Energia Interna de um gás e Calores Específicos Molares

Teoria Completa

Introdução

Vimos que a primeira lei relaciona a energia interna com a quantidade de calor e o trabalho realizado por ou sobre um sistema.

Mas o que é a energia interna, o que ela representa? Se é energia que a molécula possui essa energia vai variar de molécula para molécula? Pois uma molécula monoatômica tem menos graus de liberdade que uma diatômica. Opaa, pêra ae, o que é grau de liberdade?

Graus de liberdade

Graus de liberdade é uma coisa que tem a ver com o tipo de molécula do gás: se é monoatômica, diatômica ou poliatômica. E o nome já diz tudo, é quantos números de liberdade (movimento) a molécula possui.

Porque, dependendo da geometria da molécula, podemos ter velocidades e velocidades angulares em algumas direções:

Na molécula monoatômica, temos apenas 3 graus de liberdade: translação nos eixos x , y e z .

Na molécula diatômica, além dos 3 graus de liberdade de translação, temos mais 2 graus de liberdade de rotação, nos eixos y e z . Note que, no eixo x , a rotação não altera a molécula, pois estamos considerando que ela é uma reta.

E na molécula poliatômica, temos os 3 graus de liberdade de translação e 3 graus de liberdade de rotação.

Então podemos colocar isso numa tabela:

Pronto! Isso é o que você precisa saber sobre graus de liberdade!

Equipartição da energia

Sabemos que uma partícula com velocidade tem energia cinética.

Agora que sabemos que, dependendo do tipo de molécula, temos certos graus de liberdade, é razoável pensar que, para cada grau de liberdade, vamos ter uma parcela de energia cinética associada.

Isso que é a equipartição da energia: a energia cinética total tem parcelas para cada grau de liberdade.

Cada uma dessas parcelas tem o mesmo valor, que é igual a:

onde k é a constante de Boltzmann:

k = 1,38 × 10 - 23   J / K

Lembrando que:

k   . N A = R

onde N A = 6,02 × 10 23 é o número de Avogadro e R é a constante universal dos gases ideais.

A soma das energias cinéticas de cada grau de liberdade é o que chamamos de energia cinética média ( E c m ) do gás:

Energia interna

Então, acabamos de ver que existe uma energia interna do gás devido à energia cinética de suas moléculas.

Essa energia interna, como vimos, é a energia cinética média de todas as moléculas do gás.

Denotamos U a energia interna do gás.

Logo:

U = E c m

U = g 2 n R T

Com g variando de acordo com o tipo de molécula.

Assim, você pode ver que a energia interna de um gás depende apenas de g e da temperatura. E a variação de energia interna depende exclusivamente da variação de temperatura.

Δ U = g 2 n R . Δ T

Variação da energia interna depende apenas da variação da temperatutra e não do tipo de processo responsável.

E por isso dizemos que a energia interna é uma função de estado, ou seja, depende apenas do estado inicial e final para ser caracterizada não importando o caminho.

A variação de energia interna entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ) é a mesma.

Lembre-se: variação de energia interna NÃO DEPENDE do caminho!

Sinal e sentido da energia interna

Sabemos, então, que a variação de energia interna entre dois pontos não depende do caminho.

Mas o sentido, assim como no trabalho, vai apenas mudar o sinal de Δ U :

Δ U 12 = - Δ U 21

Esse sentido é definido pela variação da temperatura, positivo se Δ T > 0 e negativo se Δ T < 0

Calor e Calores específicos

Bem vamos agora calcular o calor, tem ideia de como faremos isso?

Você pode se perguntar: vale aquela fórmula pra calcular quantidade de calor?

Q = m c Δ T

A resposta é: só em dois casos, pois o calor específico não é constante nos gases ideais.

Temos dois valores diferentes para calor específico de gases ideais. Um a pressão constante ( c p ) e outro a volume constante ( c v ).

Ou seja:

Q p = n c p Δ T – calor trocado a pressão constante

Q v = n c v Δ T – calor trocado a volume constante.

onde n é o número de moléculas (em mols).

Lembra o que acontece se o processo é a volume constante? Não? Se o processo é a volume constante então não teremos trabalho então podemos, pela primeira lei, dizer que

Δ U = Q

Assim,

Δ U = n c v Δ T

E assim você ganha mais um jeito para calcular a variação de energia interna Δ U

Agora que você foi apresentado ao calor específico a pressão constante c p e a volume constante c v . Será que existe uma relação entre eles? Bom se eu estou perguntando, sim né haha.

Bem existe e não é apenas uma são duas

c p - c v = R

E

c v = g 2 R ou c p = g + 2 2 R

Isso mesmo, esse R é a constante universal dos gases.

Bem, o calor específico é uma característica de cada gás, e quando tivermos uma mistura de gás? Afinal isso é bem comum, né.

Sim, por ser muito comum termos uma mistura de gás, calcular o calor específico dessa mistura pode ser muito útil e para isso usaremos a fórmula:

c = ∑ i = 1 x n i . c i ∑ i = 1 x n i = n 1 . c 1 + n 2 . c 2 + … + n x . c x n 1 + n 2 + … + n x

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 . Rio de Janeiro: LTC , 2008, x-y 47

A figura representa a energia térmica de 0,14   m o l de gás em função da temperatura.

