Exercícios Resolvidos de Força Resistiva

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Enunciado

Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de A l 2 O 3 em água, a 25 ℃ .

A densidade das partículas é 4   g / c m 3 e a esfericidade é estimada em 0,7 .

  1. Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular o diâmetro das partículas
  2. Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empírica de Richardson & Zaki.

Passo 1

Nessa questão, o enunciado dá pontos relacionando velocidade de sedimentação com concentração de partículas no meio em que elas estão sedimentando. Também nos informa a densidade das partículas ρ s = 4   g / c m 3 e a esfericidade ( Φ = 0,7 ) .

Como vimos lá na teoria, quanto maior a concentração, menor a velocidade terminal das partículas sedimentando porque o fluido passando no sentindo oposto ao movimento da partícula fica com maior velocidade, daí gera maior resistência ao movimento. Olhando os dados, estão coerentes com o que esperávamos: quanto maior a concentração, menor v t .

Temos letras a) e b) pra resolver. Na a), ele pede pra achar v t à diluição infinita, ou seja, c ≈ 0 , que seria o caso de partícula isolada, por extrapolação dos dados. Fazemos isso vendo pra como os pontos estão se comportando e assumindo que eles vão seguir a mesma tendência até chegar onde a questão pede, que é c ≈ 0 . Depois, ele pede pra a partir v t achar o diâmetro da partícula. Já na b), ele pede pra usar a correlação de Richardson & Zaki e, basicamente, refazer a letra a).

Ah, uma coisa importante: o enunciado diz que o fluido é água a 25 ℃ . Daí, vamos ter que ir atrás de uma tabela com propriedades da água em diferentes temperaturas. Olhando nela:

μ @ 25 ℃ = 0,8904   c P

ρ @ 25 ℃ = 997,05   k g / m 3

Passo 2

  1. Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular o diâmetro das partículas
  2. Lá no passo 1, disse que extrapolação é ver a tendência dos pontos e assumir que eles vão continuar essa mesma tendência até chegar onde queremos analisar. E a melhor forma de ver essa tendência é jogando os pontos num gráfico:

    Repara que esses pontos estão mais ou menos alinhados em uma reta, certo? Se você estivesse numa prova (provavelmente estaria fazendo esse gráfico em papel milimetrado), teria que pegar uma régua e traçar a melhor reta para esses pontos. Tipo assim:

    Agora, é só ver, para c = 0 , qual o valor de v . Eu diria uns 43   c m / m i n . E não se estressa se você tiver dito 44 , por exemplo. Método gráfico tem muita incerteza mesmo. Só não pode ter dito v = 25 , por exemplo.

    Uma parte já foi, temos v t = 43   c m / m i n . Agora, ainda falta calcular d . Repara que:

    R e p = ρ * v t * d μ

    E não temos d , daí não podemos calcular R e p e aí não sabemos em qual região estamos (Stokes, Intermediária, Newton ou TCL). Dessa forma, não sabemos qual fórmula usar pra v t .

    Para fugir de iterações, vamos usar as correlações de Coelho e Massarani.

    “Ixi, Marcelo! Não lembro quando usar C D R e p 2 ou usar C D R e p .” Relaxaaa. Uma dica que eu dou é olhar pro formulário, ver a cara dessas duas expressões e ver as informações que você tem. Olha só:

    C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

    C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3

    Para calcular C D R e p 2 , precisamos de d , que é justamente o que não sabemos e queremos calcular. Daí NÃO é essa que vou usar. Mas olha pra C D R e p agora; temos tudinho : )

    Massssss, temos que lançar na fórmula tudo no mesmo sistema de unidades (SI, CGS, sistema inglês etc) pra ser dimensionalmente consistente né. Embora eu adore o SI, aqui na parte de operações unitárias que envolve partículas, na maioria das vezes, é bem conveniente usar o CGS, então vai ser o que você mais vai me ver usando. Bora reunir tudo, convertendo o precisar pro CGS (centímetro-grama-segundo):

    ρ s = 4   g / c m 3

    ρ @ 25 ℃ = 997,05 k g m 3 * 10 3 g 1   k g * 1   m 3     10 6 c m 3 ≈ 0,997   g / c m 3

    g = 981   c m / s 2

    μ @ 25 ℃ = 0,8904   c P = 0,8904 * 10 - 2   P = 0,8904 * 10 - 2 g c m * s    

    v t = 43 c m m i n * 1   m i n 60   s = 0,717 c m s

    Daí:

    C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3 = 95,45

    Agora, obtemos R e p por outra correlação de Coelho e Massarani:

