Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Teoria Completa

Trabalho de um gás ideal

O trabalho realizado por um gás pode ser calculado da seguinte forma:

W = ∫ V i V f p   d V

onde p é a pressão que o gás exerce no cilindro e V é o volume ocupado pelo gás.

V i e V f são, respectivamente, volume inicial e volume final.

Como o trabalho é definido por essa integral de p   d V , temos que o módulo dele é exatamente a área sobre o gráfico de p × V . Mas e o sinal??

  • Se V f > V i , essa integral é positiva. Logo, o trabalho é positivo. Faz sentido, pois definimos que o trabalho é positivo quando há uma expansão!
  • Se V f < V i , essa integral é negativa. Logo, o trabalho é negativo. Também faz sentido, pois definimos que o trabalho é negativo quando há uma contração!

Observação: Note que o trabalho depende do caminho, pois é a área sobre a curva!

Então, agora vamos ver como calcular o trabalho em quatro processos: isobárico, isovolumétrico, isotérmico e adiabático.

Bora lá?

Processo isobárico

Nesse processo: p 1 = p 2

Ou seja, a pressão é constante.

Logo:

W = ∫ V i V f p   d V

⇒ W = p ∫ V 1 V 2 d V

⇒ W = p V 2 - V 1

⇒ W = p   Δ V

Pelo gráfico, fica fácil perceber isso. É a área do retângulo:

Processo isovolumétrico

Nesse processo: V 1 = V 2

Se não há variação de volume, fica fácil perceber que não há trabalho sendo realizado, pois não há movimento do êmbolo.

Pela integral:

W = ∫ V i V f p   d V = 0

pois d V = 0 .

E, pelo gráfico, também é fácil perceber que a “área” embaixo da curva é zero:

Processo isotérmico

Nesse processo: T 1 = T 2

Ou seja, T é constante.

W = ∫ V i V f p   d V

Agora, precisamos determinar p em função de V para calcular a integral.

Pela equação do gás ideal:

p V = n R T = c o n s t a n t e

pois n , R e T são constantes.

⇒ p = n R T V

Substituindo na integral e fazendo os cálculos:

W = n R T ln ⁡ V 2 V 1

Observação:

Pela equação dos gases ideais:

p 1 V 1 = p 2 V 2 = n R T

Graficamente:

Processo adiabático

Processos adiabáticos são aqueles em que não há variação de calor.

Nesse processo: Q = 0

Pela Primeira Lei:

Q = Δ U + W

Logo:

0 = Δ U + W

⇒ W = - Δ U

Nesse caso, é só substituir Δ U , que já sabemos calcular.

No processo adiabático, vale a equação:

p V γ = c o n s t a n t e

Ou seja:

p 1 V 1 γ = p 2 V 2 γ

Atraves dessa equação e da equação geral dos gases, conseguimos chegar nessas outras duas relações:

T 1 . V 1 γ - 1 = T 2 . V 2 γ - 1

T 1 γ . P 1 1 - γ = T 2 γ . P 2 1 - γ

Esse expoente γ é definido da seguinte forma:

γ = c p c v

Mas como vamos calcular essa relação?

A relação entre c p e c v é dada por:

c p = c v + R

onde R é a constante universal dos gases.

E c v é dado por:

c v = g 2 R

Fazendo as contas, podemos encontrar o seguinte resultado, que é o que interessa:

Show? Caramba, muita coisa! Mas relaxa: fazendo os exercícios vai ficando mais fácil!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 212. x-y 77

Uma amostra de gás se expande de uma pressão inicial de 10   P a e um volume inicial de 1,0   m 3 para um volume final de 2,0   m 3 . Durante a expansão, a pressão e o volume estão relacionados pela equação p = a V 2 , onde a = 10   N / m 8 . Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.

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Passo 1

Para calcularmos o trabalho realizado por um gás só temos uma fórmula a usar

W = ∫ V i V f p   d V

Substituindo os valores de volume inicial e final e p pela expressão que ele representa, temos

W = ∫ 1 2 10 .   V 2 d V

Resolvendo a integral temos

W = 10 3 V f 3 - V i 3

W = 10 3 8 - 1

W = 70 3 = 23,33

Resposta

W = 70 3 = 23,33   J

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 241. x-y 12

No intervalo de temperatura de 310   K a 330   K , a pressão p de um certo gás não ideal está relacionada ao volume V e à temperatura T através da equação

p = 24,9   J / K T V - 0,00662   J / K 2 T 2 V  

Qual é o trabalho realizado pelo gás se a temperatura aumenta de 315   K para 325   K enquanto a pressão permanece constante?

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Passo 1

Temos que resolver a seguinte integral, certo?

W = ∫ V i V f p   d V

Como o enunciado fala que a pressão permanece constante, então podemos colocar p para fora da integral e ficamos com

W = p ∫ V i V f   d V

Resolvendo a integral temos

W = p . Δ V = p V f - V i

Passo 2

Bom, agora precisamos descobrir quanto vale volume inicial e final, e faremos isso usando a equação que o enunciado forneceu

p = 24,9   J / K T V - 0,00662   J / K 2 T 2 V

Para acha os valores do volume, vamos isolar o volume nessa equação

V =   24,9   J / K T p - 0,00662   J / K 2 T 2 p

Substituindo agora o valor da temperatura inicial e final temos

V i = 24,9   J / K 31 5 p - 0,00662   J / K 2 31 5 2 p

V f = 24,9   J / K 3 25 p - 0,00662   J / K 2 3 25 2 p

Substituindo agora na fórmula de trabalho, chegamos em

W = p   24,9 3 25 - 31 5 - 0,00662 3 25 2 - 31 5 2 p

Assim,

W = 24,9 3 25 - 31 5 - 0,00662 3 25 2 - 31 5 2

W = 24,9 1 0 - 0,00662 64 00

W = 206 , 63   J

Resposta

W = 206 , 63   J

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 241-13.

O ar inicialmente ocupa 0,140   m 3 à pressão manométrica de 103,0   k P a se expande isotermicamente para uma pressão de 101,3   k P a e em seguida é resfriado a pressão constante até atingir o volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. (Pressão manométrica é a diferença entre a pressão real e a pressão atmosférica)

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Passo 1

Queremos calcular o trabalho realizado pelo ar. Para isso vamos dividir o processo em três estados.

Aqui tem uma pegadinha mega importante! A pressão que ele dá em A é a pressão manométrica! Logo pra saber a pressão exata em A temos que somar a pressão atmosférica ( 101   k P a ) ao valor que ele deu! ;)

Estado A – o inicio

E s t a d o   A   V A = 0,140   m 3 p A = 103,0 + 101 = 204   k P a T A  

Estado B – o estado intermediário

E s t a d o   B   V B = ? p B = 101,3   k P a T B = T A