Exercícios Resolvidos de Força Resistiva

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Enunciado

Calcular a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas em querosene.

Propriedades do fluido: densidade 0,9   g / c m 3 e viscosidade 2,3   c P .

Propriedades das partículas: densidade 2,3   g / c m 3 , diâmetro 0,8   m m e esfericidade 0,8 .

Concentração de sólidos na suspensão: 260   g / L .

Passo 1

Bora lá! Temos que calcular a velocidade de sedimentação de partículas. Como vimos que a fase acelerada do movimento é muito curta, vamos considerar v = v t desde o início.

O problema dá as propriedades do fluido das partículas: ρ = 0,9   g / c m 3 , μ = 2,3   c P , ρ S = 2,3   g / c m 3 , d = 0,8   m m e Φ = 0,8 . Vamos usar as correlações de Coelho e Massarani já que não temos informação sobre o regime de sedimentação (Stokes, Newton...) e não queremos ficar 15 anos iterando. Depois de usar as correlações, vamos obter uma velocidade que ainda não é nossa resposta final pois as correlações nos dão um resultado válido para partícula isolada ( v t ∞ ) e o enunciado diz que a concentração de sólidos na suspensão é 260   g / L .

Daí, vamos ter que corrigir essa velocidade e achar a velocidade nessa concentração v t C , mas, antes, precisamos converter essa concentração em massa por volume para concentração volumétrica (volume por volume), pois esta que entra na fórmula da correção de Richardson & Zaki:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

Em que o valor de do n é calculado de forma diferente dependendo do R e p :

R e ∞ ≤ 0,2   → n = 4,65 0,2 < R e ∞ ≤ 1 → n = 4,35 R e ∞ - 0,03 1 < R e ∞ ≤ 500   → n = 4,45 R e ∞ - 0,1 R e ∞ > 500   → n = 2,39

Com R e ∞ sendo o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada.

Bora converter logo essa concentração. Vamos adotar como base de cálculo 1 L de suspensão, que é o mesmo que 1000   c m 3 . Daí, em 1000   c m 3 de suspensão temos 260   g de partículas, que, usando a densidade delas, corresponde a um volume:

ρ S = m p V p

2,3 g c m 3 = 260   g V p  

V p = 113,04   c m 3

Calculando C v :

C v = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   s u s p e n s ã o = 113,04   c m 3 1000   c m 3 ≈ 0,113

Esse é o valor que entra na correção (lembra aquele lance de sempre usar base unitária nas contas?), mas vou passar pra porcentagem só pra te dizer uma coisa:

C v % = C v * 100   % = 11,3   %

O que quero te dizer é que realmente vamos ter que usar a correção. Eu passei pra porcentagem porque disse lá na teoria: “Algo importante pra dizer é que só vamos usar correção de concentração se C v > 1 % ; caso contrário, podemos desprezá-la.”

Passo 2

Temos d e Φ , mas queremos v t . Daí, olhando para os dois possíveis caminhos a seguir:

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Temos que ir por C D R e p 2 porque possuímos todas as informações pra calculá-lo, diferentemente de C D R e p . Vou adotar o CGS como sistema de unidade porque acho que facilita, então, bora conferir se está tudo no CGS:

ρ = 0,9 g c m 3         O K !

μ = 2,3   c P = 2,3 * 10 - 2   P           O K !

ρ S = 2,3 g c m 3           O K !

d = 0,8   m m = 0,8 * 10 - 3   m = 0,08   c m         O K !

Jogando tudo na fórmula de C D R e p 2 , lembrando que a gravidade ( g ) no CGS vale 981:

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2 = 4 * 2,3 - 0,9 * 0,9 * 981 * ( 0,08 ) 3 3 * ( 2,3 * 10 - 2 ) 2 = 1595,12

Como usamos C D R e p 2 , para achar o R e p temos que usar:

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Epa! Cadê k 1 e k 2 ? Bora calcular!

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 * log ⁡ 0,8 0,065 = 0,919

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 * 0,8 = 1,406

Jogando na fórmula:

R e p = 24 0,919 * 1595,12 1,2 + 1,406 1595,12 0,6 - 0,83 = 23,86

Partindo pra definição de R e p :

R e p = ρ * v t * d μ

23,86 = 0,9 * v t * 0,08 2,3 * 10 - 2

v t = 7,62 c m s

Mas não esquece que as correlações de Coelho e Massarani nos dão a velocidade considerando que a partícula está isolada, ou seja, v t ∞ .

v t ∞ = 7,62   c m / s Precisamos corrigir essa velocidade considerando o efeito da concentração.

Passo 3

Para corrigir o efeito da concentração e achar a velocidade terminal em uma dada concentração ( v t C ), usamos a fórmula da correção de Richardson & Zaki:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

Como R e ∞ = 23,86 (lembra que R e ∞ é o Reynolds supondo que a partícula está isolada), calculamos n por:

1 < R e ∞ ≤ 500   → n = 4,45 R e ∞ - 0,1

n = 4,45 * ( 23,86 ) - 0,1

n = 3,24

Corrigindo, lembrando que calculamos, lá no passo 1, C v = 0,113

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

v t C = 7,62 * ( 1 - 0,113 ) 3,24

v t C = 5,17 c m s

Resposta

v t C = 5,17 c m s