Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Teoria Completa

Trabalho de um gás ideal

O trabalho realizado por um gás pode ser calculado da seguinte forma:

W = ∫ V i V f p   d V

onde p é a pressão que o gás exerce no cilindro e V é o volume ocupado pelo gás.

V i e V f são, respectivamente, volume inicial e volume final.

Como o trabalho é definido por essa integral de p   d V , temos que o módulo dele é exatamente a área sobre o gráfico de p × V . Mas e o sinal??

  • Se V f > V i , essa integral é positiva. Logo, o trabalho é positivo. Faz sentido, pois definimos que o trabalho é positivo quando há uma expansão!
  • Se V f < V i , essa integral é negativa. Logo, o trabalho é negativo. Também faz sentido, pois definimos que o trabalho é negativo quando há uma contração!

Observação: Note que o trabalho depende do caminho, pois é a área sobre a curva!

Então, agora vamos ver como calcular o trabalho em quatro processos: isobárico, isovolumétrico, isotérmico e adiabático.

Bora lá?

Processo isobárico

Nesse processo: p 1 = p 2

Ou seja, a pressão é constante.

Logo:

W = ∫ V i V f p   d V

⇒ W = p ∫ V 1 V 2 d V

⇒ W = p V 2 - V 1

⇒ W = p   Δ V

Pelo gráfico, fica fácil perceber isso. É a área do retângulo:

Processo isovolumétrico

Nesse processo: V 1 = V 2

Se não há variação de volume, fica fácil perceber que não há trabalho sendo realizado, pois não há movimento do êmbolo.

Pela integral:

W = ∫ V i V f p   d V = 0

pois d V = 0 .

E, pelo gráfico, também é fácil perceber que a “área” embaixo da curva é zero:

Processo isotérmico

Nesse processo: T 1 = T 2

Ou seja, T é constante.

W = ∫ V i V f p   d V

Agora, precisamos determinar p em função de V para calcular a integral.

Pela equação do gás ideal:

p V = n R T = c o n s t a n t e

pois n , R e T são constantes.

⇒ p = n R T V

Substituindo na integral e fazendo os cálculos:

W = n R T ln ⁡ V 2 V 1

Observação:

Pela equação dos gases ideais:

p 1 V 1 = p 2 V 2 = n R T

Graficamente:

Processo adiabático

Processos adiabáticos são aqueles em que não há variação de calor.

Nesse processo: Q = 0

Pela Primeira Lei:

Q = Δ U + W

Logo:

0 = Δ U + W

⇒ W = - Δ U

Nesse caso, é só substituir Δ U , que já sabemos calcular.

No processo adiabático, vale a equação:

p V γ = c o n s t a n t e

Ou seja:

p 1 V 1 γ = p 2 V 2 γ

Atraves dessa equação e da equação geral dos gases, conseguimos chegar nessas outras duas relações:

T 1 . V 1 γ - 1 = T 2 . V 2 γ - 1

T 1 γ . P 1 1 - γ = T 2 γ . P 2 1 - γ

Esse expoente γ é definido da seguinte forma:

γ = c p c v

Mas como vamos calcular essa relação?

A relação entre c p e c v é dada por:

c p = c v + R

onde R é a constante universal dos gases.

E c v é dado por:

c v = g 2 R

Fazendo as contas, podemos encontrar o seguinte resultado, que é o que interessa:

Show? Caramba, muita coisa! Mas relaxa: fazendo os exercícios vai ficando mais fácil!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 212. x-y 77

Uma amostra de gás se expande de uma pressão inicial de 10   P a e um volume inicial de 1,0   m 3 para um volume final de 2,0   m 3 . Durante a expansão, a pressão e o volume estão relacionados pela equação p = a V 2 , onde a = 10   N / m 8 . Determine o trabalho realizado pelo gás durante a expansão.

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Passo 1

Para calcularmos o trabalho realizado por um gás só temos uma fórmula a usar

W = ∫ V i V f p   d V

Substituindo os valores de volume inicial e final e p pela expressão que ele representa, temos

W = ∫ 1 2 10 .   V 2 d V

Resolvendo a integral temos

W = 10 3 V f 3 - V i 3

W = 10 3 8 - 1

W = 70 3 = 23,33

Resposta

W = 70 3 = 23,33   J

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 241. x-y 12

No intervalo de temperatura de 310   K a 330   K , a pressão p de um certo gás não ideal está relacionada ao volume V e à temperatura T através da equação

p = 24,9   J / K T V - 0,00662   J / K 2 T 2 V  

Qual é o trabalho realizado pelo gás se a temperatura aumenta de 315   K para 325   K enquanto a pressão permanece constante?

