Primeira Lei da Termodinâmica em Ciclos

Teoria Completa

O que são Ciclos?

Já sabemos calcular calor, trabalho e energia interna dos seguintes processos termodinâmicos: isobáricos, isométricos, isotérmicos e adiabáticos.

Beleza! Agora vamos considerar que esses processos ocorram de modo a fechar um ciclo.

Ou seja: as curvas de cada processo se encontram, delimitando uma área.

Por exemplo:

Nossa ideia é aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica ao ciclo como um todo.

Bora fazer isso?

Primeira Lei em um ciclo

Aplicando a Primeira Lei em um ciclo fechado, temos o seguinte:

Q ciclo = W ciclo + Δ U ciclo

Mas sabemos que a energia interna é uma função de estado e só depende dos valores inicial e final.

Em um ciclo, esses valores são iguais!

Logo:

Δ U ciclo = 0

⇒ Q ciclo = W ciclo

Esses valores são o saldo de calor e trabalho, respectivamente.

Estamos interessados no saldo de trabalho.

Podemos dizer que o saldo de calor é o que entra, ou seja o calor da fonte quente menos o que sai, calor rejeitado na fonte fria:

Q ciclo = Q Q - Q F

Substituindo:

Q Q - Q F = W ciclo

⇒ Q Q = W ciclo + Q F

Trabalho em um ciclo

O trabalho em um ciclo é exatamente a área do ciclo no diagrama p × V .

Se os processos estiverem em sentido horário: W > 0

Se os processos estiverem em sentido anti-horário: W < 0

Rendimento de um ciclo

O rendimento do ciclo vai ser o trabalho útil que ele produziu sobre o calor que ele recebeu. Ou seja:

ε = W C i c l o Q Q = Q Q - Q F Q Q = 1 - Q F Q Q

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 209-46

Um sistema termodinâmico passa do estado A para o estado B , do estado B para o estado C e de volta para o estado A , como mostra o diagrama p - V da figura abaixo. A escala do eixo vertical é definida por p s = 40   P a , e a escala do eixo horizontal é definida por V s = 4,0   m 3 . a - g Complete a tabela da figura abaixo introduzindo um sinal positivo, um sinal negativo ou um zero nas células indicadas. h Qual é o trabalho líquido realizado pelo sistema em um ciclo A B C A ?

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Passo 1

O problema nos pede para analisarmos os processos em separado e assim identificarmos o sinal de Q ,   W   e Δ E i n t

Para começar a estudar os processos, vamos primeiro descobrir a escala de cada eixo do gráfico, no eixo x temos que V s = 4   m 3 então cada quadrado vale 1   m 3

E no eixo y , p s = 40   P a então cada quadrado vale 10   P a .

Agora vamos analisar o processo A → B

Como é um processo em que há expansão ( V   está aumentando), então W > 0  

Pela primeira lei temos

Δ E i n t = Q - W

Como Δ E i n t > 0

Então a soma de dois termos positivos dá necessariamente um termo positivo

Q = Δ E i n t + W

Assim,

Q > 0

Vamos estudar agora o processo B → C

Este processo é um processo a volume constante, então W = 0

Se trabalho é zero e o enunciado nos fornece que Q > 0 então pela primeira lei temos

Δ E i n t = Q

Então

Δ E i n t > 0

Agora, vamos estudar o processo C → A

Como o volume diminui, temos que W < 0

Como temos um ciclo, temos que em A B C A a variação da energia interna é zero Δ E i n t = 0

Como a variação nos processos A B e B C são positivos, então para que a variação dê zero, então a variação de energia interna em C A tem que ser negativa

Δ E i n t < 0

Agora para descobrir o sinal de Q , vamos analisar a primeira lei

Q = Δ E i n t + W

Se Δ E i n t e W são negativas então Q   é negativo Q < 0

Então fica assim a tabela

Passo 2

h   O módulo do trabalho de um ciclo é a área interna do ciclo, então basta a gente calcular a área interna do triângulo.

A = b . h 2

Como sabemos o valor de cada quadrado podemos substituir:

A = 2.2 0 2

A = 2 0   J

Como terminamos de dizer:

| W | = A

| W | = 2 0   J

Como o processo C → A envolve um trabalho negativo com módulo maior que o do trabalho positivo envolvido no processo A → B , o trabalho do ciclo deve ser negativo.

Logo:

W = - 20   J

Resposta

a, b, c, d, e, f, g)

h) W = - 20   J

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 209. x-y 46

A figura abaixo mostra um ciclo fechado de um gás ( a figura não foi desenhada em escala). A variação da energia interna do gás ao passar de a para c ao longo da trajetória a b c é - 200   J .   Quando o gás passa de c para d recebe 180   J na forma de calor. Mais 80   J são recebidos quando o gás passa de d para a . Qual é o trabalho realizado sobre o gás quando ele passa de c para d ?

