Exercícios Resolvidos de Fluxo Concatenado e Indutância

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Enunciado

Um indutor deve ser projetado usando um núcleo magnético com a forma dada pela figura abaixo:

O núcleo tem seção reta uniforme de área A c = 5,0   c m 2   e comprimento médio l c = 25   c m . Calcule o comprimento do entreferro g e o número de espiras N tais que a indutância seja 14   m H e de modo que o indutor possa operar com corrente de pico de 6   A sem saturação. Suponha que a saturação ocorra quando a densidade de fluxo de pico do núcleo exceda a 1,7   T e que, abaixo da saturação, o núcleo tenha permeabilidade μ = 3200 μ 0 .

Passo 1

Vamos começar calculando a relutância do núcleo. A fórmula é:

R c = l c μ A c

Como foi dito no enunciado que abaixo da saturação μ = 3200 μ 0 , então a relutância do núcleo será:

R c = 25 × 10 - 2 3200 4 π × 10 - 7 5,0 × 10 - 4

R c = 124339,8   A . e / W b

Passo 2

A relutância do entreferro tem a seguinte fórmula:

R g = g μ 0 A c

Lembrando que μ 0 = 4 π × 10 - 7 :

R g = g ( 4 π × 10 - 7 ) ( 5,0 × 10 - 4 )  

R g = g 20 π × 10 - 11

Passo 3

Então, a relutância total desse circuito magnético:

R t o t = R c + R g

R t o t = ( 124339,8   ) + g 20 π × 10 - 11  

Passo 4

A equação que relaciona a relutância com a indutância é:

L = N 2 R t o t

Como o queremos uma indutância de 14   m H :

14 × 10 - 3 = N 2 ( 124339,8   ) + g 20 π × 10 - 11

N 2 = 1740,7 + 14 × 10 - 3 20 π × 10 - 11 g

N 2 = 1740,7 + 22281692 g       ( i )

Passo 5

Como a densidade de fluxo máxima é B = 1,7   T e a área é A c = 5,0   c m 2 , podemos calcular o fluxo que circula por esse núcleo.

ϕ = B A c

ϕ = 1,7 5,0 × 10 - 4

ϕ = 8,5 × 10 - 4   W b

Passo 6

Podemos calcular a F M M pela fórmula abaixo:

F = R t o t ϕ

Como F = N i , temos:

N i = 124339,8   + g 20 π × 10 - 11 8,5 × 10 - 4

Como a corrente é 6   A :

N 6 = 124339,8   + g 20 π × 10 - 11 8,5 × 10 - 4

6 N = 105,7 + 1352817,0 g       ( i i )

Passo 7

Temos duas equações com duas incógnitas:

N 2 = 1740,7 + 22281692 g       ( i ) 6 N = 105,7 + 1352817,0 g             ( i i )

Então, vamos isolar g na primeira equação e substituí-lo na segunda:

6 N = 105,7 + 1352817,0 N 2 - 1740,7 22281692

6 N = 105,7 + 1352817,0 N 2 - 2354848552 22281692

6 N = 105,7 + 0,0607 N 2 - 105,7

6 N = 0,0607 N 2

0,0607 N 2 - 6 N = 0

N 0,0607 N - 6 = 0

Como o número de espiras não pode ser zero, temos:

0,0607 N - 6 = 0

N = 6 0,0607

N = 99   e s p i r a s

Passo 8

Agora que temos o número de espiras, vamos substituir em uma das equações para encontrarmos o comprimento do entreferro. Da primeira equação, temos:

g = N 2 - 1740,7 22281692

Como N = 99 :

g = 99 2 - 1740,7 22281692

g = 9801 - 1740,7 22281692

g = 0,362   m m

Resposta

N = 99   e s p i r a s

g = 0,32   m m

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