Quanto vale c v para este gás?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para determinar o calor específico à volume constante do gás em questão, precisamos lembrar da seguinte relação:

Δ U = n . c v . Δ T

Pelo gráfico, podemos obter as seguintes informações:

Δ U = 1892 - 1092 = 800   J

Sabemos que a variação de temperatura em Celsius é igual à variação de temperatura em Kelvin. Então, não precisamos transformar! Logo:

Δ T = 200 - 0 = 200   K

Substituindo na equação, temos:

Δ U = n . c v . Δ T

800 = 0,14 . c v . 200

c v = 28,6   J / m o l . K

Resposta

c v = 28,6   J / m o l . K

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 243-50

Fornecemos 70 J de calor a um mol de gás diatômico, que se expande a pressão constante. As moléculas do gás giram, mas não oscilam. De quanto a energia interna do gás aumenta?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, galera, vamos prestar primeiro atenção nisso: “As moléculas do gás giram, mas não oscilam”. Isso que dizer o que? Quer dizer que as moléculas do gás têm os 5 graus de liberdade que vimos na teoria. Se elas também tivessem oscilação, elas teriam mais graus de liberdade.

Como elas seguem a teoria, podemos escrever:

c v = g 2 . R = 5 2 . R

c p = c v + R = 7 2 . R

Passo 2

Vamos agora prestar atenção nisso: “Fornecemos 70 J de calor a um gás diatômico, que se expande a pressão constante”. Isso quer dizer que podemos escrever:

Q = n c p ∆ T

Sendo Q o calor fornecido. Agora podemos achar o ∆ T , que vai nos ajudar a calcular a variação da energia interna:

70 = 1 . 7 R 2 . ∆ T   → 20 R = ∆ T

Passo 3

Agora vamos calcular a variação da energia interna. Vamos usar a expressão:

∆ U = g 2 n R ∆ T

Sendo g = 5 , o número de graus de liberdade, n = 1 e ∆ T = 20 R :

∆ U = 5 2 . 1 . R . 20 R

Δ U = 50   J

Resposta

∆ U = 50   J

Exercício Resolvido #3

UFRJ – 1ª Prova – 2013.2

Um pesquisador quer estudar o comportamento termodinâmico de sólidos através de uma simulação de computador.

Ele modela um sólido como uma rede cristalina de N = 1   b i l h ã o de átomos ligados aos seus vizinhos por molas ideais.

Contudo, seus “átomos” estão restritos a um plano (ou seja, a simulação é inteiramente bidimensional).

Para testar se sua simulação está bem feita, ele calcula a energia interna do seu sólido.

Qual o valor que ele espera encontrar?

a   E i n t = 1 / 2 N k B T

b   E i n t = N k B T

c   E i n t = 3 / 2 N k B T

d   E i n t = 2 N k B T

e   E i n t = 5 / 2 N k B T

f   E i n t = 3 N k B T

g E i n t = 7 / 2 N k B T

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Queremos calcular a energia interna de N átomos.

Porém a fórmula que temos é para mols de átomos

U = g 2 . n . R . T

Temos que

k B = R / N a

E que

N = n . N a

Então substituindo na nossa fórmula chegamos em

⇒ U = g 2 N k B T

Então, só precisamos determinar quantos graus de liberdade tem cada átomo desse sólido que o problema nos falou.

Passo 2

Como a simulação é inteira bidimensional, significa que os átomos só podem vibrar em duas direções x e y . Como cada modo de vibração tem duas contribuições, a cinética e a potencial. Temos então 2 × 2 = 4 graus de liberdade.

Então

U = 4 2 N k B T

U = 2 . N . k B . T

Resposta

d

Exercício Resolvido #4

UFRJ – 1ª Prova – 2014.1

Dois gases ideais, um monoatômico e um diatômico, sofrem a mesma variação de energia interna. Marque a alternativa verdadeira.

a   A variação de temperatura, nos dois casos, é a mesma.

b   A variação de temperatura é maior no gás monoatômico.

c   A variação de temperatura é maior no gás diatômico.

d   Não é possível relacionar as variações de temperatura pois não sabemos se o sitema realiza ou não trabalho durante tal processo.

e   As temperaturas não variam.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que a variação de energia interna é dada por

Δ U = g 2 n R Δ T

Supondo que os gases tem o mesmo número de mols, vamos comparar as energias internas do gás monoatômico e do gás diatômico.

No gás monoatômico, temos g = 3 (três graus de liberdade).

No gás diatômico, temos g = 5 (cinco graus de liberdade).

Passo 2

Variação de energia interna do gás monoatômico:

Δ U 1 = 3 2 n R Δ T 1

Variação de energia interna do gás diatômico:

Δ U 2 = 5 2 n R Δ T 2

Passo 3

Como a variação de energia interna é a mesma:

Δ U 1 = Δ U 2

3 2 n R Δ T 1 = 5 2 n R Δ T 2