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Passo 1

Temos que resolver a seguinte integral, certo?

W = ∫ V i V f p   d V

Como o enunciado fala que a pressão permanece constante, então podemos colocar p para fora da integral e ficamos com

W = p ∫ V i V f   d V

Resolvendo a integral temos

W = p . Δ V = p V f - V i

Passo 2

Bom, agora precisamos descobrir quanto vale volume inicial e final, e faremos isso usando a equação que o enunciado forneceu

p = 24,9   J / K T V - 0,00662   J / K 2 T 2 V

Para acha os valores do volume, vamos isolar o volume nessa equação

V =   24,9   J / K T p - 0,00662   J / K 2 T 2 p

Substituindo agora o valor da temperatura inicial e final temos

V i = 24,9   J / K 31 5 p - 0,00662   J / K 2 31 5 2 p

V f = 24,9   J / K 3 25 p - 0,00662   J / K 2 3 25 2 p

Substituindo agora na fórmula de trabalho, chegamos em

W = p   24,9 3 25 - 31 5 - 0,00662 3 25 2 - 31 5 2 p

Assim,

W = 24,9 3 25 - 31 5 - 0,00662 3 25 2 - 31 5 2

W = 24,9 1 0 - 0,00662 64 00

W = 206 , 63   J

Resposta

W = 206 , 63   J

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 241-13.

O ar inicialmente ocupa 0,140   m 3 à pressão manométrica de 103,0   k P a se expande isotermicamente para uma pressão de 101,3   k P a e em seguida é resfriado a pressão constante até atingir o volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. (Pressão manométrica é a diferença entre a pressão real e a pressão atmosférica)

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Passo 1

Queremos calcular o trabalho realizado pelo ar. Para isso vamos dividir o processo em três estados.

Aqui tem uma pegadinha mega importante! A pressão que ele dá em A é a pressão manométrica! Logo pra saber a pressão exata em A temos que somar a pressão atmosférica ( 101   k P a ) ao valor que ele deu! ;)

Estado A – o inicio

E s t a d o   A   V A = 0,140   m 3 p A = 103,0 + 101 = 204   k P a T A  

Estado B – o estado intermediário

E s t a d o   B   V B = ? p B = 101,3   k P a T B = T A

Estado C   – o final

E s t a d o   C   V C = V A = 0,140   m 3 p C = p B = 101,3   k P a   T C = ? ?

Passo 2

Agora que dividimos os estados, vamos calcular o trabalho realizado ao passar de A → B e depois o trabalho de B → C e soma-los

O processo realizado de A → B é isotérmico, então temos que resolver a integral

W = ∫ V i V f p   d V

Mas como ele é isotérmico, podemos achar uma função que descreva o comportamento da pressão, certo? Só lembrarmos da fórmula

p V = n R T

Então

p = n R T V

Substituindo na integral, temos

W = ∫ V i V f n R T V   d V

Resolvendo essa integral chegamos em

W = n R T . ln ⁡ V f V i

Como terminamos de ver que

n R T = c t e

Podemos substituir na equação por p i . V i

W = p i . V i . ln ⁡ V f V i

Podemos usar a relação do “piviti-povoto” para um processo em que a temperatura não muda e temos que

p i . V i = p f . V f

Então

V f V i = p 1 p f

Substiuindo isso na fórmula do trabalho chegamos que

W A → B = p i . V i . ln ⁡ p A p B

Substiuindo os dados que temos e lembrando que a pressão que foi dada é manométrica, devemos somar a pressão da atmosfera para podermos calcular, temos

W A → B = 2,04.10 5   .   0,14   . ln ⁡ 2,04 . 10 5 1,013.10 5

W A → B = 2,0.10 4   J  

Passo 3

Agora vamos calcular o trabalho no processo B → C , como ele é um processo a pressão constante, temos que a integral é

W B → C = ∫ V i V f p   d V = p . Δ V

W B → C = p B . V C - V B

Porém não sabemos o valor de V B , temos que encontra-lo antes de tudo para calcular o trabalho nesse processo