    R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77

    Mas antes precisamos calcular k 1 e k 2 , sabendo que o enunciado deu Φ = 0,7 :

    k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 log ⁡ 0,7 0,065 = 0,870

    k 2 = 5,31 - 4,88 * 0,7 = 1,894

    Substituindo:

    R e p = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77 = 24 0,870 * 95,45 0,65 + 1,894 95,45 1,3 0,77 = 0,543

    Agora sim podemos ir pra definição de R e p , porque só vai sobrar uma variável:

    R e p = ρ * v t * d μ = 0,543 = 0,997 * 0,717 * d 0,8904 * 10 - 2

    d = 6,76 * 10 - 3 c m = 6,76 * 10 - 3 * 10 - 2 m = 67,6 * 10 - 6 m = 67,6   μ m

    Passo 3

  3. Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empírica de Richardson & Zaki.

A correlação empírica de Richardson & Zaki é:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

Em que o valor de do n é calculado de forma diferente dependendo do R e p :

R e ∞ ≤ 0,2   → n = 4,65 0,2 < R e ∞ ≤ 1 → n = 4,35 R e ∞ - 0,03 1 < R e ∞ ≤ 500   → n = 4,45 R e ∞ - 0,1 R e ∞ > 500   → n = 2,39

Sendo R e ∞ o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada.

Bora pras contas que vãos entender melhor como usar isso tudo. Vou usar o ponto ( c = 0,041   g A l 2 O 3   / c m 3 d e   s u s p e n s ã o ,     v t = 40,5   c m / m i n ⁡ ) .

Precisamos de C v , que é a concentração volumétrica:

C v = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   s u s p e n s ã o

Mas temos uma concentração em massa por volume:

c = 0,041   g   A l 2 O 3   / c m 3 d e   s u s p e n s ã o

Pra converter, bora adotar uma base de cálculo de 100   c m 3 de suspensão, que vai ter uma massa de partículas, por regra de três:

m = 4,1   g   A l 2 O 3

Podemos obter o volume dessa massa já que nos foi dada a densidade das partículas, ρ S = 4   g / c m 3 .

ρ S = m p V p = 4   ∴ V p = 1,025   c m 3

Jogando na fórmula de C v :

C v = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   s u s p e n s ã o = 1,025   c m 3 100   c m 3 = 0,01025

E a velocidade terminal associada a essa concentração é 40,5   c m / m i n , que é o nosso v t C .

Precisamos do R e ∞ pra continuar e, lá na teoria, eu disse que ele é o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada, ou seja, pega esse 40,5   c m / m i n e finge que a esfera que tem essa velocidade está isolada, mesmo sabendo que, na verdade, ela NÃO está. Daí, vamos usar o v t C = 40,5   c m / m i n como se ele fosse o v t ∞ . Mas antes, precisamos passar pro CGS, que é o sistema que estamos usando:

40,5 c m m i n * 1   m i n 60   s = 0,675 c m s  

Agora sim, com essa velocidade:

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3 = 4 * 4 - 0,997 * 981 * 0,8904 * 10 - 2 3 * 0,997 2 * ( 0,675 ) 3 = 114,41

Agora, calculando o R e ∞ :

R e p = R e ∞ = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77 = 24 0,870 * 114,41 0,65 + 1,894 114,41 1,3 0,77 = 0,495

Repara que k 1 e k 2 NÃO mudaram porque a esfericidade ainda é a mesma.

Como 0,2 < R e ∞ ≤ 1 , calculamos n por

n = 4,35 R e ∞ - 0,03 = 4,35 * 0,495 - 0,03 = 4,44

Daí, calculando v t ∞ , que é a velocidade que relacionaremos, depois, com o tamanho da partícula:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

0,675 = v t ∞ ( 1 - 0,01025 ) 4,44

v t ∞ = 0,707   c m s

Essa velocidade é um pouquinho diferente da que “achamos” pela extrapolação, que era 0,717   c m / s .

Vamos, agora, calcular o diâmetro da partícula. Vamos, para isso, usar o R e p = 0,495 , que é o associado com esse movimento nessas condições do problema.

R e p = ρ * v t * d μ = 0,495 = 0,997 * 0,707 * d 0,8904 * 10 - 2

d = 6,25 * 10 - 3 c m = 62,5   μ m

Como o enunciado fala para comparar “oS resultadoS”, acho que ele tava querendo que fizéssemos isso para todos os pontos e depois tirássemos uma média dos resultados. Mas ao invés de ficar repetindo várias e várias vezes a mesma coisa, mecanicamente, acho que podemos aproveitar melhor nosso tempo vendo coisas diferentes. Então bora continuar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)