - 6 )

W 2 → 3   = 121,2   J

No processo isobárico, temos:

Q = n .   c p .   Δ T

Pausa para calcular c p :

c p c v = γ

c p = c v + R

Então:

c p = - γ . R 1 - γ = - 1,25 . R ( 1 - 1,25 )

c p = 5 R

Voltando ao cálculo de Q 2 → 3 , temos:

Q = n .   c p .   Δ T

Q 2 → 3 = 0,024 .   5 .     8,31 . ( 900 - 300 )

Q 2 → 3 = 598,32   J

Para o processo 3 → 1 , temos:

W 3 → 1   = 0

No processo isovolumétrico, temos:

Q = n . c v . Δ T

Como já sabemos o valor de c p , c v = 4 R , substituindo os valores, temos:

Q 3 → 1 = 0,024 ,   4 .   8,31 .   ( 300 - 900 )

Q 3 → 1 = - 478,66   J

Agora que temos Q e W para todos os processos, podemos determinar W c i c l o , basta somar!

W c i c l o = W 1 → 2   + W 2 → 3 + W 3 → 1

W c i c l o = - 65,73 + 121,2 + 0

W c i c l o = 55,47   J

Como temos que a máquina opera a 20 ciclos por segundo, temos que a potência é dada por:

P s a í d a = W c i c l o . c i c l o s s e g u n d o

P s a í d a ≈ 55,47   .   20

P s a í d a ≈ 1109,4   W

Passo 3

b   Para uma máquina térmica, temos que o rendimento é dado por:

ε = W c i c l o Q Q

Pelos cálculos, vemos que Q Q = 598,32   J , substituindo, temos:

ε = 55,47 598,32  

ε ≈ 0,0927  

Resposta

a P s a í d a ≈ 1109,4   W

b ε ≈ 0,0927  

Exercício Resolvido #3

UERJ – Lista para a 2ª Prova

A figura mostra um ciclo reversível percorrido por 1,00   m o l de um gás monoatômico ideal. O processo B C   é uma expansão adiabática, com p b = 10,0   atm e   V b = 1,00 ⋅ 10 - 3 m 3 . Para este ciclo, encontre:

a A energia adicionada ao gás na forma de calor.

b A energia liberada pelo gás na forma de calor.

c O trabalho líquido realizado pelo gás

d A eficiência do ciclo

Dados:

- gás monoatômico: C V = 3 R / 2 , C P =   5 R / 2 e   γ = 5 / 3 .

- pressão atmosférica   P a t m =   1,013 ⋅ 10 5   N/ m 2

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Passo 1

Bom galera, vamos utilizar uma série de relações importantes envolvendo gases pra resolver essa questão. Então apertem os cintos, lá vamos nós:

a   Bem, queremos saber aqui qual a quantidade de calor que adicionada ao ciclo pra que esse realize trabalho. Poderíamos analisar transformação por transformação e achar a contribuição de cada uma para o calor fornecido. Mas, vamos pensar um pouco sobre esse ciclo:

No trecho B - C :

Não há troca de calor aqui, pois é uma transformação adiabática ( Q = 0 ) . O calor que foi fornecido ao ciclo não pode ter sido “injetado” aqui, né? (:

No trecho C - A :

Bem, aqui há troca de calor. Porém, como o trabalho é negativo (o gás está se contraindo, diminuindo o seu volume), é de se esperar que esse seja o ponto de rejeição de calor para a fonte fria!

No trecho A - B :

É aqui onde o calor tem que ser fornecido! Agora, precisamos calculá-lo:

Usando a primeira lei:

∆ U = Q - W

Perceba, pelo gráfico, que não há variação de volume nesse trecho! É uma transformação isovolumétrica, e isso quer dizer que W = 0 . Logo:

∆ U = Q

Ok! Então basta calcularmos a variação de energia interna pra acharmos o trabalho. Lembrando que:

∆ U = n c v ∆ T   → Q = n c v ∆ T  

Temos o valor de c v e n , mas precisamos descobrir o valor de ∆ T .Vamos usar a equação geral dos gases para isso:

P V = n R T → T = P V n R

Vamos achar primeiro a temperatura do ponto b , pois já temos o valor da pressão e volume desse ponto:

T b = P b V b n R

T b = 10 ⋅ 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ 1,00 ⋅ 10 - 3 1 ⋅ R

T b = 1013 R

Agora vamos calcular T a . Pra isso, precisamos da pressão e do volume desse ponto, porém só temos o valor do volume. Mas perceba que a pressão daquele ponto é a mesma que a pressão do ponto c !

Vamos descobrir então a pressão do ponto c. Como há uma transformação adiabática entre b e c , podemos achar a pressão de c através da equação das transformações adiabáticas:

P b V b γ = P c V c γ

P c = P b ⋅ V b V c γ

P c = 10 ⋅ 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ V b 8 V b 5 3

P c = 10 ⋅ 1,013 ⋅ 10 5 ⋅ 1 8 5 3

P c ≅ 31656

Como P c = P a :

T a = P a V a n R

T a = 31656 ⋅ 1,00 ⋅ 10 - 3 R

T a = 31,7 R

Então,   ∆ T vale:

∆ T = T b - T a

Δ T = 1013 - 31,7 R

Δ T = 981,3 R

Substituindo esse valor e os outros do enunciado na expressão que encontramos pro calor:

Q = n c v ∆ T  

Q = 1 ⋅ 3 2 R ⋅ 981,3 R

Q = 1471,9   J  

Q ≅ 1,47   kJ

Conseguimos! Galera, não se assustem, esse tipo de questão é como um quebra cabeça. Aos poucos vamos descobrindo as informações de cada ponto do ciclo, e elas podem ser usadas nas outras opções da questão.