Por “piviti-povotó” já vimos que

V B V A = p A p B

V B = V A . p A p B

Substituindo na equação do trabalho temos

W B → C = p B . V C - p B . p A p B . V A

Como V C = V A

W B → C = V A p B - p A

Colocando os valores agora temos

W B → C = 0,14     1,013.10 5 - 2,04.10 5

W B → C = - 1,44.10 4   J

Passo 4

Agora basta somar W A → B   com W B → C

W t = W A → B   + W B → C = 2,0.10 4 - 1,44.10 4

W t = 5,6   k J

Passo 5

Resposta

W t = 5,6   k J

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2. Rio de Janeiro: LTC , 2008, 49

Quinhentos joules de trabalho devem ser realizados a fim de comprimir um gás à metade de seu volume inicial a temperatura constante. Quanto trabalho deverá ser realizado para comprimir o gás por um fator de 10 , iniciando com o mesmo volume inicial?

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Passo 1

Quando queremos determinar a variação do trabalho durante um processo isotérmico, devemos lembrar da seguinte relação:

W = n . R . T . ln ⁡ V f V i

Pelo enunciado do problema, temos que são necessários 500   J para que V f = V i / 2 . Como é uma compressão o trabalho é negativo, ou seja, W = - 500 J . Montando a equação, temos:

- 500 = n . R . T . ln ⁡ V i / 2 V i

n . R . T = - 500 ln ⁡ 1 2 = - 500 - ln ⁡ 2 = 500 ln ⁡ 2

n . R . T = 721,35

Agora que temos quanto vale n . R . T , podemos determinar quanto de trabalho deve ser realizado sobre o gás para que ele seja comprimido por um fator de 10 , se liga!

Passo 2

Voltando à equação do trabalho, temos:

W = n . R . T . ln ⁡ V f V i

Substituindo V f = V i / 10 e n . R . T = 721,35 , temos:

W = 721,35 . ln ⁡ V i / 10 V i

W ≈ - 1661   J

Resposta

W = - 1661   J

Exercício Resolvido #5

UFRJ – 1ª Prova – 2012.2

Considere um gás ideal que absorve calor Q segundo um dos processos que seguem: ( i ) a volume constante;   ( i i ) a pressão constante e ( i i i ) a temperatura constante. Para quais desses processos tem-se a variação da energia interna do gás ∆ E i n t igual a zero?

a   Apenas (i).

b   Apenas (ii).

c   Apenas (iii).

d   Apenas (i) e (ii).

e   Apenas (i) e (iii).

f   Apenas (ii) e (iii).

g   Todas elas.

e   Nenhuma delas.

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Passo 1

Vamos ver um por um:

I - A variação a volume constante, segundo a primeira lei, é dada por:

∆ U = Q - W

Como o volume se mantem constante, temos que:

W = 0

Então:

∆ U = Q ≠ 0

Passo 2

I I - A pressão se mantendo constante, faz com que o trabalho seja dada por:

W = p ∆ V

Então:

∆ U = Q - p ∆ V

∆ U ≠ 0

Passo 3

I I I - Nesse caso, como a energia interna é uma função da temperatura, se a variação da temperatura é igual a zero, a variação da energia interna também é:

∆ T = 0 → ∆ U = 0

Resposta

c

Exercício Resolvido #6

UERJ – Lista para 2ª Prova

Um gás ideal, inicialmente sob pressão p 0 , sofre uma expansão livre (adiabática, sem trabalho externo) até que seu volume final seja 3 vezes o seu volume inicial. Responda:

a Qual é a pressão do gás após a expansão livre?

b   O gás, então, é lenta e adiabaticamente comprimido até seu volume original. A pressão após a compressão é de 3 1 / 3 p 0 . Determine se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.

