Exercícios Resolvidos de Força Resistiva

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Enunciado

Determinar o diâmetro da partícula que sedimenta com velocidade v t = 0,625   c m / s , em cada um dos dois casos abaixo:

  1. Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas inferior a 0,5 % .
  2. Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas é 5 % .

Propriedades físicas do fluido: ρ = 1,2 * 10 - 3 g / c m 3 e μ = 1,8 * 10 - 2   c P

Propriedades físicas das partículas: ρ S = 2,5   g / c m 3 e Φ = 0,7

Passo 1

Lembra que quanto mais concentrada uma suspensão, menor fica a velocidade terminal das partículas? É isso que vamos trabalhar nessa questão. O enunciado fixa uma velocidade, v t = 0,625   c m / s , e altera a concentração na suspensão. Nosso objetivo é dizer qual é o diâmetro de partícula que vai ter essa velocidade em cada caso.

Na letra a), C v < 0,5 % , daí nos desprezamos a correção do efeito de concentração, porque vai ser muito pequena. (Lembra lá da teoria que só precisamos fazer a correção quando C v > 1 % ). Já na b), como C v > 1 % , precisamos corrigir! Nesse segundo caso, foi dado C v = 5 % , que equivale a C v = 0,05 (lembra que usamos base unitária nas contas e não porcentagem).

Vou usar o CGS, daí, já vou listar os dados convertendo quando necessário:

ρ = 1,2 * 10 - 3 g / c m 3

μ = 1,8 * 10 - 2   c P = 1,8 * 10 - 4   P

ρ S = 2,5   g / c m 3

Φ = 0,7

v t = 0,625   c m / s

Não sabemos o regime de escoamento e não queremos ficar iterando, mas qual caminho seguir: C D R e p 2   o u   C D R e p ?

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Repara que temos tudo para usar o C D R e p então é por ele que vamos : )

Passo 2

  1. Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas inferior a 0,5 % .
  2. Calculando C D R e p :

    C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3 = 4 * 2,5 - 1,2 * 10 - 3 * 981 * 1,8 * 10 - 4 3 * 1,2 * 10 - 3 2 * 0,625 3 = 1795792,6

    Agora, preciso usar isso pra calcular o R e p :

    R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77

    Falta calcular k 1 e k 2 :

    k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 * log ⁡ 0,7 0,065 = 0,87

    k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 * 0,7 = 1,894

    Daí:

    R e p = 24 0,87 * 1795792,6 0,65 + 1,894 1795792,6 1,3 0,77 = 3,898 * 10 - 3

    Aplicando a formula de R e p :

    R e p = ρ * v t * d μ

    3,898 * 10 - 3 = 1,2 * 10 - 3 * 0,625 * d 1,8 * 10 - 4

    d = 0,000935   c m

    Convertendo pra μ m , pra deixar o número mais apresentável haha:

    1   μ m = 10 - 4 c m

    ∴ d = 9,35   μ m

    Passo 3

  3. Concentração volumétrica de sólidos na suspensão contendo partículas é 5 % .

Sabemos que quanto mais concentrada uma suspensão, menor fica a velocidade terminal das partículas. Também sabemos que quanto maior a partícula, maior a velocidade terminal dela. Agora, bora juntar essas duas coisas: pensa em uma certa velocidade; conforme você aumenta C v , você diminui a velocidade terminal das partículas e maior é o diâmetro da partícula que vai ter essa dada velocidade que você fixou. Então, aqui nesse item, já sabemos que vamos achar um diâmetro maior que no item a).

Mas a questão não é teórica, precisamos fazer as contas. O grande lance é que essa velocidade, no item b), é a v t C , já que temos que considerar a concentração (Observação: no item a) dissemos que v t C = v t ∞ já que desprezamos o efeito da concentração).

Vamos precisar achar v t ∞ , que é a velocidade que podemos relacionar com o diâmetro. Usando a expressão desenvolvida por Richardson e Zaki:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

Em que o valor de do n é calculado de forma diferente dependendo do R e p :

R e ∞ ≤ 0,2   → n = 4,65 0,2 < R e ∞ ≤ 1 → n = 4,35 R e ∞ - 0,03 1 < R e ∞ ≤ 500   → n = 4,45 R e ∞ - 0,1 R e ∞ > 500   → n = 2,39

Com R e ∞ sendo o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada.

Mas não temos n : ( Daí precisamos calcular o R e ∞ . Vamos usar as correlações de Coelho e Massarani, que supõem que a partícula está isolada (ou seja, supõem que esse 0,625   c m / s é o v t ∞ e nos retornam R e ∞ ). Novamente, usamos:

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Repara que não mudamos nenhum valor que vamos jogar na fórmula, em relação ao item a), daí o valor é o mesmo:

C D R e p = 1795792,6

k 1 e k 2 só dependem da morfologia (mais especificamente, da esfericidade), que não foi alterada. Daí:

k 1 = 0,87 e k 2 = 1,894

Calculando R e ∞ :

R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77 = R e ∞

Novamente, não alteramos nenhum valor em relação ao item anterior:

R e ∞ = 3,898 * 10 - 3

Ou seja, achamos o valor de n por:

R e ∞ ≤ 0,2   → n = 4,65

Fazendo a correção:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

0,625 = v t ∞ ( 1 - 0,05 ) 4,65

v t ∞ = 0,793 c m s

Passo 3

Agora, só falta relacionar v t ∞ com d . Vamos ter que, novamente usar C D R e p .

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3 = 4 * 2,5 - 1,2 * 10 - 3 * 981 * 1,8 * 10 - 4 3 * 1,2 * 10 - 3 2 * 0,793 3 = 819274,98

R e p = 24 0,87 * 819274,98 0,65 + 1,894 819274,98 1,3 0,77 5,77 * 10 - 3

Finalmente:

R e p = ρ * v t * d μ

5,77 * 10 - 3 = 1,2 * 10 - 3 * 0,793 * d 1,8 * 10 - 4

d = 1,309 * 10 - 3 c m

Passando pra micra:

d = 13,09   μ m

Resposta

a)   d = 9,35   μ m

b) d = 13,09   μ m