Passo 2

b   Agora queremos saber qual foi o calor rejeitado. Lembra da nossa análise? Vimos que o processo em que ocorrerá a liberação de calor para a fonte fria é o processo C - A ! Vamos analisar esse processo com a primeira lei:

∆ U = Q - W

Q = ∆ U + W  

Podemos calcular W :

W C - A = P A V A - V C

W C - A = 31656 ⋅ 1 - 8 ⋅ 10 - 3

W C - A ≅ - 221,6   J

Agora precisamos descobrir o valor de ∆ U C - A . Bom, uma forma de se descobrir isso é se lembrando que a variação total da energia interna em um ciclo é 0. Isso também nos diz que a soma das variações de cada trecho tem que ser igual a 0:

∆ U ciclo = 0   ↔ ∆ U B - C + ∆ U C - A + ∆ U A - B = 0

  ∆ U A - B = - ( ∆ U B - C + ∆ U C - A )

No trecho A - B sabemos que Q = ∆ U :

∆ U = Q = 1,47   kJ = 1470   J

Podemos calcular a variação e energia interna no trecho B - C :

∆ U B - C = n c v T c - T b

T B Já foi calculado e vale:

T b = 1013 R

A gente pode calcular T c facilmente, pois já temos a pressão e o volume do ponto c:

T c = P c V c n R

T c = 31656 ⋅ 8 ⋅ 10 - 3 1 ⋅ R

T c = 253,3 R

Logo:

∆ U B - C = n c v T c - T b  

  ∆ U B - C = 3 2 R ⋅ 253,3 - 1013 R

∆ U B - C ≅ - 1139   J 

Agora vamos descobrir ∆ U A - B :

∆ U A - B = - 1470 - 1139

∆ U A - B = - 331   J

Agora, sabendo o valor do trabalho e da variação de energia interna:

Q = ∆ U + W

Q = - 331 - 221,6

Q = -   552,6   J

Q ≅ - 0,55   kJ

Passo 3

c   Essa é fácil! Depois de todo aquele trabalho, temos todas as informações pra resolver esse item! Vamos apenas usar a relação:

Q ciclo = W ciclo → W ciclo = Q Q - Q F

W ciclo = 1,47 k J - - 0,55   kJ

W ciclo ≅ 920   J

d   Outra que vamos resolver rapidamente já que já temos todas as informações necessárias. A eficiência de uma máquina térmica é:

ε = W ciclo Q Q

Como:

  • Q Q = 1,4   kJ = 1400   J
  • W ciclo = 920   J

Substituindo na expressão:

ε = W ciclo Q Q  

  ε = 920 1400

  ε ≅ 63 %

Resposta

a   1,47   kJ 

b   - 0,55   kJ

c   920   J 

d   63 %

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 270. x-y 32

Um gás ideal 1,0   m o l é a substância de trabalho em uma máquina térmica que descreve o ciclo mostrado na figura abaixo. Os processos B C e D A são reversíveis e adiabáticos. a O gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico? b   Qual é a eficiencia da máquina?

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Passo 1

a   Temos que descobrir se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.

Para isso podemos analisar tanto o processo D A   ou C B , nós vamos escolher analisar o processo D A .

Como o enunciado disse, é um processo adiabático. Então podemos usar a relação

p . V γ = c t e

Então no processo D A , temos que

p A . V A γ = p D . V D γ

O gráfico nos fornece o dado de pressão e volume nos estados A e D , substituindo na equação temos

p 0 . V 0 γ = p 0 32 . 8 V 0 γ

Cortando os termos em cumun

8 γ = 32  

γ = 5 3

Se lembrarmos da tabela que fizemos em uma das teorias anteriores, onde relacionamos γ com o grau de liberdade.

Assim, sabemos que se

γ = 5 3  

Então o gás é monoatômico

Passo 2

b   Para calcular a eficiência da máquina vamos usar a fórmula que aprendemos

ε = 1 - Q F Q Q

Como os processo D A   e B C são adiabáticos isso significa que não há troca de calor nesses processo assim, sabemos que só há troca de calor nos processos A B e C D .

Sendo que no processo A B o sistema absorve energia, então é aqui que vamos calcular o Q Q , através da fórmula a seguir por ser um processo a pressão constante

Q Q = n c p . Δ T

Como o gás é monoatômico, temos que

c p = 5 2 R

Por “piviti-povotó” temos que

p A V A T A = p B V B T B

Como em A B , a pressão é constante, teremos:

V A T A = V B T B

Como V B = 2 V A :

T B = 2 T A

Substituindo esse valores na fórmula de Q Q e o valor de p A e p B que temos no grágico, chegamos em

Q Q = n 5 2 R . 2 . T A - T A

Q Q = 5 2 n R T A

Pela equação geral dos gás temos que

p A . V A = n R T A

Substituindo na equação de Q Q

Q Q = 5 2 p A . V A

O que vale

Q Q = 5 2 p 0 . V 0

Passo 3

Agora no processo C D é onde o sistema vai liberar calor, sendo assim vamos calcular o Q F

Q F = n c p . Δ T