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Passo 1

Primeiramente, vamos analisar uma expansão livre de acordo com a 1° lei da termodinâmica:

∆ U = Q - W

Como a expansão é livre, o gás não realizou trabalho, então:

W = 0

Além disso, como a expansão ocorreu adiabaticamente, não houve troca de calor, então:

Q = 0

Logo:

∆ U = 0

Opa! Legal, chegamos à conclusão que a variação da energia interna é igual a 0 . Mas isso nos ajuda em quê? Bem, a importância disso está no fato de que a energia interna é uma função da temperatura. Logo, se não houve variação da energia interna, não houve variação da temperatura! Logo:

T = cte

Vamos lá então (:

Passo 2

a Queremos saber a pressão após a expansão livre. Vamos usar o piviti-povotó:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Sabemos que:

  T 1 = T 2 V 2 = 3 V 1

Cortando T na equação e substituindo V 2 :

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2  

P 1 V 1 = P 2 3 V 1

P 2 = P 1 3

Sendo P 1 = p 0 :

P 2 = p 0 3

Passo 3

b   Agora o gás é comprimido “lenta e adiabaticamente” até seu volume inicial. O que isso quer dizer? Quer dizer que podemos usar a equação:

P 2 V 2 γ = P 3 V 3 γ

Mas queremos descobrir que tipo de gás é esse. Mas como saberemos? Bom, o que nos dirá será o valor de γ :

Monoatômico:   γ = 5 3

Diatômico: γ = 7 5

Caso o coeficiente não encaixe nesses casos, o gás será poliatômico!

Bom, sabemos que:

P 2 = p 0 3

P 3 = 3 1 / 3 ⋅ p 0

V 2 = 3 V 0

V 3 = V 0

Aplicando na fórmula:

P 2 V 2 γ = P 3 V 3 γ → p 0 3 ⋅ 3 V 0 γ = 3 1 / 3 p 0   V 0 γ

Simplificando:

3 - 1 . p 0 ⋅ 3 V 0 γ = 3 1 / 3 p 0 V 0 γ

3 γ - 1 = 3 1 / 3 →   γ - 1 = 1 3 → γ = 4 3

Logo, o gás é poliatômico.

Resposta

a   p 0 3

b Poliatômico

Exercício Resolvido #7

UFRJ – 1ª Prova – 2013.2

A figura abaixo mostra três possíveis expansões de um gás ideal monoatômico, que encontra-se inicialmente no estado i (cujo volume é V 0 ) para os estados finais f I , f I I ou f I I I , todos de volume 2 V 0 , através de três processos reversíveis diferentes:

I   – transformação isobárica;

I I   – transformação isotérmica

I I I   – transformação adiabática

Sobre tais processos, é INCORRETO afirmar que:

a   A maior troca de calor se dá no processo isobárico.

b   O trabalho realizado pelo gás é menor no processo adiabático.

c   No processo isotérmico, todo o trabalho é transformado em calor.

d   As temperaturas finais terão a relação T I I I < T I I < T I .

e   Na transformação isotérmica, não haverá calor trocado com o gás, uma vez que Δ T = 0 .

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Passo 1

Vamos analisar, rapidamente, cada uma das alternativas:

Item a : A maior troca de calor se dá no processo isobárico.

Olhando de cara, não dá pra saber se a maior troca de calor acontece nessa, mas, como o trabalho é área sob a curva, sabemos que:

W I > W I I > W I I I

Vamos pular esse por enquanto.

Passo 2

Item ( b ) : O trabalho realizado pelo gás é menor no processo adiabático.

Essa é verdadeira, pois a curva adiabática ( I I I ) corresponde à menor área, como acabamos de ver.

Passo 3

Item c : No processo isotérmico, todo o trabalho é transformado em calor.

Essa também é verdadeira, pois, como o processo é isotérmico: Δ T = 0 .

Logo, Δ U = 0 , pois:

Δ U = g 2 n R Δ T

Então, pela Primeira Lei:

Q = Δ U + W

⇒ Q = W

Por isso, é verdadeiro que todo o trabalho se converte em calor ou vice-versa.

Passo 4

Item d : As temperaturas finais terão a relação T I I I < T I I < T I .

Olhando de cara, também não fica tão claro. Vamos ver a próxima.

Passo 5

Item ( e ) : Na transformação isotérmica, não haverá calor trocado com o gás, uma vez que Δ T = 0 .

Vimos que, na transformação isotérmica, Δ U = 0 .

Logo:

Q = W

Então, a afirmativa é falsa!

Quando Δ T = 0 , Δ U = 0 e não Q = 0 !

Passo 6

Só para conferir, agora podemos verificar item ( a ) :

Q = Δ U + W

Vimos que W I > W I I > W I I I .

Além disso, T I > T I I > T I I I .

Como a temperatura inicial é a mesma, então:

Δ T I > Δ T I I > Δ T I I I