Exercícios Resolvidos de Função de Onda no Átomo de Hidrogênio

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Enunciado

Considere a seguinte função de onda do elétron no átomo de hidrogênio dada por:

ψ r , θ , ϕ = C e - r a 0

Onde a 0 é o raio de Bohr e C é uma constante real.

(a) Calcule a distância, medida a partir do centro do núcleo, onde a probabilidade radial de encontrar o elétron é máxima.

(b) Calcule a constante C e o valor médio de r nesse estado.

(c) Quais são os números quânticos associados ao estado do elétron correspondente à função de onda acima? Obtenha o módulo do momento angular orbital L.

Passo 1

(a) Sabemos que ψ 2 é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron.

Se a gente pega um volume bem pequenininho Δ V do átomo de Hidrogênio, onde ψ 2 ≅ c o n s t a n t e , podemos aproximar essa probabilidade por:

P = ψ 2   Δ V

Mas a gente quer saber como essa probabilidade varia ao longo da distância do elétron ao núcleo.

Então a gente usa o voluminho como sendo o espaço entre duas cascas esféricas:

Δ V = 4 π r 2 Δ r

E então:

P = ψ 2 4 π r 2 Δ r

E a probabilidade radial vai ser a função:

P ( r ) = ψ 2 4 π r 2

Para a função de onda dada:

P r = 4 π r 2 C 2 e - 2 r / a 0

Para acharmos os pontos de máximo dessa função, derivamos e igualamos a zero:

d P r d r = 0

1 - r a 0 e - 2 r a 0 2 r = 0

Logo:

1 - r a 0 = 0

r = a 0

Passo 2

(b) A constante C é encontrada partir da condição de normalização:

∫ - ∞ ∞ P r d r = 1

Com:

P r = 4 π r 2 C 2 e - 2 r / a 0

Fazendo a mudança de variáveis:

x = 2 r a 0

Vamos ter:

4 π C 2 a 0 2 3 ∫ - ∞ ∞ e - x x 2 d x = 1

Usando as informações do formulário da prova:

∫ - ∞ ∞ e - a x x 2 d x = 1 2 π a - 3 2

Vamos ter:

4 π C 2 a 0 2 3 2 = 1

π C 2 a 0 3 = 1

C = 1 π a 0 3

Já o valor médio de r é:

r = ∫ 0 ∞ r ψ x 2 d V = 4 a 0 3 ∫ 0 ∞ e - 2 r / a 0 r 3 d r

Fazendo a mudança de variáveis:

x = 2 r a 0

Vamos ter:

r = a 0 4 ∫ 0 ∞ e - x x 3 d x = a 0 4 6 = 1,5 a 0

Passo 3

(c) No estado em que achamos no item (a), r = a 0 , ou seja, a distância é exatamente igual ao raio de Bohr.

Logo, estamos no estado fundamental, com n = 1 .

Consequentemente, temos l = 0 e m l = 0 .

O número quântico associado ao spin pode ser m s = 1 2 ou m 2 = - 1 2 .

Por fim, o módulo do momento angular orbital é:

L = l l + 1 ℏ

Portanto:

L = 0

Resposta

(a) r = a 0

(b) C = 1 π a 0 3 , r = 1,5 a 0

(c) n = 1 , l = 0 , m l = 0 , m s = 1 2   o u   m 2 = - 1 2   e   L = 0

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