Exercícios Resolvidos de Força Resistiva

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Enunciado

Determinar o diâmetro da partícula que sedimenta com velocidade terminal igual a 0,39   m / s em ar a 20 ℃ e 1   a t m . São conhecidas a densidade e esfericidade da partícula, ρ S = 3   g / c m 3 e Φ = 0,75 , e a viscosidade do fluido, μ = 1,8 * 10 - 5   P a . s

Passo 1

Essa questão é um pouco diferente das outras que fizemos; aqui, já temos v t = 0,39   m / s e queremos o diâmetro d da partícula que tem essa velocidade. Já ficando de spoiler, vamos usar C D R e p .

O enunciado dá ρ S = 3   g / c m 3 , Φ = 0,75 e μ = 1,8 * 10 - 5   P a . s (essa unidade é do SI), mas não deu o ρ ...pelo menos, não diretamente. Mas temos informações sobre o fluido e, a partir delas, conseguimos calcular a densidade dele. (Lá nos exercícios sobre massa especifica fizemos um exercício sobre isso)

Vamos assumir gás ideal (Se o enunciado não falar pra assumir gás real, sempre vamos assumir ideal. E aposto que o enunciado nunca vai pedir gás real haha então nem esquenta a cabeça com isso). Daí, vale:

P V = n R T

Em que:

P   é   a   p r e s s ã o V   é   o   v o l u m e n   é   o   n ú m e r o   d e   m o l e s R   é   a   c o n s t a n t e   d o s   g a s e s   i d e a i s T   é   a   t e m p e r a t u r a   e m   e s c a l a   a b s o l u t a

O enunciado já deu que

P = 1   a t m

E deu a temperatura também, mas em graus Celsius, que não é uma escala absoluta.

As escalas absolutas de temperatura são Kelvin e Rankine. Vou escolher converter essa temperatura para Kelvin então:

℃ = K - 273

A temperatura em , que chamei de , vale 20 . Jogando na fórmula, achamos a temperatura em Kelvin, que chamei de K :

K = 20 + 273

K = 293

Ou seja:

T = 300   K

Temos agora que manipular o P V = n R T e fazer a densidade aparecer. Olhando a definição de n , que é o número de moles: n = m M M - = m a s s a   d a   m i s t u r a M a s s a   M o l e c u l a r   M é d i a

Substituindo isso na equação dos gases ideias P V = m M M - * R T E agora, a rearranjando:

ρ = m V = P * M M - R T

O enunciado não deu M M - e nem informações pra calcular (Ex: composição do ar atmosférico), daí, temos que ir atrás da informação tabelada (é normal esse tipo de coisa nas questões). Procurando: M M - = 29,6   g / g m o l

Como estamos trabalhando com P em a t m , M M -   em g / g m o l e T em K , o R que temos que usar é:

R = 0,082 a t m * L g m o l * K

Isso também é algo tabelado, né. Calculando ρ :

ρ = 1 * 29,6 0,082 * 293 = 1,23 g L

O g / L é decorrente das unidades que usamos. Mas esse litro aí é bem inconveniente porque não é padrão nem no SI nem no CGS. Vou escolher, nessa questão, trabalhar no SI (bases: Kilo, metro e segundo), então, bora converter essa densidade:

ρ = 1,23 g L * 10 3 L 1   m 3 * 1   K g 10 3   g = 1,23 K g m 3

Passo 2

Agora que temos todos os dados, qual caminho seguir?

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Repara que não temos d mas temos v t , então é por C D R e p que vamos. Antes, só falta converter ρ S pro SI, já que é esse o sistema que estou usando:

ρ S = 3 g c m 3 * 10 6 c m 3 1   m 3 * 1   K g 10 3   g = 3000 K g m 3

Aí:

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3 = 4 * 3000 - 1,23 * 9,81 * 1,8 * 10 - 5 3 * 1,23 2 * ( 0,39 ) 3 = 7,87

Repara que eu usei g = 9,81   m / s 2 , já que estamos no SI.

Agora, usamos o C D R e p para achar R e p :

R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77

Falta calcular k 1 e k 2 :

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 * log ⁡ 0,75 0,065 = 0,895

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 * 0,75 = 1,65

Daí:

R e p = 24 0,895 * 7,87 0,65 + 1,65 7,87 1,3 0,77 = 1,93

Aplicando a definição de R e p :

R e p = ρ * v t * d μ

1,93 = 1,23 * 0,39 * d 1,8 * 10 - 5

d = 7,24 * 10 - 5   m

Repara que essa unidade está em metros, já que estamos trabalhando no SI. O que o problema pediu já achamos : ) Vou só passar pra μ m por costume mesmo haha

1   μ m = 10 - 6   m

∴ d = 72,4   μ m

Resposta

d = 72,4   μ m