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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar que, pela primeira lei da termodinâmica, que nos demonstra a conservação da energia, temos:

Δ U c i c l o = Q c i c l o - W c i c l o

Como em um ciclo a variação de energia interna é sempre nula, temos:

W c i c l o = Q c i c l o

Passo 2

Passo 3

Beleza! Vamos, então, trabalhar com os dados do enunciado! Mas, antes disso, perceba que :

W c i c l o = W a b + W b c + W c d + W d a

Q c i c l o = Q a b + Q b c + Q c d + Q d a

Ok! A primeira coisa que nos é dita é que Δ U a b c = Δ U a c = - 200 J e, então, com Δ U c d a + Δ U a b c = 0 , vem:

Δ U c d a = + 200 J = Q c d a - W c d a = Q c d + Q d a - W c d a = Q c d + Q d a - W c d

, pois W d a = 0 .

Passo 4

Agora, então, basta a gente trabalhar com a expressão anterior, pois o enunciado nos diz que Q c d = 180 J e Q d a = 80 J . Daí, temos:

Δ U c d a = + 200 J = 180 J + 80 J - W c d

e, então:

W c d = 260 J - 200 J = 60 J

Passo 5

Resposta

60 J

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 210-49

Quando um sistema passa do estado i para o f ao longo da trajetória i a f da figura abaixo, Q = 50   c a l . W = 20   c a l . Ao longo da trajetória i b f , Q = 36   c a l .

a Quanto vale W ao longo da trajetória i b f ?

b Se W = - 13   c a l na trajetória de retorno f i , quanto vale Q nessa trajetória?

c Se E i n t , i = 10   c a l , qual o valor de E i n t . f ?

( d )   Se E i n t ,   b = 22   c a l , qual o valor de Q na trajetória i b ?

e Se E i n t ,   b = 22   c a l , qual o valor de Q na trajetória b f ?

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Passo 1

a Bom, como a variação da energia interna não depende do caminho, podemos escrever:

∆ U i a f = ∆ U i b f

No percurso i a f :

∆ U i a f = Q i a f - W i a f = 50 - 20 = 30 c a l

Logo:

∆ U i a f = ∆ U i b f = 30 →   30 = 36 - W i b f   →     W i b f = 6 c a l

Passo 2

b   Novamente, a variação da energia interna não depende do caminho. No entanto, a variação da energia interna deve ser negativa em relação aos percursos que vão de i pra f .   Então:

∆ U f i = - ∆ U i a f = - ∆ U i b f = - 30   c a l

∆ U f i = - 30 c a l   → - 30 = Q f i - W f i = Q f i - - 13 = Q f i + 13

Q f i = - 43   c a l  

Passo 3

c A gente pode escrever:

∆ U i f = E i n t , f - E i n t ,   i = ∆ U i a f = ∆ U i b f

Com:

∆ U i a f = ∆ U i b f = 30

Logo:

30 = E i n t , f - 10   → E i n t ,   f = 40 c a l

Passo 4

d   Tendo o valor da energia interna de b e de i , a gente pode calcular a variação da energia interna e aplicar a primeira lei entre os dois pontos. A gente sabe o trabalho realizado nesse percurso, então fica fácil calcular o calor no mesmo:

∆ U i b = E i n t ,   b - E i n t ,   i = 22 - 10 = 12 c a l

Logo:

12 = Q i b - W i b

Bom o trabalho ali é o mesmo trabalho do percurso i b f , logo:

12 = Q i b - 6   → Q i b = 18   c a l

Passo 5

e Vamos fazer a mesma coisa que antes:

∆ U b f = E i n t ,   f - E i n t ,   b = 40 - 22 = 18

∆ U b f = Q b f - W b f

Como W b f = 0 (transformação isovolumétrica), a equação fica:

∆ U b f = Q b f = 18   c a l

Resposta

a 6 c a l

b   - 43   c a l

c   40 c a l

d   18   c a l

e   18   c a l

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 211. x-y 50

Um gás em uma câmara passa pelo ciclo mostrado na figura abaixo . Determine a energia transferida pelo sistema na forma de calor durante o processo C A se a energia adicionada como calor Q A B durante o processo A B é 20,0   J , nenhuma energia é transferida como calor durante o processo B C e o trabalho líquido realizado durante o ciclo é 15,0   J .

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Passo 1

É um exercício onde teremos que aplicar a primeira lei da temodinâmica em um ciclo para conseguirmos descobrir o que é pedido.

