Exercícios Resolvidos de Força Resistiva

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Enunciado

Calcule a máxima velocidade terminal em uma amostra de partículas de sílica, com diâmetros entre 80   μ m e 200   μ m , sedimentando em água à 20 ℃ . Considere que a concentração de partículas no fluido é muito baixa.

Dados: ρ S = 2,7   g / c m 3 e Φ = 0,6  

Passo 1

Temos uma amostra de sílica com diâmetros que variam de 80 a 200   μ m mas que possui esfericidade constante ( Φ = 0,6 ). O problema pede a máxima velocidade terminal nessa amostra.

O fluido em que as partículas estão sedimentando é água à 20 ℃ . Repara que eu não dei dados sobre o fluido no enunciado e isso foi proposital. Na prova, nem sempre você vai ter esses dados diretamente; muitas vezes vai ser que nem nesse enunciado aqui: só diz o fluido e a temperatura dele. Aí, vamos ter que ir atrás de tabelas relacionando temperatura, densidade e viscosidade dinâmica (que é o μ ) para o fluido em questão. Indo numa dessas tabelas, você vai achar que:

ρ ≈ 1   g / c m 3

μ = 1,002 . 10 - 2   P

Outro ponto do enunciado que vale a pena ressaltar é quando fala “Considere que a concentração de partículas no fluido é muito baixa.”, que, basicamente, é dizer que não precisa fazer correção de concentração para a velocidade terminal.

Passo 2

Temos que, antes de qualquer coisa, determinar qual é o diâmetro da faixa que tem maior velocidade terminal. Dá uma olhada na fórmula “genérica” de velocidade terminal:

v t → = 2 . V . ρ S - ρ . b → A . ρ . C D

Tanto a área projetada ( A ) como o volume ( V ) podem ser escritos como uma constante (que depende da morfologia da partícula) vezes uma potência do diâmetro. Para o volume, essa constante é o fator de forma C ; para a área projetada, não tem nenhuma constante específica, então bora dizer que essa constante é K .

v t → = 2 . C . d 3 . ρ S - ρ . b → K . d 2 . ρ . C D

Daí, simplificando os diâmetros:

v t → = 2 . C . d . ρ S - ρ . b → K . ρ . C D

Bora comparar as velocidades terminais de duas partículas, 1   e 2 , dessa amostra com d 1 > d 2 . Não sei se as velocidades são   =, > ou < , daí vou usar uma interrogação entre elas:

v t 1       ?       v t 2

2 . C 1 . d 1 . ρ S - ρ . b → K 1 . ρ . C D 1       ?       2 . C 2 . d 2 . ρ S - ρ . b → K 2 . ρ . C D 2

Tudo que for constante e igual dos dois lados a gente pode cortar.

  • Como as partículas possuem mesma morfologia (lembra que essa é uma premissa que sempre usamos para partículas de um mesmo material mesmo se o enunciado não explicitar isso, mas, nesse caso, ele deixou implícito quando deu uma esfericidade só): C 1 = C 2 = C e K 1 = K 2 = K .
  • Estando as partículas no mesmo fluido, estamos com iguais ρ   e   μ  
  • Como estão todas as partículas juntas submetidas a um único campo de forças, b → é um só
  • Como as partículas são do mesmo material, ρ S é um só

Daí:

d 1 C D 1       ?     d 2 C D 2

Vimos, lá na teoria, que C D depende de R e p e Φ , isto é, C D = C D R e p , Φ   . Como a morfologia é igual nos dois casos, sobra apenas R e p pra analisar. A fórmula do R e p é

R e p = ρ . v . d μ

Ou seja, quanto maior d , maior o R e p . Agora, lembra lá daquele gráfico C D   v e r s u s   R e p :

Conforme o R e p aumenta, C D ou diminuiu ou fica constante, mas nunca aumenta.

  • Se C D 1 = C D 2 :
  • d 1 C D 1       ?     d 2 C D 2  

    d 1     ?     d 2

    Como d 1 > d 2 :

    d 1   >   d 2  

    Daí:

    v t 1 > v t 2

  • Se C D 1 < C D 2 :

d 1 C D 1   > d 2 C D 2  

Daí:

v t 1 > v t 2

Ou seja, a velocidade terminal é sempre maior quanto maior for o diâmetro da partícula, comparando-se partículas de mesmo material e nas mesmas condições. Isso é uma coisa que você tem que saber. Eu demonstrei matematicamente aqui, mas na prova, muito provavelmente, você não vai precisar. Basta lembrar.

Voltando, temos que ver qual é o maior diâmetro da amostra pois é pra ele que temos que calcular a velocidade terminal. E ele é:

d = 200   μ m

Passo 3

Não sabemos qual o regime de escoamento e não queremos ficar iterando então vamos aplicar as correlações de Coelho e Massarani, mas qual caminho seguir, C D R e p 2 ou C D R e p ?

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

Repara que nós temos d e Φ ,mas queremos v t . Daí, vamos por C D R e p 2 :

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2 = 4 . 2,7 - 1 . 1 . 981 . ( 200 . 10 - 4 ) 3 3 . ( 1,002 . 10 - 2 ) 2 = 177,18

Repara que eu joguei todos os valores na fórmula com unidades do CGS (centímetro-grama-segundo). Não podemos misturar sistemas de unidades, hein! Cuidado com isso! Lembrando que o Poise é a unidade de viscosidade dinâmica do CGS.

Como fomos por C D R e p 2 , para calcular o R e p usamos:

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Opa! Não sabemos k 1 e k 2 . Bora calcular:

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,844 . log ⁡ 0,6 0,065 = 0,81

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 5,31 - 4,88 . 0,6 = 2,38

Daí:

R e p = 24 0,81 . 177,18 1,2 + 2,38 177,18 0,6 - 0,83 = 3,93

Usando a definição de R e p :

R e p = ρ . v t . d μ

3,93 = 1 . v t . 200 . 10 - 4 1,002 . 10 - 2

v t = 1,969   c m / s

Resposta

v t = 1,969   c m / s