O problema nos fornece

Q A B = 20   J Q B C = 0 Q C A é   p e d i d o W t = 15   J

Em um ciclo sabemos que Δ U t = 0

Assim

Q t = W t

A transferência de calor no ciclo Q t

É dada por

Q t = Q A B + Q B C + Q C A

Q t = 20 + 0 + Q C A

Como

Q t = W t

Então

15 = 20 + Q C A

Q C A = - 5   J

Resposta

Q C A = - 5   J

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 213. x-y 93

Uma amostra de gás se expande de V 1 = 1,0   m 3 e p 1 = 40   P a para V 2 = 4,0   m 3 e p 2 = 10   P a seguindo a trajetória B do diagrama p - V da figura abaixo. Em seguida, o gás é comprimido de volta para V 1 , seguindo a trajetória A ou a trajetória C . Calcule o trabalho líquido realizado pelo gás para o ciclo completo ao longo a da trajetória B A e b da trajetória B C .

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Passo 1

Sabemos que o trabalho de um ciclo é igual a área interna do ciclo. E se o sentido for horário é positivo se for anti-horário é negativo.

a   Então para calcular o trabalho do ciclo B A vamos fazer a área desse triângulo

A = b . h 2

A = 3.30 2

A = 45

Como o sentido é anti-horário o trabalho é negativo assim

W B A = - 45   J  

Passo 2

b   Faremos o mesmo para o triangulo B C

A = 3.30 2

A = 45

Como o sentido é horário

W B C = 45   J

Resposta

a   W B A = - 45   J

b   W B C = 45   J

Exercício Resolvido #6

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2. Rio de Janeiro: LTC , 2008, 79

A figura representa um processo termodinâmico sofrido por 120   m g de hélio.

a Determine a pressão (em a t m ), a temperatura (em ° C ) e o volume (em c m 3 ) do gás correspondentes aos pontos 1 , 2 e 3 . Disponha seus resultados em uma tabela para facilitar a leitura.

b Quanto trabalho é realizado sobre o gás durante cada um dos três segmentos mostrados na figura?

c Quanto calor é transferido para o gás ou para fora dele durante cada um dos três segmentos?

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Passo 1

a   Para resolver o item a , vamos utilizar a famosa lei dos Gases Ideais:

p . V = n . R . T

Mas, precisamos primeiro determinar o número de mols envolvido!

n = 120 × 10 - 3 g 4 g / m o l = 0.030   m o l s

Vamos agora reunir os dados que temos a respeito do ponto 1 :

p 1 = 3   a t m ≈ 3,039 × 10 5   P a

V 1 = 1000   c m 3 = 10 - 3 m 3

Portanto, precisamos determinar a temperatura T 1 , para isso, é só substituir na fórmula!

p . V = n . R . T

3,039 × 10 5 .   10 - 3 = 0,030 .   8,31 . T 1

T 1 = 1219   K ≈ 946 ° C

Vamos agora para o ponto 2 ! Por se tratar de um processo isotérmico, temos que T 2 = T 1 :

T 2 = 1219   K

V 2 = 3000   c m 3 ≈ 3 × 10 - 3   m 3

Agora é só substituir na fórmula para determinar a pressão p 2 , temos então:

p . V = n . R . T

p 2 . 3 × 10 - 3 = 0,030 .   8,31 .   1219

p 2 = 1,013 × 10 5   P a ≈ 1   a t m

Para o ponto 3 , temos que ocorre um processo adiabático de 3 para 1 , desse modo, temos:

p 3 . V 3 γ = p 1 . V 1 γ

Isolando a pressão p 3 , que queremos determinar, temos:

p 3 = p 1 . V 1 V 2 γ

Por se tratar de um gás monoatômico, temos:

γ = c p c v ≈ 1,67

Substituindo os dados, temos:

p 3 = p 1 . V 1 V 2 γ

p 3 = 3,0 . 1000 × 10 - 6 3000 × 10 - 6 1,67

p 3 ≈ 0,48   a t m

Para a temperatura T 3 , temos:

p . V = n . R . T

0,48 × 1,013 × 10 5 .   3 × 10 - 3 = 0,030 .   8,31 .   T 3

T 3 = 585   K ≈ 312 ° C

Dispondo os resultados em uma tabela, temos:

Passo 2

b   De 1 para 2 , por se tratar de um processo isotérmico, temos que a variação do trabalho é:

W = n . R . T . ln ⁡ V f V i

Substituindo os valores, temos:

W 1 → 2 = 0,030 .   8,31 .   1219 . ln ⁡ 3000 × 10 - 6 1000 × 10 - 6